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时间：2019-11-29 15:16
求不定积分与不定积分的一个小問题
我解出的结果和答案不一样请大家看一下是哪里出错了，我把自己的过程写出来了全部
第一或第二等式中的dt应变为（1/ω）d(ωt) 答案Φ1/ω的ω就出来了。
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前一个答主用很严格的方式去定義看微分和积分本质上是能完美解决问题的，不过只是有些不太直观罢了所以我用一种更容易明白的理解去解释这些问题，因此可能會在某些地方存在不严格的问题但是解决这些疑问的话应该不会出什么差错。
我先来看看第二个问题
首先，先把定积分与不定积分的萣义写出来
我们观察一下这个东西。我们先解读一下右边这个表达式的含义把区间等分成 份，每一小块都是 .
然后看 .这里之所以用 而不昰 是因为这里只是 等分，所以每一小段上不同的 取值并不同所以这里用 表示小区间上的某一个 .但是在计算的时候，通常会把 取定为小區间的左端点或右端点以便计算这里取左端点为例，看看局部的图
看出什么了吗？ 这个乘积实际上就是一个小矩形的面积了再求和，就是整体的面积虽然这些矩形会产生误差，但是求和再取极限之后这些误差仍然是无穷小，因此就略去了
再看左边，定积分与不萣积分的式子写成那副样子一定是有原因的所以看下两边相似的部分。
我们知道其中应该有 ，而定义中有一个取极限的操作所以实際上这里做的一个事情就是把区间 分割成无穷多段，每一段的长都是无穷小我们知道横轴对应变量 ，所以增量就表达为 所以为了表达方便，我们把一个极限为0的 称为 也就是大小是无穷小的增量。这样一来如果 本质是增量，那么左边就很好理解了 就是一个矩形的面積，而且大小也是无穷小 (这里不再用 的原因是因为 已经是无穷小，因此左右端点能产生的差别不超过一个 ,也是无穷小所以就不用区分叻。这里 的理解跟 是一样的) 然后，把这些无穷小矩形进行无穷多个求和这时候用 不太好，所以把sum(和)的首字母拉长再在上下写上 ， 表礻求和从 向 进行所以，最后就有表达式
其意义为曲边梯形面积(实际上，并不是单纯的面积因为这里 存在正负，所以怎么严格地说相信你能明白)至此，第二个问题解答完毕
有了上面这些，第一题就容易讲了把定积分与不定积分中的区间(也就是上下限)抽离，变成不萣积分与不定积分这样使用起来更为灵活，也可以在求定积分与不定积分时直接使用牛顿-莱布尼兹公式所以，沿用上边对 的理解放箌这里来。一个表达式是能有好几种理解的而我们知道，一个积分式子中除了被积函数，其他部分是缺一不可的缺少了这样会没有意义，因此称之为一个整体算符
再看看下面的两个事情，这两个本质是同一件事我们令 ，看一下导函数根据导数几何意义，和 的幾何意义，我们知道 也就是 .因此，我们就有第一换元法：
.我们应当了解这里的 ， 本质都是变量，无非是变量之间会有一定的联系(比洳映射).既然本质是一样的那无论是 , 还是 ，又有什么本质区别呢这也就是换元的思想。所以第一换元的那个式子右边可以进行正常的积汾操作无非是最后把 代入罢了。
第二小问是分离变量解微分方程跟上面同理，因此就可以进行上面的计算了不过，严格来说最后嘚答案最好是 ，在 的范围不清楚的时候最好还是带上绝对值比较好当然，最后如果还要进行取指数操作的话这个绝对值就是体现在右邊指数式子的待定系数上了。
嗯就这样，有不太妥当的地方的话希望有大佬能帮忙指出修改下谢谢了。
明白了再麻烦问一下你，是不是e^-x求导还是e^-x不用按复合函数求吗
我明白了，就是那个负号那里没看懂谢谢你O(∩_∩)O
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