．年月甯■航空工业学院学报第卷第期JournalofNanchangInstituteofAeronauticalTechnologyseptemberVo．INo．求伴随矩阵的秩秩王空林(南‘航空工业荦虎應用工租车．江西南‘)D、’＼擅薹丰戈研究n酐矩阵与其伴睛扼阵舯秩舯关幕耨刊求伴随矩阵的秩秩的重簧结论．并培出其应用。美一!兰豆塹肆苎童主耋鍪茧盔垦应用·中叠分羹号Ol前言契降J在线性代数中t为讨论逆矩阵及其求法引进了求伴随矩阵的秩概念本文对阶矩阵与其求伴随矩阵的秩秩之问的关系进行研究以期对求伴随矩阵的秩秩有更深刻的了解。我们得到了关于这个问题的一个重要结论并用实例给出了咜的应用几个引理设A为n阶矩阵A’为A的伴随矩阵即若A=altat?aillaat?aHataz?aa?刚A’=ata?IatHa‘“删其中A是A中元素的代数余子式。若A是m行n列的矩阵我们称A是mxil矩阵或mxn矩阵A用A中k个行和k个列(≤k≤m≤k≤n)的交叉点处的元素且保持其原来顺序所构成的行列式叫做A的k阶子式特别地若A是n阶矩阵则A的n阶子式也叫做A的荇列式记为A矩阵A中不等于零的子式的最大阶数叫做矩阵A的秩记为r(A)。引理l：阶矩阵A的秩r(A)=n当且仅当A≠引理：设A为阶矩阵A为其伴随矩阵则AA’一AII(其ΦI为n阶单位矩阵)引理：设A是mxn矩阵B是nxl矩阵则r(AB)≤min(r(A)r(B))证明设r(B)=r则B有r个列向量线性无关不失一般性设它们是B的前r个列向量角岛?＆即B一(角岛?＆＆．?)于是存在r个数KljK?K使得收稿曰期：一lO第一作者：王尘林男年生讲师。维普资讯http:wwwcqvipcom第期王盘韩：求伴随矩阵的秩秩BKt＆K＆?Kr≤j≤故AB=KtAKA?KAfl≤j≤l又AB=(A岛A?AA?A凸)即AB的第r列到列均为前f列的线性表示．所以r(AB)≤rr(B)另外由于任意矩阵与其转置矩阵有相同的秩由上式得r(AB)一r((AB))=f(BA)≤r(A)=f(A)综合前述得证r(AB)≤min(r(A)r(B))引理(矩阵秩的降阶定理)：设A是可逆矩阵分块矩阵(三：)是mxn矩阵则／R【cDJ(A)r(DcA叫B’证明：因为A为可逆矩阵由分块矩阵的乘法可得(c。)(：)=(A。一cB一．B)其中{】JcA一)显然可逆故r((cfABlODcAB』一r(A)r(DCA一‘B)推论：设A与B分别是mxn矩阵与n×矩阵则f(AB)≥r(A)f(B)一n证明：引进n阶单位矩阵I应用公式()有rcAB一rtAItB一r(AB。)一rt·一r一卜r≥r(A)r(B)一n结合引理与上述推论即得矩阵乘积的秩的上、下界估计式：r(A)r(B)一A的到数≤r(AB)≤min(r(A)r(B))关于伴随矩阵秩的定理()()定理：设A为n阶矩阵A。为其伴随矩阵则r(A‘)：n当且仅当r(A)=n证q明：设r(A)一n而r(A)<n甴引理．知lAI=由引理AA’：lAII=O由f(A’)=n知A’为可逆矩阵从而推得A=即A为零矩阵于是A’也为零矩阵与(A‘)：n矛盾所以r(A)=n。反之由引理知AA=fAlI由r(A)=n根据引理有lAI≠从而IAAllJAll=lA≠但AA。llAlIA’l所以lA’l≠由引理得r(A‘)=n维普资讯http:wwwcqvipcom南昌航空工业学院学报拒定理：设A为n阶矩阵A。为其伴随矩阵则r(A’)=l当且仅当r(A)一n～(n≥)证明：如果r(A’)則A’中至少有一个元素A．≠O即A中至少有一个nl阶子式不为O故r(A)≥nl。叉由定理知r(A)≠n故r(A)一nl如果r(A)n．则A中至少有一个n一阶代数余子式A≠O从而r(A’)≥由引悝知IAlO由引理AA=lAl=O从而r(AA‘)由公式()．r(AA)≥r(A)r(A)一n当r(A)一nl时r(A’)≤r(AA。)nr(A)=于是r(A)定理：设A为n阶矩阵A为其伴随矩阵则有r(A’)=O当且仅当O≤r(A)≤n一(n≥)证明如果r(A)=O即A‘为零矩阵．而A’中元素均为A中的n阶代数余子式从．而A中的所有n一阶子式全为O所以O≤r(A)≤n一如果O≤r(A)<~n则A的所有n～阶代数余子式全为从而A’=O于是r(A)=。综台上述三个萣理．得到n阶矩阵的求伴随矩阵的秩秩的重要结论：设．A为n阶矩阵(n≥)．A为其伴随矩阵则A’的秩只取n三种情况且f“·当且仅当(A)一n·r(A‘)={当且仅當r(A)=n一l当且仅当O≤r(A)≤n一应用fl倒：设All求r(A’)lJ解：若按通常方法．焉先求出A’．然后再求r(A)这样计算繁杂且易出错利用上述结论．则大大简化了．IAl=≠OItr(A)一．从而r(A‘)=倒：设A一OOOO求r(A’)。解：显然矩阵A的第一、第二行成比耐oJAJ=O于是r(A)<lJ叉A中有三阶子式l：：l≠’所以A=。一h由上述结论·得知“A维普资讯http:wwwcqvipcom苐期王金林t求伴随矩阵的秩秩例：设A=llOlll．求r(A)解：Fh于A中第一、二、三行成比例而矩阵的秩即为行(列)向量的最大线性无关的向量的个数所以r(A)≤=甴上述结论得知r(A’)一。参考文献屠伯塌．鲁畦请．王芬．高等代数．上科学技术出簟杜·)菘远达．战性代数鼻【理．上教育出簟牡．北赢夶学戢学幕高等代戢(第二簟)高等教育出簟社．北京TheRankofAdjointMatrixWangJinli'n(Dept．ofAPpgEngineeringN~,changInstituterAeronauticalTechnology、P·R·China)Abstract：InthisPapertherelationbetweenranksofnorderMatrixanditsajolntMatrixaanalysed．AnimportantconclutionolltherankofajointMatrixisobtainedandSeveralapplicationsaregivenintheend．KeywordsAdjointMatrixRankComplementMinorinerRepresentationApplication·维普资讯http:wwwcqvipcom