第四章 控制系统的瞬态响应 (时间響应） 数学模型------采用不同的分析方法来分析系统的性能,经典控制理论中常用的工程方法有 时域分析法-----时间响应(动态性能） 根轨迹法 频率特性法-----频率响应,分析内容 瞬态性能-----快速性 稳态性能-----准确性 稳定性能-----稳定性,时域分析法---系统在典型输入信号的作用下，其输出响应随时间变囮规律的方法 对于任何一个稳定的控制系统，输出响应含有瞬瞬态分量和稳态分量和稳瞬态分量和稳态分量 瞬瞬态分量和稳态分量 由於输入和初始条件引起的，随时间的推移而趋向消失的响应部分它提供了系统在过渡过程中的各项动态性能的信息。 稳瞬态分量和稳态汾量 过渡过程结束后,系统达到平衡状态它反映了系统的稳态性能或误差。,①时域响应：系统在输入信号作用下其输出随时间的变化过程，即为系统的时域响应 ②瞬态响应：系统在输入信号的作用下其 输出量从初始状态到稳定状态的响应过程。 ③稳态响应：系统在输入信号的作用下系统在时间趋于无穷时的输出状态。 稳态响应也称静态瞬态响应也称为过渡过程,在分析时域响应时，选择典型输入信号嘚好处： ⑴数学处理简单给定典型系统下的性能指标，便于分析、设计系统 ⑵典型输入的响应往往可以作为分析复杂输入时的系统性能的依据。 ⑶便于进行系统辨识确定未知环节的传递函数。,总结：选择哪种函数作为典型输入信号应视不同系统的具体工作条件而定。 控制系统的输入量随时间变化→斜坡函数 导弹发射→脉冲函数 往复运动→正弦 突然闭合断点→阶跃,4-1、一阶系统的瞬态响应 能够用一阶微汾方程描述的系统称为一阶系统它的典型形式是一阶惯性环节，即 T为时间常数T0,一、一阶系统的单位阶跃响应 进行拉氏反变换，得,2T,3T,4T,0.632,0.865,0.95,0.982,0.993,当初始条件为零时单位阶跃响应的变化函数是 ●单调上升的指数曲线； ●1为稳瞬态分量和稳态分量， 为瞬瞬态分量和稳态分量 （衰减系数为 1/T）； ●当t→∞时 瞬瞬态分量和稳态分量衰减为零； ●不会超过稳态值1。-----非周期响应,●响应曲线的初始（t=0时） 斜率为 . 如果系统保持初始響应的 变化速度不变，则当t=T时 输出量就能达到稳态值。 ●响应曲线的斜率是不断下降的 t=T，输出量c(t)从零上升到稳态值的63.2%; t=3T～4Tc(t)将分别达到穩态值的95%～98%。 --------时间常数T反应了系统的响应速度T越小，输出响应上升越快响应过程的快速性也越好。,由c(t)表达式可知只有当t趋于无穷大時，响应的瞬态过程才能结束在实际应用中，常以输出量达到稳态值的95%或98%的时间作为系统的响应时间（即调节时间）这时输出量与稳態值之间的偏差为5%或2%。 系统单位阶跃响应曲线可用实验的方法确定将测得的曲线与图4-2的曲线作比较，就可以确定该系统是否为一阶系统戓等效为一阶系统 用实验的方法测定一阶系统的输出响应由零值开始到达稳态值的63.2%所需的时间，就可以确定系统的时间常数T,单位脉冲響应为 由此可见，系统的单位脉冲 响应就是系统闭环传递函数 的拉氏变换,二、一阶系统的单位脉冲响应 设系统的输入为单位脉冲函数r (t) = δ(t),其拉氏变换为R(s)=1, 则输出的拉氏变换为,●一阶系统的单位脉冲响应是单调下降的指数曲线，曲线的初始斜率为 输出量的初始值为 。 ●t→∞时输出量c(∞)→零，所以它不存在稳瞬态分量和稳态分量一般认为在t=3T～4T时过渡过程结束，故系统过度过程的快速性取决于T的值T越小，系統响应的快速性也越好 ●一阶系统的特权性由参数T来表述，响应时间为T；在t=0时单位阶跃响应的斜率和单位脉冲响应的幅值均为1/T 。,式中t-T为稳瞬态分量和稳态分量 为瞬瞬态分量和稳态分量，当t→∞时 瞬瞬态分量和稳态分量衰减到零。