导数与微分 作业 p100 同济p62, p69 三、关于高階偏导函数数、全微分计算的题类 例3. 求函数 例2. 设 解: 方程组两边对 x 求导并移项得 求 练习: 求 机动 目录 上页 下页 返回 结束 答案: 由题设 故有 【例3】 【解】 【分析】 确定y=y(x), z=z(x), u=u(x)三方程两边同时对x求导. 于是可得, 【例4】 【分析】隐函数，含抽象函数、复合函数. 【解Ⅰ】 [公式法] x,y,z .地位等同 【解Ⅱ】 [嶊导法]（直接法） 【例4】 【分析】隐函数含抽象函数、复合函数. z是x,y的函数 两边同时对y求导 【解Ⅲ】全微分法 【例4】 【分析】隐函数，含抽象函数、复合函数. （作业 p100 同济p89） * 机动 目录 上页 下页 返回 结束 多元函数微分法及其应用 第七章 习题课 一、关于多元函数极限的题类 二、关於多元函数连续、偏导函数数存在、可微的题类 三、关于偏导函数数、全微分计算的题类 四、关于多元函数微分学应用的题类 1.几何应用. 2.极(朂)值 本章基本概念及其关系 连续性 偏导函数数存在 方向导数存在 可微性 1. 多元函数的定义、极限 、连续 定义域及对应规律 判断极限不存在及求极限的方法 函数的连续性及其性质 2. 几个基本概念的导出关系 偏导函数数连续 可 微 连 续 偏导函数数存在 极限存在 极限存在 【必须熟练掌握夲章以下几个概念之间的关系】 一、关于多元函数极限的题类 二元函数的极限比一元函数的极限要复杂得多计算也更困难： 【例1】 【解】 取路径 y = k x，则 与k有关,故不存在. 【例2】 初等函数.(1,0)定义域内点.连续.　代入法 【例3】 换元,化为一元函数的极限 【阅读与练习】 求下列极限 【解】 【提示】可以引用一元函数求极限的各种技巧 【例4】 【解】 由于 且 故原极限=0 ——夹逼准则 (4) 【法Ⅰ】 【法Ⅱ】 ——夹逼准则 二、关于多元函數连续、偏导函数数存在、可微的题类 1.一般来说讨论二元函数z = f (x,y)在某点的连续性、可偏导函数性以及可微性时，都要用相应的定义判定；尤其是分段函数在分界点的上述“性态”就是要用各自的定义判断. ［连 续］ ［可偏导函数］ ［可 微］ 内含三条缺一不可 包括高阶偏导函數数定义等 2.【二元函数在区域内的偏导函数数】 偏导函数数的概念可以推广到二元以上函数 如u = f (x , y , z) 在(x , y , z) 处 3.【多元函数的偏导函数数】 4. 【偏导函数數的几何意义】 如图 【5.几何意义】 【例1】 【解】 【解】 【证】 原结论成立． 【证完】 例4. 计算函数 在点 (2,1) 处的全微分. 解: 例5. 计算函数 的全微分. 解: 機动 目录 上页 下页 返回 结束 ? ①［二阶纯偏导函数数］ ②［二阶混合偏导函数数］ 1. 【高阶偏导函数数的定义】 【定义式】 其余类推 (2) 同样可得：三阶、四阶、…、以及n 阶偏导函数数。 (3) 【定义】二阶及二阶以上的偏导函数数统称为高阶偏导函数数 【解】 【解】 解 : 注意:此处 但这一結论并不总成立. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 的二阶偏导函数数及 (4)【问题】 具备怎样的条件才能使混合偏导函数数相等？ 即混合偏导函数数與求导次序无关. ③ 2. 【多元复合函数求导法则】 (1) 【可导充分条件】内层函数偏导函数存在, 外层函数偏导函数连续 (2) 【复合函数求导链式法则】 ① 全导数 ② 例1. 设 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 【例2】 【解】 【注意】 例3. 解: 机动 目录 上页 下页 返回 结束 【例4】 【解】 【分析】抽象函数无中間变量,引入记号f 1 , f 12等. 为简便起见 , 引入记号 例5. 设 f 具有二阶连续偏导函数数, 求 解: 令 则 机动 目录 上页 下页 返回 结束 作业 p100 同济p69,p75 3.【全微分】 全微分＝各偏微分之和 u,v是自变量或中间变量 4.【隐函数的求导法则】 (1)［公式法］ (2)［推导法］(直接法)——方法步骤 ③ ① ② x、y、z 等各变量地位等同 公式不必記,要求掌握［推导法］ ③解由②得到的方程(组), 解出要求的偏导函数数. 形式不变性 ①搞清哪个(些)是因变量、中间变量、自变量； ②将方程(组)兩边同时对某个自变量求(偏)导； 其余自变量的偏导函数数同理可求. 例1. 设 解法1 利用隐函数求导 机动 目录 上页 下页 返回 结束 再对 x 求导 解法2 利

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