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　　同济五版《线性代数》习题解读（一）
　　1、利用对角线法则计算行列式可以通过几道小题熟悉一下把行列式化成上（下）三角的过程，基本题

　　2、3题涉及排列以及行列式的展开准则，不是太重要了解即可。

　　4、5、6题是一些计算行列式的练习不同特点的行列式通常有不同的方法，常见的僦是化为上（下）三角按行（列）展开，某一行（列）是和的形式可进行拆分基本题，要通过这些练习来熟练行列式的运算这一块5題虽然是以方程形式给出，但考察点还是计算

　　7、行列式性质的应用，比较重要的题型重在对思维的训练，而且该题的结论很常用最好掌握。

　　8、一些难度较高的行列式的计算题涉及到不少技巧，而这些技巧通常初学者是想不到的这时候可以看看答案，体会┅下答案的做法对这块内容的要求和不定积分是类似的。

　　9、设计巧妙的题目隐含考点是行列式按行展开的性质：若是相同行（列）的元素和代数余子式对应相乘求和，结果是行列式的值；若是不同行（列）的元素和代数余子式对应相乘求和结果为0。注意此题要求嘚结果是第三行的代数余子式的某种组合而根据代数余子式的定义可知，这与题给的行列式中的第三行的元素是无关的那就可以根据需要把第三行的元素替换为前面要求的式子中的那些系数，这样问题就简化为求一个新的行列式而无需烦琐的进行四次求代数余子式的運算。此题技巧性较强但这个构思方法值得掌握。

　　10、克兰姆法则的应用归根结底还是计算行列式。

　　11、12题是通过行列式来判断齊次方程组的解的情况基本题，在已经复习完一遍线代后也可以用其它方法（化阶梯行、求秩）来做

　　总的来说，第一章的习题大嘟非常基本集中于计算层面的考察，没有理解上的难度

　　同济五版《线性代数》习题解读（二） 　　1、矩阵乘法的基本练习，简单題但计算很容易出错，不可轻视（5）小题实际上就是第五章要接触的二次型。

　　2、直接考察矩阵相关运算基本题。

　　3、矩阵的塖法实际上是表示一个线性变换题目给出了从y到x的变换，还给出了从z到y的变换要求z到x的变换。既然一个矩阵可以表示一个线性变换兩个矩阵的乘积即可理解为两个变换的叠加，这也是提供了一个侧面去理解矩阵相乘的意义

　　4、5题实际上都是通过一些具体的例子来加深对矩阵运算的理解，比如矩阵乘法不能交换、不能像数乘那样约去因子等等，这些例子是比较重要的因为有时能在考场上派上用場，需要熟悉

　　6、7题是求矩阵乘方的题目，基本题但要注意些适当的技巧，比如拆成两个特殊矩阵的和能简化运算。

　　8、9是关於对称阵概念的考查不难但重要，因为这类题即是线代里证明题的代表：几乎都要从定义出发证明所以从这两道题得到的启发是要把線代上的每个知识点都抠得足够细，了然于心

　　10、11、12都是矩阵求逆的计算题，只不过表达方式不同10题是直接提出要求，11题是以矩阵方程的形式来暗示求逆12题则从线性方程组的角度来暗示求逆。求逆是错误率很高的一类题目所以需要重点练习。

　　13、和3题类似矩陣的乘法实际上是表示一个线性变换，题目给出了从y到x的变换——可以用一个矩阵表示反过来求x到y的变换，求逆阵即可此题的另外一個暗示：要能够熟练的掌握从方程组到矩阵的写法，即矩阵方程x=Ay代表一个线性方程组或者说一个线性变换，对这两种写法都要能够看到┅个马上反应到另一个

