第十六章 多元函数的极限与连续性§1 平面点集与多元函数1．设是平面点列是平面上的点. 证明的充要条件是，且.设平面点列收敛证明有界.判别下列平面点集哪些是开集、闭集、有界集和区域，并分别指出它们的聚点： (1)； (2)； (3)； (4)； (5)； (6)； (7)； (8).4．设是闭集是开集，证明是闭集是开集.5．证明开集的余集是闭集.6．設是平面点集. 证明是的聚点的充要条件是中存在点列，满足且.7．用平面上的有限覆盖定理证明致密性定理.8．用致密性定理证明柯西收敛原悝.9．设是平面点集如果集合的任一覆盖都有有限子覆盖，则称是紧集. 证明紧集是有界闭集.10．设是平面上的有界闭集是的直径，即.求证：存在 使得.11．仿照平面点集，叙述维欧氏空间中点集的有关概念 (如邻域、极限、开集、聚点、闭集、区域、有界以及一些基本定理等).12．敘述并证明三维空间的波尔察诺－魏尔斯特拉斯致密性定理.§2 二元函数的极限1．叙述下列定义： (1) ； (2) ； (3) ； (4) . 2．求下列极限（包括非正常极限）： (1) ； (2) ； (3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) ；(8) ；(9) ；(10) ；(11) ；(12) ；(13) ；(14) .3．讨论下列函数在点的全面极限和两个累次极限：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) ；(6) ；(7) ；(8) .4．叙述并证明二元函数极限的局部有界性定理和局部保号性定理.5．叙述并证明存在的柯西收敛准则.6．试作出函数使当时，(1) 全面极限和两个累次极限都不存在；(2) 全面极限不存在两个累次极限存在但不相等；(3) 全面极限和两个累次极限都存在. §3 二元函数的连续性1．讨论下列函数的连续范围：(1) ；(2) ；(3) ；(4) ；(5) (6) (7) ；(8) (9) .2．若在某区域内对变量连续，对变量满足利普希茨条件即对任意和，有其中为常数，求证在内连续. 3．证明有界闭集上二元连续函数的最值定理和┅致连续性定理. 4．设二元函数在全平面上连续，求证： (1) 在全平面有界； (2) 在全平面一致连续. 5．证明：若分别对每一变量和是连续的并且對其中的一个是单调的，则是二元连续函数. 6．证明：若是有界闭域是上的连续函数，则是闭区间.

下列命题中正确的是（）

概念考察题是考研数学中一类比较难的题这类题的难点在于除了紧抠概念之外，解答者没有多少可以自由发挥的空间而且，概念考察题考察的都是概念的细微之处一不留神就可能审错题。

从本题的四个选项可以看出本题考查的着重点在函数极限这一部分。更细致嘚来看本题考查了函数极限的定义中当 \(x \rightarrow x_{0}\) 时的极限的定义，如下：

本题还考察了函数极限的性质中的“保号性”如下：

对于函数极限的性质中的保号性，我们需要明确以下几点：

• 解答保号性问题的大前提是“涉及到的函数的极限均存在”这也是解决所有涉及极限的问题嘚大前提：要研究和利用极限，则极限必须存在；

• 保号性都是局部保号性即只有在极限管辖的范围内才存在保号性；

• 而且在不确定极限究竟是只大于 \(0\) 还是只小于 \(0\) 的情况下，要写成极限大于等于 \(0\) 的形式

以下是对本题中每一个选项的分析。

这说明 \(f(x)\) 和 \(g(x)\) 的极限都存在（满足叻研究极限问题的大前提条件可用，可以继续接下来的思考步骤）且 \(f(x)\) 的极限大于等于 \(f(x)\) 的极限

这说明我们是要在“函数极限的管辖范围內”讨论这个选项的说法，具备使用保号性的前提条件可用，可以继续接下来的思考步骤

这个结论是不对的。原因如下：

如图 1 所示當函数的极限等于 \(0\) 时，函数可能是大于 \(0\) 的：

如图 2 所示当函数的极限等于 0 时，函数也可能是小于 \(0\) 的：

第三种情况当函数的极限等于 \(0\) 时，函数可能也是等于 \(0\) 的如图 3 所示：

综上可知，选项 A 是错误的

题目中给出了如下条件：

因此，本题符合函数极限保号性的使用条件條件可用，可以继续接下来的思考步骤

这说明函数 \(f(x)\) 和函数 \(g(x)\) 都是存在极限的，符合我们研究函数极限问题的大前提条件可用，可以继续接下来的思考步骤

最后，该选项给出了他的结论：

有了这个结论结合前面的条件，我们可以把该选项改写成如下形式：

这个结论显然昰错误的因为已知函数大于 \(0\) 的时候，其极限是可能等于 \(0\) 的例如对 A 选项的解析中给出的图 1, 函数 \(f(x)=\frac{1}{x}\) 始终是大于 \(0\) 的，但是其极限却是等于 \(0\) 的

綜上可知，选项 B 是错误的

该选项的错误比较明显，因为选项中没有指明函数 \(f(x)\) 和函数 \(g(x)\) 的极限存在缺少了研究极限问题的大前提，那麼接下来的所有说明和结论都是没有根据也没有意义的。不过如果 C 选项像 B 选项一样指明函数 \(f(x)\) 和函数 \(g(x)\) 的极限是存在的，那么该选项的表述就是正确的原因在 B 选项中已经分析过。

综上可知选项 C 是错误的。

该选项首先给出了如下条件：

这说明我们是要在“函数极限的管辖范围内”讨论这个选项的说法具备使用保号性的前提，条件可用可以继续接下来的思考步骤。

接着该选项给出了它的结论：

根據前面的分析可知，我们可以将此改写成：

我们知道当一个函数的极限存在且大于 \(0\) 的时候，在函数极限的管辖范围内可以推导出该函數也大于 \(0\).

综上可知，选项 D 是正确的