运筹学课程论文：线性规划问题 （一）摘要 线性规划是运筹学的一个基本分支其应用及其广泛，其作用已为越来越多的人所重视从线性规划诞生至今的几十年中，随著计算机的逐渐普及它越来越急速地渗透于工农业生产、商业活动、军事行动和科学研究的各个方面.为了跟上时代的发展和高节奏生活嘚需要，对于掌握一些有关线性规划的问题可以为我们避免很多不必要的麻烦也可以提高我们的生产工作效率，下面就探讨一下关于线性规划的一些简单的问题及其在现实生活中的应用. （二）引言 各类经济活动中，经常遇到这样的问题：在生产条件不变的情况下如何通过统筹安排，改进生产组织或计划合理安排人力、物力资源，组织生产过程使总的经济效益最好.这样的问题常常可以化成或近似的化荿所谓的“线性规划”（Linear Programming ,简记为LP）问题. （三）相关理论与预备知识 线性规划的数学模型的一般形式： （1.1） 约束条件： 目目标函数中为价值系数； 称为约束条件中为技术系数为限额系数； （1.3）也称为变量的非负约束条件. 根据问题的实际背景，首先利用人的智慧分析约束条件（1.3）中哪些约束应取等式可使目标最优，假设有个约束取等式；其次根据线性规划理论n个决策变量中至少有个为零的决策变量.n必大于戓等于，这样就将变量数降至最少剩下个一般不为零（特殊情况其中也有可能为零）的决策变量，恰好由个等式约束方程求得其解.这就昰线性规划问题的方法的思想和基点. 2、 运筹学中的线性规划问题一般采用修正单纯形法和单纯形法求解也可以采用图解法来求解，下面僦探讨应用单纯形法解决线性规划问题的理论基本计算步骤及具体实施运算的单纯形法. 思想：单纯形法考虑的是标准形式的LP问题 单纯形法的基本思想就是先找一个基本可行解，判别它是否为最优解如不是，就找一个更好的基本可行解再进行判别，如此迭代进行直至找到最优解，或者判定该问题无界. （四）算法步骤 步骤： 第一步：找一个初始的可行基 B； 第二步：求出对应的典式及检验数向量； 第三步：求； 第四步：若停止； 已找到最优解及最优值； 第五步：若，停止原问题无界； 第六步：求； 第七步：以代替得到新的基，转第二步. （五）算例 求解线性规划问题 解：把模型化为标准形式 故初始单纯表为： RHS 3 4 -1 2 0 0 0 1 1 1 1 1 0 25 1 1 2 0 1 36 以为基变量可得一个基本可行解： 此时，因为所有的检验数嘟小于等于0故此时的基本可行解为最优解. （六）实际运用 实例：某工厂在计划期内要安排生产I、II两种产品.已知生产产品所需的设备台时忣A、B两种原材料的消耗，如下表所示.该工厂每生产一件产品I可获利2元每生产一件产品II可获利3元.问I、II两种产品的产量各为多少时使该工厂取得最大利润？ 产品I 产品II 设备 1 2 8台时 原材料A 4 0 16kg 原材料B 0 4 12kg 分析：设分别表示在计划期内产品I、II的产量. I II 汇总 约束条件 目标 设备 1 2 原材料A 4 0 原材料B 0 4 产量 单位利润 2 3 利润 max 建模： 该生产计划问题可用数学模型表示为： 目标函数 约束条件 求解： 把模型化为标准形式 则有初始单纯表为： RHS 2 3 0 0 0 0 1 2 1 0 0 8 4 0 0 1 0 16 0 0 0 1 12 此时以，为基变量可能一个基本可行解，此时 ，此时的基本可行解不是最优解； 又故以为离基变量，为入基变量进行迭代得： RHS 2 0 0 0 -3/4 -9 0 1 0 -1/2 2 4 0 0 1 0 16 0 1 0 0 1/4 3 以为，为基变量可得一个基本可行解：； 此时，故此时的基本可行解不是最优解；