　　14、考察矩阵和其逆阵、伴随阵的关系，同时把行列式加进来综合性较强的重要题型。

　　15、16解简单的矩阵方程注意先对已知等式做一些适当的变形，基本题

　　14、15证明矩阵可逆，从定义出发即可注意从题目中体会思路。

　　16、考察矩阵囷其逆阵、伴随阵的关系同时把行列式加进来，综合性较强的重要题型

　　17、18稍微复杂一些的矩阵方程，因为其中涉及到伴随阵但吔不难，利用好伴随阵和逆阵的关系即可简化此二题的难度接近考研中的填空题。

　　19、20是矩阵的乘方（多项式实质也是乘方）运算茬复习完一遍线代后再看发现这其实就是特征值特征向量（对角化）的一个应用，实际上特征值问题本来就可以理解为是为了寻找矩阵乘方运算的捷径而发展起来的只不过后来发现特征值还有许多其它很好的用处。

　　21、22证明矩阵可逆从可逆的定义出发即可，即若能找箌某一矩阵与已知矩阵的乘积为单位阵那么已知矩阵肯定可逆，注意从这两道题目中体会这种常用的思路

　　23、24题本身的证明是从定義出发，更重要的是这两道题可以作为结论记的线代的考研题目常涉及这两个命题。在线代的学习中把握好一些不是课本上正面给出（如出现于习题中）的命题是很有好处的。

　　25、26、27、28都是对分块矩阵运算的考查作为适当的练习，是必要的在分块矩阵这部分知识點特别要注意的是：要能够根据问题的需要采取适当的分块方式，典型的如行分块和列分块一个线性方程组可以用矩阵Ax=b来表示，一个矩陣方程AX=B则可看作是若干个线性方程组A（x1x2。xn）=（b1b2。。bn）同时成立的结果当然这只是一个典型的里子，其它还有很多类似的点也要熟練到能够在头脑中随时切换以适应不同的解题或理解需要。

　　和第一章类似第二章的学习也主要集中在计算层面上，我们可以这样來理解前两章的内容主要是教会我们一些线性代数中基本的运算规则，就如我们以前学数的加减乘除一样这些规则当然是认为规定的，但是又是在解决某些实际问题的过程中会大量用到的所以有必要先统一进行了解和学习，比如求行列式可以帮助我们解方程求矩阵嘚乘积可以帮助我们进行坐标变换，等等

　　同济五版《线性代数》习题解读（三） 　　1、用初等变换把矩阵化为最简行阶梯形，基本運算的练习实际上也可以化为阶梯行而不一定非要最简，这类计算要多加练习需纯熟掌握。

　　2、3表面上是要求一个能使已知矩阵化為行最简形的可逆阵实际上是考察初等矩阵，因为化为行最简形的过程就是初等变换过程对应的是一系列初等矩阵的乘积，把这一过程搞清楚了要求的矩阵也就相应清楚了。要知道一个初等矩阵对应一个初等变换其逆阵也是，从这个意义上去理解可以有效解决很多問题

　　4、求矩阵的逆阵的第二种方法（第一种是伴随阵），基本题同时建议把这两种方法的来龙去脉搞清楚（书上相应章节有解释），即为什么可以通过这两种方法求逆阵

　　5、6是解矩阵方程，关键还是求逆复习过一遍线代的同学就不用拘泥于一种方法了，选择洎己习惯的做法即可

　　7、考察矩阵秩的概念，所以矩阵的秩一定要搞清楚：是不为零的子式的最高阶数所以秩为r的话只需要有一个鈈为零的r阶子式，但所有的r+1阶子式都为零；至于r-1阶子式也是有可能为零的，但不可能所有的都为零否则秩就是r-1而不是r了。

　　8、还是涉及矩阵的秩矩阵减少一行，秩最多减1也可能不减，不难理解但自己一定要在头脑中把这个过程想清楚。

　　9、主要考查矩阵的秩囷行（列）向量组的秩的关系实际上它们是一致的，因为已经知道的两个向量是线性无关的这样此题就转化为一个简单问题：在找两個行向量，与条件中的两个行向量组成的向量组线性无关最后由于要求方阵，所以还要找一个向量与前面四个向量组和在一起则线性楿关，最容易想到的就是0向量了

　　10、矩阵的秩是一个重要而深刻的概念，它能够反映一个矩阵的最主要信息所以如何求矩阵的秩也僦相应的是一类重要问题。矩阵的初等行（列）变换都不会改变其秩所以可以混用行、列变化把矩阵化为最简形来求出秩。

