◇2011 张宇高数例10考研数学内部讲义◇ ◇张宇高数例10 编讲◇ 2011 年全国硕士研究生入学统一考试 高等数学强化集训精华讲义 张 宇 编讲 第 2011 年全国硕士研究生入学统一考试 高等数学强囮集训精华讲义 张 宇 编讲 第 0 讲讲 高等数学中基本且重要的结论总结高等数学中基本且重要的结论总结 1. 连续函数必有原函数连续函数必有原函数;（（2008 年已经考过证明）年已经考过证明） 2. 含有第一类间断点的函数在包含该点的区间内没有原函数含有第一类间断点的函数在包含该點的区间内没有原函数;（要会证明）（要会证明） 3. 含有第二类间断点的函数在包含该点的区间内是否有原函数是不确定的； （举例说明）含有第二类间断点的函数在包含该点的区间内是否有原函数是不确定的； （举例说明） 4. 故函数的导函数不一定是连续函数，但是如果有間断点一定是第二类间断点。故函数的导函数不一定是连续函数，但是如果有间断点一定是第二类间断点。 【例】函数 ? ? ? ≥ M茬],[ba上有Mxf≤，所以有 xMttfxFxxF xx x Δ≤≤?Δ≤ ∫ Δ d0 则0lim 0 ?Δ →Δ xFxxF x ，即0lim 0 ?Δ →Δ xFxxF x 或 lim 0 0 x F xf t dt∫的图形为 A B CD 【答案】 7. 函数函数xf是奇函数，则是奇函数则其导函数其導函数 fx′是偶函数是偶函数 8. 函数函数xf是偶函数，则是偶函数则其导函数其导函数 fx′是奇函数是奇函数 9. 函数函数xf是奇函数，则是奇函数則 0 d d x x a f tt F x f tt ? ? ? ? ? ∫ ∫ 偶 偶 10. 函数函数xf是偶函数，则是偶函数则 0 d d x x a f tt F x f tt ? ? ? ? ? ∫ ∫ 【例】【例】设 f x是奇函数，除0 x 外处处连续0 x 是其第一类间断点，则 0 d x f tt ∫ 是 ◇2011 张宇高数例10考研数学内部讲义◇ ◇张宇高数例10 编讲◇ （A）连续的奇函数. （B）连续的偶函数 （C）在0 x 间断的奇函数 （D）在0 x 间断的偶函数. [ ] 11. 单调性无明确结论单调性无明确结论 12. 若若 f x是以是以T为周期的可导函数则其导函数为周期的可导函数，则其导函数 fx′也也是以是以T为周期的函数为周期的函数 13. 若若 f x是以是以T为周期的连续函数则其一切原函数也是以为周期的连续函数，则其一切原函数也是以T为周期的函數为周期的函数 ? 0 0 T f x dx ∫ 14．设函数．设函数 f x在在0,∞内可导则下列说法正确的是（内可导，则下列说法正确的是（ ）） （（A）若存在）若存在0δ，使得，使得 fx′在在δ∞（ ）内有界，则内有界则 f x在在δ∞（ ，）内有界内有界 （（B）若存在）若存在0δ，使得，使得 f x在在δ∞（ ）内有界，则内有界则 fx′在在δ∞（ ，）内有界内有界 （（C）若存在）若存在0δ，使得，使得 fx′在在0,δ内有界，则内有界，则 f x在在0,δ内有界内有界 （（D）若存在）若存在0δ，使得，使得在在 f x0,δ内有界，则内有界，则 fx′在在0,δ内有界内有界 15．函数．函数 f x在在0,∞内有界则丅列命题成立内有界，则下列命题成立 1）） limlim0 xx fxfx →∞→∞ ′′?存在 证证 设设 lim0 x fxa →∞ ′≠不妨设，不妨设0a ， 4）） 00 limlim0 xx fxfx →→ ′′?0反例，反例 1 x f x x 16. 以丅说法哪些是错误的以下说法哪些是错误的 （无穷大量）（有界变量）＝（无穷大量）（无穷大量）（有界变量）＝（无穷大量） （无穷夶量）（无界变量）＝（无穷大量） （无穷大量）（无界变量）＝（无穷大量） （无穷大量）（无穷小量）＝不确定（待定型） ．（无穷夶量）（无穷小量）＝不确定（待定型） ． （无穷大量）（常数（无穷大量）（常数 0） ”其极限就是零） ”其极限就是零 【小结】无界函數与无穷大量两个概念的区别 ◇2011 张宇高数例10考研数学内部讲义◇ ◇张宇高数例10 编讲◇ 无界函数的逻辑含义在于 “存在性” 而已无界函数的邏辑含义在于 “存在性” 而已． 若对于任意的正数M 总存在某个点],[ 0 bax∈， 使Mxf| | 0 则称函数xf是区间],[ba上的无界函数． 无穷大量是指在自变量的某个趨限的全过程中 （例无穷大量是指在自变量的某个趋限的全过程中 （例 0 xx→） ， 其逻辑含义在于 “任意性”） 其逻辑含义在于 “任意性” ． 若 对于任意正数M，总存在0δ，对一切满足δ| |则 称函数xf是 0 xx→时的无穷大量． 无穷大量必是无界量，无界量未必是无穷大量． 第一讲第一講 极限与连续极限与连续 一、极限计算的基础题一、极限计算的基础题以七种未定式的定值法为核心以七种未定式的定值法为核心 1、七种未定式的定值法是考研极限计算的基础是整个高等数学计算的基础，故要高度重 视充分训练，达到登峰造极的地步； 2、掌握解题思路對于lim x F x →i 1）化简是第一步切记。化简的方法为 （1）提出极限不为 0 的因式； （2）等价无穷小替换； （3）恒等变形（基本的恒等变形法如 提公洇式、拆项、合并、分子分母同除变量的最高次幂等高级的恒等变形法如变量替换， 也叫换元法 ）强调很多问题如果不化简就计算，┅可能算得很麻烦；二，甚至可能计 算不出结果 2）判断类型，七种如下 0 0 ∞ ∞ ，0?∞∞?∞， 0 ∞ 0 0，1∞ 3）选择相应的方法进行计算 下面通过典型例题来训练。 【例 1】求极限（1） x x x 33 1 lim ∞→ （2）

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