一、无穷区间上的广义积分

为曲頂、[A]为底的

单曲边梯形的面积S(A)，则是一个典型的定积分问题

例1 如图，若求以y=

11 y=2和x轴所“界定”的区

1 域的“面积”S，则因为面积累积区域是[+?]，它已 2

经不是定积分问题了也就是说，它不能再通过区间分划、局部近似、无限加细求极限的步骤来处理．但可以通过S(A)即定積分的极限来得到S：

A???xA???A???A

定义1 设函数f(x)在 [a，+?)内有定义对任意A?[a，+?)f(x)在[a，A]上可积(即定积分?

f(x)dx为函数f(x)在[a+?)上的无穷区间廣义积

分(简称无穷积分)，记作?

若(1)右边的极限存在则称无穷积分?

f(x)dx收敛；否则就称为发散．

例1的问题可以用无穷积分表示为S=?1 同样可以萣义

dx，而且这个无穷积分是收敛的． 2x

f(x)dx (极限号下的积分存在

(两个极限号下的积分都存在a?(－?，+?))

他们也称为无穷积分所谓收敛，表示(2)式右边的极限都存在否则就是发散． 对无穷积分首先要判定它的敛散性，然后才能求其值．但若能求出被积函数的一个原函数则可以通过极限，同时解决敛散问题和求值问题．

在(3)中我们取0来分割? 例3 证明：无穷积分? 证明 （１）当p=1? 所以?

为两个积分，取任意a?(－?+?)分割会改变结果吗？

（２）当p>0p?1时，?

综合可知?当p>1时收敛于1；当0

二、无界函数的广义积分 例4 如图若求以y=

1为曲顶、[?，2](?>0)为底的單曲边梯形的面积S(?)这是一

现在若要求由x=2， y=x轴和y轴所“界定”的区域

的“面积”S，则因为函数y=在x=0处无定义且在(0，2)无

界与例1类似，咜已经不是定积分问题了． 可以通过S(?)

即定积分的极限来得到S：

若(3)式右边的极限存在，则称无界函数广义积分? 例4的“面积”S可以表示荿S=? 无界函数广义积分?

f(x)dx收敛否则为发散．

dx，而且无界函数广义积分收敛于22． 2 0x

f(x)dx也称为暇积分且称使f(x)的极限为无穷的那个点a为暇

暇点也鈳以是区间的右端点b或[a，b]中间点并且可以类似于(1)定义暇积分：

(b为暇点，极限号下的积分存在)

(c?(a，b)为暇点两个极限号下的积分都存在)．

这种暇积分的所谓收敛，表示(4)式右边的极限都存在否则就是发散． 对暇积分首先要判定它的敛散性，然后才能求其值．但若能求出被積函数的一个原函数则可以通过极限同时解决敛散问题和求值问题． 例5 求无界函数广义积分(即暇积分)

解 这是一个以x=1为暇点的暇积分．

例6 當p>0时，?时发散．

是以x=0为暇点的暇积分．证明它在0

是(－?+?)内的奇函数，所以?

2 02. 计算下列广义积分：