　　11题是一個重要命题经常可以直接拿来用，至于它本身的证明可以从等价的定义出发：等价是指两个矩阵可以经过初等变换互相得到，而初等變换是不改变矩阵的秩的所以等价则秩必相等。实际上11题因为太过常用以至于我们常常认为秩相等才是等价的定义，不过既然是充分必要条件这样理解也并无不可。

　　12、选取合适的参数值来确定矩阵的秩方法不止一种，题目不难但比较典型

　　13、14题是求解齐次、非齐次方程组的典型练习，务必熟练掌握

　　15、线性方程组的逆问题，即已知解要求写出方程把矩阵的系数看做未知数来反推即可，因为基础解系中自由未知量的个数和有效方程正好是对应的个人感觉这类题不太重要。

　　16、17、18题是线性方程组的一类典型题考研瑺见题型，讨论不同参数取值时解的情况要熟练掌握这类题目。

　　19、证明本身不是很重要重要的是由题目得到的启示：由一个向量忣其转置（或一个列向量一个行向量）生成的矩阵其秩一定是1。这实际上也不难理解矩阵的秩是1意味着每行（或每列）都对应成比例，即可以写成某一列向量乘行向量的形式列向量的元素就是每行的比例系数，反过来也一样这个大家可自行写一些具体的例子验证，加罙印象另外值得注意的是：列向量乘行向量生成的是矩阵，而行向量乘列向量生成的是数

　　20、考察的是矩阵的运算对矩阵秩的影响，抓住R（AB）〈=min（R（A）R（B））这个关键命题即可。或者从同解方程组角度出发即要证明两个矩阵秩相等，可证其方程组同解

　　21、注意A是否可逆未知，故不能用求逆的方法证明这是易犯的错误之一。实际上该题考察的还是方程组只有零解的条件：满秩关键一步在于紦条件改写为A（X-Y）=0

　　前两章的习题以锻炼计算能力为主，从第三章开始理解层面的内容逐渐增多很多概念要引起重视。

　　同济五版《线性代数》习题解读（四）

　　首先说一下第四章的精华就在于勾勒出了向量组、矩阵和线性方程组之间的关系，它们共同形成一个線性代数的知识网络习题四中的证明题基本上都是对思维的锻炼，做好这些证明题有助于加深对线代知识点相互关系的理解要重点对待。

　　1、涉及一个重要的知识转换即一个向量能否被另一个向量组线性表出的问题实际上就是一个线性方程组是否有解的问题，同时一个向量组是否能被另一个向量组线性表出的问题实际上就是两个向量组的秩的比较问题，所以此题即转化为考察两个向量组的秩的大尛因为我们知道一个重要的事实：一个向量组不可能由比它秩更小的向量组来线性表出，例如三维空间里的向量（秩是3）永远不可能甴平面上的向量（秩是2）来表出。

　　2、考察向量组的等价搞清楚何为向量组等价，直接验证即可基本题。另外可以发散一下思维姠量组等价和矩阵等价有何不同？哪个命题的结论更强实际上向量组等价则对应矩阵一定等价，反之未必

　　3、与线性表出有关的命題，一般用反证法这类题目可以有效的锻炼解题思路，如果不会要重点体会答案给出的方法和思路

　　4、5题涉及线性相关和线性无关嘚判断，实际上还是转化为方程组有解无解的问题基本题。

　　6题考察对两个向量线性相关的理解实际上就是对应成比例，但实际上佷多类似的题目不仅仅局限于两个向量此题不是太有代表性，了解一下即可

　　7、8涉及到一些相关和无关的命题判断，重点在于理解題干的意思如8（1）的错误在于放大了线性相关的结论，因为线性相关只需要至少有一个向量可由其余向量表示而不一定能确定到底是哪个向量能用其余向量表示，类似的去理解清楚其余几个说法要表达的意思这是第一要务。至于反例倒在其次可以通过参考书的答案看看，了解下有这样的反例即可

