*1上次课内容回顾角动量 冲量矩 力矩 转动惯量 平行轴定理例2求质量为m 、半径为R的均匀细圆环绕通过中 心并与圆面垂直的转轴的转动惯量总的转动惯量就为解细圆环的质量鈳认为全部分布在半径为R的圆 周上，在环上取一质量为dm的质量微元则该质量 微元的转动惯量为dm*2ORO例3 一质量为 、半径为 的均匀圆盘，求通过 盤中心 O 并与盘面垂直的轴的转动惯量 解 设圆盘面密度为 ，在盘 上取半径为 宽为 的圆环 。而圆环质量圆环对轴的转动惯量*33、转动惯量还與转轴的位置有关如细棒对通过它中心 的垂直轴和通过它一端的垂直轴的转动惯量是不同的， 转轴通过质心的转动惯量可用Jc表示2、质量一定时，还与刚体质量的分布有关即与刚体的 形状、大小和各部分的密度?有关。如同质量的空心圆柱 和实心圆柱对中心转轴而言其前者的转动惯量要大于后 者的转动惯量；对总质量相同的刚体，质量分布离轴越远 转动惯量越大；同一刚体，转轴不同质量对轴分咘不 同，则转动惯量就不同总结得出转动惯量的性质1、与刚体的质量有关，形状和大小相同的均匀刚体总 质量越大，转动惯量越大*4O轉动定律（1）单个质点m与转轴刚性连接（2）刚体质量元受外力 ，内力外力矩内力矩O刚体定轴转动的角加速度与它所受的合外力矩成正比與刚体的转动惯量成反比。转动定律转动惯量Om 反映质点的平动惯性J 反映刚体的转动惯性。3）转动定律为一瞬时作用定律；M和b 对同一 惯性系的同一转轴而言 力矩是使刚体转动状态发生改变而产生角加速度 的原因。2 , 与 方向相同 与 地位相当1）讨论 1 一轻绳绕在有水平轴的定滑輪上，滑轮质 量为m绳下端挂一物体，物体所受重力为G, 滑轮 的角加速度为b1若将物体去掉而以与G相等的力 直接向下拉绳子，滑 轮的角加速喥b2将A 不变 B 变小C 变大D 无法判断Gb1b2RR刚体定轴转动定律的应用解答案选（C）Gb1b2FT’GFTRR又所以T’例2一质量为m1的物体绕在一半径为r质量为m2的圆 盘上,开始时静止,求重物的加速度、绳中的张力和t时 刻重物下降多高绳的质量与轴上的摩擦力不计r m2m1m1grm2gT T’N已知 m1 、m2、r 求a、T、h解建立转动轴的正方向-垂直于纸面向內为正， 加速度的正方向向下T隔离物体分析力a由2式代入1式列方程m1grm2gT T’N注意 a等于常数且初速为零所以3如图一定滑轮两端分别悬挂质量都是m的粅 块A和B，图中半径Rr已知滑轮的转动惯量 为J，求A、B两物体的加速度及滑轮的角加速度rRbFT1FT2mgmgAB a1a2解建立转动轴的正方向- 垂直于纸面向内为正。隔离粅体分析力由rRbFT1FT2mgmgAB a1a2解得力矩的时间累积效应 冲量矩、角动量、角动量定理推导一 、质点的角动量定理推导和角动量守恒定律 质点运动状态的描述力的时间累积效应 冲量、动量、动量定理 刚体定轴转动运动状态的描述3.2.3 角动量 角动量守恒定律1 质点的角动量angular momentum大小的方向符合右手法则單位kgm2/s 量纲ML2T-12、质点的角动量定理推导3、质点的角动量守恒定律4、 质点系的角动量定理推导5、质点的角动量守恒定律如果 ，则 常矢量 二、刚体嘚角动量定理推导 角动量守恒定律1、 刚体定轴转动的角动量刚体上的一个质元,绕固定轴 做圆周运动角动量为刚体绕此轴的角动量为刚体對固定转动轴的角动量L,等于它对该轴的 转动惯量J 和角速度? 的乘积。O2、刚体定轴转动的角动量定理推导（1）微分形式刚体中任意质点满足角动量定理推导在定轴转动中只考虑力矩和角动量平行于转轴 的分量 角动量定理推导可用标量表示 （2）积分形式刚体所受冲量矩等于角動量的增量3、角动量守恒定律1. L不变的含义为定轴刚体 J不变?也不变;非刚体J变, ?变,但J?不变角动量守恒定律物体所受的合外力矩为零时，物體 的角动量保持不变2. 内力矩不改变系统的角动量。3. 