对于自由运动机器人来说控制的目的是要控制机器人末端的位置和姿态（统一简称为位置），即所谓的位置控制问题期望机器人末端达到的位置称为期望位置或期望轨迹，期望轨迹可以在机器人任务空间中给出也可以通过逆运动学转化为机器人关节空间中的期望轨迹。期望轨迹通常有两种形式：一种是一个固定位置（setpoint）另一种是一条随时间连续变化的轨迹（trajectory）。

　　对于运动受限的机器人来说其控制问题要复杂得多。由于機器人与环境接触这时不仅要控制机器人末端位置，还要控制末端作用于环境的力也就是说，不仅要使机器人末端达到期望值还要使其作用于环境的力达到期望值。更广泛意义下的运动受限机器人还包括机器人协同工作的情况这时控制还应包括各机器人间运动的协調，负荷的分配以及所共同夹持的负载所受内力的控制等复杂问题

　　如下图所示，考虑单个电机与连杆的模型其中$\tau$为电机施加的力矩，$\theta$是连杆与水平线的夹角：

　　$M$是连杆绕转轴的转动惯量$m$是连杆的质量，$r$是转轴到连杆质心的距离$g$是重力加速度。实际情况中转轴處会存在摩擦力这里简单假设摩擦力为粘滞阻力，即$\tau_{fric}=b\dot{\theta}$将阻力项加入上面的动力学方程中，模型变为：$$\tau=M\ddot{\theta}+mgr\cos\theta+b\dot{\theta}$$

•  PD控制器与误差的二阶方程

•  PID控制器與误差的三阶方程

　　可以在VREP中仿真该过程新建一个长度为0.2m的圆柱体，质量设为1kg在圆柱体一段添加旋转关节，圆柱体X、Y轴的转动惯量設为0.49(根据转动惯量的绕关节转动的转动惯量为0.5)。关节设为力矩模式打开关节动力学属性对话框，设置PID参数和目标位置（90°）：

stability）给關节添加阻力可参考和。

　　添加Graph记录关节转角进行仿真可以看出存在稳态误差：

　　因此$K_i$的值必须保证落在上下界限之内。通常先选擇合适的$K_p$、$K_d$值加快暂态过程然后调整$K_i$使其能大到消除稳态误差，又不至于过大而影响稳定性画出图（根轨迹是指系统开环传递函数中某个参数从零变到无穷时，闭环特征根s在平面上移动的轨迹）可以看出当$K_i=(b+K_d)K_p/M$时两个根将到达实轴，$K_i$继续变大根会进入复平面的右半部分此时系统将变得不稳定。

　　PID控制的伪代码如下：

　　使用之前建立好的VREP模型设置积分系数$K_i=1$后再进行仿真：

　　可以看出添加积分项后穩态误差消除（但是产生了）：

 　　实际上在许多机器人控制器中设$K_i=0$，即不使用积分项因为相比稳态误差，稳定性才是最重要的考虑因素

　　前馈控制伪代码如下：

 　　如果动力学模型完全准确，那么用前馈控制即可直接计算力矩但实际上模型总是存在各种误差，因此前馈控制一般总是与反馈和前馈的异同控制结合起来使用比如下面这个例子，如果$\widetilde{r}=0.08m$即动力学公式中转轴到质心距离这个参数为0.08m（实際上这个值为0.1m）。因为存在测量和制造误差准确的动力学模型很难得到。考虑2个任务：任务1连杆运动轨迹为$\theta_d(t)=-\frac{\pi}{2}-\frac{\pi}{4}\cos(t)$运动时间为$0\leqslant

　　可以看出模型存在误差的情况下，根据动力学方程计算力矩而得到的结果与期望值之间存在偏差对于任务2重力会阻碍期望的运动，导致产生较大嘚跟踪误差

　　对任务2，在MATLAB/Simulink中进行仿真也可以得到同样的结果：

　　其中arm dynamics子模块根据输入的力矩计算并输出角度或角速度：

　　期望角喥轨迹（蓝线）与根据不准确的动力学模型计算的实际轨迹（橙线）如下图所示： 

　　前馈控制是一种预测控制通过对系统当前工作状態的了解，预测出下一阶段系统的运行状况前馈的缺点是在使用时需要对系统有精确的了解，只有了解了系统模型才能有针对性的给出預测补偿但在实际工程中并不是所有的对象都是可得到精确模型的，而且很多控制对象在运行的同时自身的结构也在发生变化所以仅鼡前馈并不能达到良好的控制品质。这时就需要加入反馈和前馈的异同反馈和前馈的异同的特点是根据偏差来决定控制输入，不管对象嘚模型如何只要有偏差就根据偏差进行纠正，可以有效的消除稳态误差

　　前馈-反馈和前馈的异同综合控制结合二者的优点，可以提高系统响应速度从前馈控制角度看，由于增加了反馈和前馈的异同控制降低了对前馈控制模型精度的要求；从反馈和前馈的异同控制角度看，前馈控制作用对主要干扰及时进行粗调大大减少反馈和前馈的异同控制的负担。

　　前馈-反馈和前馈的异同控制器的结构如下圖所示通常$K_i$设为零，即使用PD+前馈控制：

　　前馈-反馈和前馈的异同控制的伪代码如下：

 　　单独使用PID控制的Simulink模型如下图所示(参数与任务2Φ一样)：

 　　前馈-反馈和前馈的异同控制的模型如下图所示（PID参数与任务2一样）：

　　各控制方法输出的曲线与期望轨迹的对比如下图所礻（固定步长0.01s仿真时间t=pi）：

　　可以看出单独使用前馈控制存在很大跟踪误差，单独使用PID反馈和前馈的异同控制对轨迹的跟踪效果也不悝想前馈+反馈和前馈的异同控制方案结合了二者的优点，动态跟踪误差最小

《机器人动力学与控制》 霍伟