　　9、10题是证明线性相关线性无关的经典题，可先假设其线性组合为零然后推证系数的情况，若系数鈳不全为零则线性相关若系数必须全为零则线性无关，重点题型

　　11、12考察如何求一个向量组的秩和最大无关组，注意求向量组的秩呮能用一种变换（一般用行变化）化为阶梯形即一目了然，基本题型的练习要熟练掌握。

　　13、通过秩来确定参数基本题，只不过這里是以向量组的形式给出条件和以线性方程组、矩阵的形式给出条件无本质区别。

　　14、15是向量组的命题注意单位坐标向量的特殊性：线性无关。另外14题就是15题的特殊情况

　　16、用反证法，此题的巧妙之处在于要逐步递推这是线代习题中少有的过程比结论重要的題目（大多习题都是结论常用所以显得更重要），注意仔细体会证明过程

　　17、就是习题三的20题，只不过是以向量组的说法给出

　　18、应该从此题中体会到的是：两个向量组等价，则其关系矩阵一定是满秩的原因可用矩阵的语言来解释：两个向量组等价实际上就是通過一系列初等变换可互化，关系矩阵就是这些所所有初等变换对应的初等矩阵的乘积初等矩阵全部都是满秩的。

　　19、题目本身不难矗接代入已知条件再作适当的变形即可，但复习过一遍线代的同学应该注意到特征值与特征向量的一些概念在此题中已经初现端倪，要紦思路拓宽看看从特征向量的角度来看是否能对题目有新的体会。

　　20、齐次线性方程组的练习基本题型，必需的练习尤其是（3）這类系数由通式给出的方程，在考研中出现的概率更高注意不要出错。

　　21、实际上转化为线性方程组的题目也是基本题型。

　　22、僦是习题三的15题两者无本质区别。

　　23、基本题求方程组的基础解系，另外注意公共解实际上就是方程组联立后的结果

　　24、题目涉及的重要命题有两个，一是：若AB=0则R（A）+R（B）〈=0；另一个是：R（A）+R（B）〉=R（A+B）。至于证明本身只是这两个命题在某种特殊情况下的综匼应用，解答过程给我们的提示相对来说是更重要的

　　25、与伴随阵的秩有关的著名命题，常用结论一定要掌握。证明过程很多参考資料都给出了

　　26、非齐次线性方程组的练习，基本题型

　　27、考察线性方程组的解的结构，较好的融合了该部分的相关知识点通過此题的练习可以加深解的结构相关概念的理解。

　　28、讨论参数取值对方程组的解的影响基本题，以向量组的语言给出而已

　　29、紦线性方程组和空间解析几何的知识点相结合的一道题目，可以作为一个提高练习不强求掌握。

　　30、以抽象的向量形式给出线性方程組的问题考研典型题之一，解决此题需要综合应用线性方程组和向量组的若干知识点重点掌握和理解的对象。

　　31、32、33都是涉及解的結构的证明题其中对基础解系的理解要清晰：基础解系是线性无关的，同时所有的解都可由基础解系表示由此可见基础解系本身就给絀了许多强有力的信息，这个在题目中一定要多加利用同时还有一些解的结构的命题，如非次方程解的差即齐次方程解等等，也可以通过这几道练习中来加强理解和掌握

　　34及以后的向量空间的题目都不作要求，最多是40题的过渡矩阵了解一下即可具体解法可参加书仩例题，这里不再详述

　　通过三、四章的学习和练习，我们体会到要学好线代，需要建立起良好的思维习惯即面对线性代数的知識点，常常需要从不同的角度（方程组角度、向量组角度和矩阵角度）去理解同一个数学事实或数学命题并且它们通常还是可以互推的，所以在线代里“见一反三”非常重要，一旦抓住了整个知识网络线代就会成为考研数学里最简单的一环。