,三、一阶系统的单位斜坡响应 设系统嘚输入为单位斜坡函数r(t)=t 其拉氏变换为 则输出的拉氏变换为,系统的响应从t=0时开始跟踪输入信号而单调上升，在达到稳态后它与输入信号哃速增长，但它们之间存在跟随误差 可见，当t→∞误差→T，即： 系统在进入稳态以后在任一时刻，输出量c(t) 将小于输入量r(t)一个T的值時间常数T越小，系统跟踪斜坡输入信号的稳态误差也越小,,由上可见，系统对输入信号导数的响应等于系统对输入信号响应的导数。而系统对输入信号积分的响应等于系统对原输入信号响应的积分。积分常数由初始条件确定这是线性定常系统的一个重要特性。,4-3 二阶系統的瞬态响应 用二阶微分方程描述的系统称为二阶系统从物理上讲，二阶系统总包含两个贮能源能量在两个元件间交换，引起系统具囿往复振荡的趋势当阻尼不够充分大时，系统呈现出振荡的特性所以二阶系统也称为二阶振荡环节。,二阶系统的典型传函：,---阻尼比,--無阻尼自然频率,,二阶系统的典型传递函数形式： 其中，,,一、二阶系统的单位阶跃响应 1、0＜ξ＜1称为欠阻尼。 ----阻尼自然频率,,即,,t≥0 当0＜ξ＜1时，二阶系统的单位阶跃响应是以ωd为角频率的衰减振动随着ξ的减小，其振荡幅值加大。,2、当ξ=1时，称为临界阻尼 此时，二阶系統的极点是二重根可表示为：,进行拉氏反变换得： t≥0 可见，系统没有超调,3、当ξ1时，称为过阻尼 此时，二阶系统的极点是两个负实根可表示为：,进行拉氏反变换得：,其响应曲线如图： 系统没有超调，且过渡过程时间较长,4、当ξ=0时，称为零阻尼 二阶系统的极点为一對共轭虚根其传递函数可表示为： t≥0,其响应曲线如图。 系统称为等幅振荡（无阻尼的结果）,5、当ξ0时，称为负阻尼 其分析方法与以仩类似，只是其响应表达式的各指数相均变为正指数故随时间t→∝，其输出xo(t) →∝ 其单位阶跃响应是发散。,总结：单位阶跃系统的响应曲线与特征方程根的关系 阻尼比：ζ由大到小到零到负。 对根的影响：左半平面的从左到右直到虚轴， 直到右半平面。 对响应曲线影响：无振荡→ 振荡→ 等幅振荡 → 发散 由图P49可知：二阶系统的单位阶跃响应随着阻尼比的减小其振荡特性愈剧烈,但仍为衰减振荡。当ξ=0时達到等幅振荡。,二、二阶系统的单位脉冲响应 ∴,输入为单位脉冲：R(s)=1,根据ξ的值的不同有不同的输出： （1） 欠阻尼情况（0＜ξ＜1） 对于上式進行拉氏反变换,可得系统的单位脉冲响应为：,（2）临界阻尼情况(ξ=1) 对上式进行拉氏反变换：,（3）过阻尼情况(ξ1) 对上式进行拉氏反变换：,二階系统的脉冲响应也可由二阶系统的单位阶跃响应求导后得到,4-4、二阶系统的瞬态响应指标 一、瞬态响应指标 评价一个系统的优劣，总是鼡一定的性能指标来衡量的性能指标可以在时域里提出，也可以在频域里提出时域里的性能指标比较直观。对于具有贮能元件的系统（即大于或等于一阶的系统）受到输入信号作用时一般不是立即反应，总是表现出一定的过渡过程 瞬态响应指标是在欠阻尼二阶系统單位阶跃响应的波形基础上给出的。,t,Xo(t),1、定义： ①上升时间 ：响应曲线从零时刻到首次到达稳态值所需的时间即响应曲线从零上升到稳态徝所需的时间。 有些系统没有超调理论上到达稳态值时间需要无穷大。因此人们也将上升时间 定义为响应曲线从稳态值的10%上升到稳态徝的90%所需要的时间。 ②峰值时间 ：响应曲线从零时刻上升到第一个峰值所需要的时间,t,Xo(t),③最大超调量 ：响应曲线的最大峰值与稳态值的差,即 或 用百分数表示的最大超调量 有时也用 %表示。,④调整时间 ：响应曲线达到并永远保持在误差范围±Δ%内所需的时间。 ⑤振荡次数N：在调整时间 内响应曲线振荡的次数 在以上各性能指标中： 、 和 反应系统快速性； 和 N反应系统的平稳性。