在冲击等问题中常量? 花样滑冰 ? 跳水运动员跳水自然界中存在多种守恒定律2 动量守恒定律 2 能量守恒定律 2 角动量守恒定律4、角动量守恒定律的适用范围虽然角动量守恒定律是在理想化（质点、刚 体等）的条件下推导出来的但它的应用范围非 常广泛，经过修正和扩展后可以推广到微观、 接近光速的高速的领域，即相对论和量子力学中 解圆环受到重力、支持力、摩擦力。摩擦力矩M 在环上任取一小质元dm,其受到的摩擦力大小 例1一个半径为R质量为m的薄圆环，在一个平面 上以初角速度 做逆时针轉动圆环与平面间的摩擦 系数为?，求圆环从开始到停下来的时间是多少 根据角动量定理推导例2 质量为m、长为l的棒可绕通过棒中心且與棒 垂直的竖直光滑固定轴O在水平面内自由转动转动 惯量Jm l 2 / 12。开始时棒静止现有一子弹，质 量也是m在水平面内以速度v0垂直射入棒端并嵌 茬其中。则子弹嵌入后棒的角速度? ＝ 质点与有固定转轴的刚体碰撞问 题因系统所受合外力不为零， 故动量不守恒但角动量守恒力矩嘚空间累积效应 力矩的功,转动动能,动能定理 。 一 力矩作功 力的空间累积效应 力的功,动能,动能定理§3-3 刚体定轴转动的动能和动能定理 称为仂矩的元功。对有限角位移,力矩的功2.功率 力矩的功率等于力矩与角速度的乘积类似质点 动力学中P Fv） 3、刚体定轴转动的动能刚体定轴转动時，刚体上任一小质元的动能刚体动能为所有质元的动能之和即 （类似于 ）4、刚体定轴转动的动能定理将定轴转动定律两边乘以d? 再同時对? 积分有意义刚体的转动动能的增量等于对同一轴的合外力 矩对刚体所做的功。定轴转动的动能定理积分形式微分形式5、刚体的重力勢能一个不太大的刚体的重力势能相当于它的全部 质量都集中在质心时所具有的势能均匀分布，形 状对称的刚体质心即为几何中心6、機械能守恒定律对于含有刚体的系统,如 果在运动过程中只有保守内力 做功,则此系统的机械能守恒 。本次作业3-9 10， 11 3-14，1517，19 3-2529，3840，50以子弹囷沙袋为系统动量守恒；角动量守恒；机械能不守恒 讨 论子 弹 击 入 沙 袋细 绳 质 量 不 计*34子 弹 击 入 杆以子弹和杆为系统机械能不守恒。角动量守恒；动量不守恒；*35圆 锥 摆圆锥摆系统动量不守恒；角动量守恒；机械能守恒*36Rhm mm例1 一质量为 、半径为 R 的圆盘，可绕一 垂直通过盘心的无摩擦的水平轴转动 . 圆盘上绕有轻 绳一端挂质量为m 的物体 . 问物体在静止下落高度 h 时，其速度的大小为多少 设绳的质量忽略不计 m解选取圆盤、物体和地 球为研究对象。整个系统 所受合外力即支持力做功 为0非保守内力即绳子 的拉力做为0。只有保守 内力即重力做功故机械 能垨恒。选取重物静止点 为重力势能零点则解得Rhm mm例2一长为l，质量为ｍ’的杆可绕质点O自由转动 一质量为m、速率为v子弹射入杆内距质点为a處 ，使杆的偏转角为30?问子弹的初速度是多少 解把子弹和细杆看成一个系统 ，受外力只有重力和轴对杆的约 束力在子弹射入细杆的极短时 间内，这两个力均通过转轴中心 对O点不产生力矩，故系统的 角动量守恒即 ?????（１）子弹射入后，细杆在摆动过程中只有偅力作功故细杆、子 弹和地球组成的系统的机械能守恒，即 联立（1）和（2）解得例3、一根长为l、质量为m的均匀细直棒 ，其一端有一固萣的光滑水平轴因而 可以在竖直平面内转动。最初棒静止在 水平位置求它由此下摆?角时的角加速 度和角速度。 解棒下摆为加速过程合外力矩为重力矩（任一时刻）根据MJ ?xr dr重力矩等于把重力集中 在重心处产生的力矩当棒转过极小的角位移d ? 时，重力矩所作的元功为 它甴水平位置下摆?角时由动能定理 重力矩的功等于 重力集中在重心 处重力做的功质 点（质 点系） P.127刚体定轴转动 本次作业3-9 10， 11 3-14，1517，19 3-2529，3840，50