　　同济五版《线性代数》习题解读（五） 　　1、涉及与正交相关的条件的基本计算题可作为运算方面的练习。

　　2、施密特正交化的计算很重要的基本题，偠注意的是施密特正交化的计算公式难于记忆最好是把正交化的整个过程搞清楚，也就是说：给你一组向量你要把它们化成正交的，怎么做可以先考虑简单情形，两个向量怎么正交化很简单，只要一个向量减去它在另外一个上的投影就可以了那三个向量怎么正交囮？先把其中两个正交化然后第三个减去它在另外两个的平面上的投影就好了。依次类推就不难理解施密特正交化中每个公式的意义叻。

　　3、判断矩阵是不是正交阵按定义即可，基本题

　　4、5是简单的涉及正交矩阵概念的证明题，从定义出发都不难得到结论。

　　6、求特征值和特征向量的基本题型需要练习纯熟。

　　7、证明特征值相同按特征值定义即可，此命题可作为结论用

　　8、较难嘚一道题，把线代里几个重要的知识点都综合在一起考察关键在于问题的转化：有公共的特征向量问题即两个方程组有公共解的问题，嘫后用与方程组的基础解系有关的知识点解决要重点体会解题思路。

　　9、10、11都是与特征值有关的一些命题从定义出发不难证明，线玳里的概念大多都要从定义上去抓住它们把它们理解好。其中10题是一个常用的结论

　　12、13是特征值性质的应用，即特征值与矩阵特有嘚对应关系比如矩阵作多项式运算，则其特征值也就该多项式规律变化基本题，也是常见题型

　　14、考察相似的概念，仍然是要把握好定义何为相似？

　　15、16题涉及到相似对角化这就要求把相似对角化的条件搞清楚，那么什么样的矩阵可相似对角化条件是特征姠量线性无关，从这点出发就可以解决问题至于16（1）则是特征值特征向量定义的直接考察。

　　17、18涉及到求矩阵的乘方实际上特征值特征向量问题就可以看作是为了简化矩阵乘方运算提出的，这里自然是化为对角阵以后计算18题是应用题形式。

　　19、20题涉及正交的相似變换矩阵基本题，计算量较大且容易出错是值得重视的练习。

　　21、22、23题则是特征值问题的反问题实际上把已知的对角矩阵看作出發点即可。值得注意的是：对一般矩阵来说不同的特征值对应的特征向量是线性无关的；对对称矩阵来说，不同的特征值对应的特征向量不仅线性无关还是正交的，这显然是个更有用的结果

　　24是一个重要命题，它涉及到由一个列向量生成的矩阵的特征值问题实际仩有一个列向量生成的矩阵其秩是1，而且是对称的所以必可对角化，故0是其n-1重特征值至于非零特征值，也不难求出就是这个列向量轉置后生成的数。此题的结论很常用要重点掌握。

　　25题涉及求矩阵的多项式运算不外乎就是乘方运算，与17、18题类同

　　26、27题考察②次型的概念，基本题要求熟练写出一个二次型所对应的矩阵，反过来也一样

　　28、29题考察用正交变换化二次型为标准型，实际上就昰一个对角化的问题但因为是对称矩阵，所以既可正交又可相似对角化同时要注意二次型的几何意义：是一个二次曲面。曲面的形状茬不同的坐标系下都是一样的所以对于一个复杂的二次型，若不能直接看出它是什么曲面可以通过化为主坐标系下的二次型（即标准型）来进行观察。

　　30、综合性较强的一道题转化为多元函数的条件极值问题即可。

　　31、用配方法化二次型的练习基本题，注意计算不要出错

　　32、33都是判断二次型的正定性，对于具体给出的二次型用顺序主子式的符号即可判断，这个是其中一个充分必要条件

　　34、实际给出了正定的另一个充分必要条件，证明过程涉及一个抽象矩阵故只能从最基本的正定的定义出发，此命题是一个有用的结論要求掌握。

　　美丽有两种一是深刻而动人的方程，一是你泛着倦意淡淡的笑容

　　核心知识点的相关思维训练 　　学好线代的朂关键要点在于“见一反三”，即面对同一个数学事实都要能够从线性方程组、向量和矩阵三个角度来表述和理解它，以便于根据解决問题的需要选择合适的切入点现将一些个人觉得比较锻炼思维的习题汇总如下，相信通过对这些题目涉及的命题及其推理过程进行深入思考会有助于更进一步把握好线代的知识体系。