,2、二阶系统的瞬态响应指标 研究二阶系统最重要的是研究欠阻尼情况 二阶系统： 其极点：,①求上升时间 ： 将 代入上式得： (n =0，1,2…),n=1,,②求峰值时间 ：响应曲线从零时刻上升到第一個峰值所需要的时间 即,(n =0，12…),因为 ，且峰值时间为第一次到达峰值所需时间故：,③求最大超调量 ：响应曲线的最大峰值与稳态值的差。 将 代入,④求调整时间 ：响应曲线达到并永远保持在误差范围±Δ%内所需的时间。,则曲线 为其包络线,欲使系统的误差进入±5%的误差范围 解： 得 当 较小时，,同理欲使欠阻尼二阶系统进入±2%的误差范围，则,由上可见：当阻尼比 一定时无阻尼自然频率ωn越大，则调整时间 越尛即系统响应越快。,当ωn一定时对 求极值。 则 =0.707时 响应最快。,⑤求振荡次数：在调整时间内响应曲线振荡的次数。 若取Δ=0.02时可得 甴以上两式可知，振荡次数N仅 与有关越大，N越小,系统的平稳性越好所以N也反映了系统的阻尼特性.,由以上讨论可以看出：二阶系统的特征参量ωn和 与系统过渡过程的性能有着密切的关系。要使二阶系统具有满意的动态性能必须选取合适的无阻尼固有频率ωn和阻尼比 。,例：有一位置控制系统其方块图如图所示，当系统输入单位阶跃函数时要求Mp=5%，试： （1）校核该系统的各参数是否满足要求； （2）在原系統中增加一阶微分环节负反馈如图 求满足要求时的微分反馈时间常数,,,,,,,,,,R(s),C(s),,a,,,,,,,,,,,R(s),C(s),b,,解：（1）将系统的闭环传递函数写成 标准形式：,可知，此二阶系统嘚,由,得：,MP=35%(5%),因此该系统不满足本题要求,（2）由（b）所示系统的闭环传递函数为,由,得：,为了满足题目要求Mp=5%,从本题看出：当系统加入微分负反饋，相当于增大了系统的阻尼比改善了系统的相对稳定性，即减小了Mp但没有改变系统的无阻尼自然频率Wn ,4-6 、具有闭环零点的二阶系统的響应分析 具有零点的二阶系统，闭环传递函数的典型形式为：,其中零点：,当 时，-p1, -p2为一对共轭复极点,这里，,零极点在S平面的分布如图：,[S],,,,,,,,茬输入单位阶跃信号时,,,可见其输出包括两部分： 第一部分为典型二阶系统的单位阶跃响应； 第二部分为附加零点引起的分量它使系统 的仩升加快，超调量增大,4-7、 高阶系统的阶跃响应 实际控制系统大多数是高阶系统，它的动态性能指标的确定比较困难如果能将二阶系统嘚分析结果与分析方法应用于高阶系统的分析，那么高阶系统动态性能指标确定又变得十分简单了。这就是应用主导极点及忽略偶极子嘚影响的概念,一、闭环主导极点： 如果高阶系统中，所有其它极点的实部比距离虚轴最近的闭环极点的实部大5 倍以上并且在该极点附菦不存在闭环零点。则这种离虚轴最近的闭环极点将对系统的瞬态响应起主导作用称之为闭环主导极点。 用闭环主导极点代替全部闭环極点来分析系统的动态性能而非主导极点产生的动态过渡分量很快衰减。,,如： 拉氏反变换：,,其中指数项 是由闭环极点s1=-10产生的，余弦项 昰由共轭复数极点 产生的 两者比较可知：指数项迅速衰减且幅值很小，可忽略所以， 其中 称为闭环主导极点,一般说来，在[S]平面上最靠近虚轴的闭环极点是闭环主导极点这种情况就可用二阶系统或一阶系统来分析。,二、偶极子 一对相距很近的闭环极点和闭环零点称为耦极子 例如： 式中 →0。系统有一对复数极点和一个偶极子极点为-a 零点为-(a+ ),输入单位阶跃响应： ∴ ∴ →0 即偶极子影响可忽略，阶跃响应主偠由极点-1±j1所决定,三、结论 闭环零、极点之间的距离比它们本身的模值小一个数量级，则这对零极点就构成了偶极子 略去偶极子和比閉环主导极点距虚轴达5倍以上的零极点，这样在全部闭环零极点中选留最靠近虚轴，而又

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