证明：若级数∑un条件收敛,对任意a∈R（包括a=±∞）,则适当交换级数∑un的项,可使交换后的新级数收敛于a（或发散到a=±∞）.
怎样利用一般项收敛于0证明新级数收敛于a

在证明这個命题之前,我们先介绍一个关于正项级数的性质：若发散的正项级数 ∑Qn 的一般项 Qn 单调递减且有极限 lim Qn = 0 ,则对于任意的 ε > 0 和正整数 n ,必存在整数 p≥0 使得 ∑Qi ＞ ε （注：此处求和指标中的 i 取值范围为 n ≤ i ≤ n+p-1 ,也就是说这里的求和是以 Qn 为首项的连续 p 个数的和）.以下的证明将以上述的性质为依据展开.
由级数 ∑Un 条件收敛可知该级数的一般项的极限 lim Un = 0 .为了方便下一步证明我们先将级数 ∑Un 的一般项 Un 按照绝对值从大到小的顺序进行重排（注意：重排后的级数未必收敛）.然后,我们将重排后的级数中的正项和负项分离为两个正项级数 ∑An 和 ∑Bn （注：此处的负项级数 ∑Bn 是提取过负号嘚）,则正项级数 ∑An 和 ∑Bn 均发散且一般项单调递减并以 0 为极限 .下一步我们将每次从级数 ∑An 和 ∑Bn 中分别取出若干项构造出新级数的一般项,并使嘚新级数的部分和收敛于 a .
为了方便讨论,我们先考虑 a 为有限值的情形.
假设作出的新级数的一般项 Qn ,且级数 ∑Qn 的部分和为 S（n）.第一步,我们取 ε = |a|,然後做出新级数的第一项 Q1 使得 |a - S（1）|＜ ε ；第二步,做出级数的第二项 Q2 使得 |a - S（2）|＜ε/2 ；……然后第 n 部,做出级数的第 n 项 Qn 使得 |a - S（n）|＜ε/2^n ……
若我们能莋出满足以上条件的级数 ∑Qn ,那么命题就得到了证明.实际上满足上述条件的级数是存在的.为了生成新的级数,我们每次分别从级数 ∑An 和 ∑Bn 中按照从大到小的顺序取出至少一项组成新的级数的一般项.比如对于级数 ∑Qn 的第一项 Q1,我们先从两个级数中各取一项使得 Q1 = A1 - B1 ,然后我们验证 Q1 是否满足條件 |a - S（1）|＜ ε ,如果满足该条件则级数的第一项构造完成；如果不满足该条件,我们继续从两个级数 ∑An 和 ∑Bn 按照从大到小的顺序选取新的项（此时不必从两个级数中各取一项,而是可以取任意项）并追加到 Q1 中,由于级数 ∑An 和 ∑Bn 都是递减的正项级数且一般项均以 0 为极限,因此只要适当的進行选取总是可以使得 Q1 = （A1 + A2 +……+ Aa1）-（B1 + B2 +……+ Bb1）得以满足条件 |a - S（1）|＜ ε .够造出级数 ∑Qn 的第一项之后,我们可以按照构造第一项的方法从级数 ∑An 和 ∑Bn 剩余的项中继续按照从大到小的顺序选取若干项组成级数的第二项 Q2=（Aa1+1 + Aa1+2 +……+ Aa2）-（Bb1+1 + Bb1+2 +……+ Bb2）使得级数满足 |a - S（2）|＜ε/2 .…… 通过上述步骤做出的新的級数 ∑Qn 可以遍历级数 ∑Un 中的所有项（因为每个 Qn 中至少包含一个正项和一个负项）,级数的一般项的极限 limQn = 0 （注：这是因为两个正项级数 An 和 Bn 的一般项的极限均为 0 ）,且级数的部分和 S（n）满足条件 |a - S（n）|＜ε/2^n ,由极限的定义立刻知道 limS（n）= a ,也就是说新级数 ∑Qn 收敛于 a 对于 a = ±∞ 的情形也是可以通過相同的方法得到的,只是条件变成了 |S（n）|＞ ε*2^n (这里 ε 为任意正数).
到此整个证明过程就完成了!呼,喘口气先……