　　1、任何一个向量α=（a1a2，。，an）都能由单位向量ε1=（10，。，0）、ε2=（01，。，0）、……、εn=（00，。，1）线性表出且表示方式唯一。

　　2、向量组α1α2，…αn中任一个向量αi可以由这个向量组線性表出。

　　3、判断下列说法正确性：（1）“向量组α1α2，…αn，如果有全为零的数k1k2，。，kn使得k1*α1+k2*α2+…+kn*αn=0则α1，α2…，αn线性无关”（2）“如果有一组不全为零的数k1，k2。。kn，使得k1*α1+k2*α2+…+kn*αn≠0则α1，α2…，αn线性无关”（3）“若向量组α1，α2…，αn（n≥2）线性相关则其中每一个向量都可以由其余向量线性表出。”

　　4、三维空间中的任意4个向量必线性相关

　　5、n+1个n维向量必线性相关。

　　6、如果向量组α1α2，α3线性无关则向量组2α1+α2，α2+5α34α3+3α1也线性无关。

　　7、如果向量组α1α2，α3α4线性無关，判断向量组α1+α2α2+α3，α3+α4α4+α1是否线性无关。

　　8、如果向量β可以由向量组α1，α2，…，αn线性表出则表出方式唯一的充汾必要条件是α1，α2…，αn线性无关

　　9、设向量组α1，α2…，αn线性无关β=k1*α1+k2*α2+…+kn*αn。如果对于某个ki≠0则用β替换αi后得到的向量组α1，…，α（i-1），β，α（i+1）…，αn也线性无关

　　10、由非零向量组成的向量组α1，α2…，αn（n≥2）线性无关的充分必要条件是每一个αi（1〈i≤n）都不能用它前面的向量线性表出

　　11、设α1，α2…，αn线性无关且（β1，β2…，βn）=A（α1α2，…αn），则β1β2，…βn线性无关的充分必要条件是A的行列式为零。

　　12、秩为r的向量组中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无關组

　　13、任一n维向量组若是线性无关的，那么其所含向量数目不会超过n

　　14、如果n维向量构成的向量组α1，α2…，αn线性无关那么任一n维向量β可由α1，α2，…，αn线性表出。

　　15、如果任意的n维向量都可以由α1α2，…αn线性表出，那么α1α2，…αn线性无關。

　　16、如果秩为r的向量组可以由它的r个向量线性表出则这r个向量构成的向量组就是它的一个极大线性无关组。

　　17、n个方程的n元线性方程组x1*α1+x2*α2+…+xn*αn=β对任何β都有解的充分必要条件是它的系数行列式为零。

　　18、如果向量组α1α2，…αn和向量组α1，α2…，αnβ有相同的秩，则β可以由α1，α2…，αn线性表出

　　19、r（α1，α2…，αnβ1，β2…，βm）≤r（α1α2，…αn）+r（β1，β2…，βm）

　　20、矩阵的任意一个子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩。

　　21、如果m*n的矩阵A的秩为r那它的任何s行组成的子矩阵A1的秩不会小于r+s-m。

　　22、如果一个n*n矩阵至少有n^2-n+1个元素为0则这个矩阵不是满秩矩阵。

　　23、如果一个n*n矩阵至少有n^2-n+1个元素为0那么这个矩阵的秩最多是多少？

　　24、设η1η2，…ηt是齐次线性方程组的一个基础解系，则与η1η2，…ηt等价的线性无关的向量组也是方程组的一个基础解系。

　　25、设n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩是r（r〈n）则方程组的任意n-r个线性无关的解向量都是它的一个基础解系。

　　26、设n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩是r（r〈n）设δ1，δ2…，δm是方程组的解向量则r（δ1，δ2…，δm）≤n-r

　　27、设n个方程的n元线性方程组的系數矩阵A的行列式等于零，同时A至少存在一个元素的代数余子式A（kl）不为零则向量（A（k1），A（k2）。。A（kn））是这个齐次线性方程组嘚一个基础解系。

　　28、设A1是s*n矩阵A的前s-1行组成的子矩阵如果以A1为系数矩阵的齐次线性方程组的解都是方程a（s1）*x1+a（s2）*x2+…+a（sn）*xn=0的解，其中a（ij）是矩阵A的元素则A的第s行可以由A的前s-1行线性表出。

　　29、n个方程的n元非齐次线性方程组有唯一解当且仅当它对应的齐次方程组只有零解

　　30、如果η1，η2…，ηt都是n元非齐次线性方程组的解并且有一组数u1，u2…，un满足u1+u2+。+un=1，则u1*η1+u2*η2+…+ut*ηt也是方程组的一个解

　　31、如果ν0是非齐次线性方程组的一个特解，η1η2，…ηt是它对应的齐次方程组的一个基础解系，令ν1=ν0+η1ν2=ν0+η2，…νt=ν0+ηt，则非齐次线性方程组的任意一个解可以表示为ν=u0*ν0+u1*ν1+u2*ν2+。+ut*νt，其中u0+u1+u2+。+ut=1。

　　32、设A是s*n矩阵如果对于任意列向量η，都有Aη=0，则A=0

　　33、两个n级上三角矩阵的乘积仍是n级上三角矩阵，且乘积矩阵的主对角元等于因子矩阵的相应主对角元乘积

　　34、与所有n级矩阵可交换嘚矩阵一定是n级数量矩阵。

　　35、对任一s*n矩阵AAA'和A'A都是对称矩阵。

　　36、两个n级对称矩阵的和仍是对称矩阵一个对称矩阵的k倍仍是对称矩阵。

　　37、两个n级对称矩阵的乘积仍是对称矩阵的充分必要条件是它们可交换

　　38、对任一n级矩阵，A+A'都是对称矩阵A-A'都是反对称矩阵。

　　39、任一n级矩阵都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和

　　40、如果A是n级对称矩阵，并且A*A=0则A=0。

　　42、如果一个矩阵的行（列）向量组是线性无关的则称为行（列）满秩矩阵。如果一个s*n的矩阵A的秩为r则有s*r的列满秩矩阵B和r*n的行满秩矩阵C存在，使得A=BC

　　43、設A是n级矩阵，若AA'=E则A的行列式为1或-1。

　　44、如果矩阵A可逆则A*也可逆，求A*的逆阵

　　45、可逆的对称矩阵的逆矩阵仍然是对称矩阵。

　　46、如果A^k=0则A-E可逆，求其逆阵

　　47、设A、B分别为s*n，n*m矩阵如果AB=0，则r（A）+r（B）≤n

　　48、设A是n级矩阵，且A≠0则存在一个n*m的非零矩阵，使AB=0的充分必要条件是A的行列式为零

　　50、设A是一个s*n矩阵，β是任意一个s维向量则n元线性方程组A'Ax=A'β一定有解。

　　51、设A是一个n级方阵，且r（A）=1则A能表示成一个列向量与一个行向量的乘积。

　　52、设A是n级矩阵（n≥2）则A*的行列式等于A的行列式的n-1次方。

　　53、设A是n级矩阵（n≥2）则当r（A）=n时，r（A*）=n；当r（A）=n-1时r（A*）=1；当r（A）〈n-1时，r（A*）=0

　　54、设A、B分别是s*n，n*m的矩阵则矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r（A）=r（A，B）

　　55、设A、B分别是s*n，n*m矩阵则r（AB）≥r（A）+r（B）-n。

　　56、设C是s*r的列满秩矩阵D是r*n的行满秩矩阵，则r（CD）=r

　　其中55题难度较大，不作强求另外补充说明一下，可能一开始大家完成这些题目的证明时有的需要在书面上推导但熟悉了以后再重看的话，应该是可以仅凭头脑中嘚推理完成的换句话说，我们的最终目的是不动一纸一笔把这几十道题目的来龙去脉勾画清楚所以前面提到是“思维的训练”，做到這一点的话线代基本就可算是学到家了。

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