* 例１　设p是素数则模p剩余类环Zp昰一个域，Zp的特征为p． 证明　容易看出Zp中单位元［１］的加法周期为p故知Zp的特征为p． 例２　有整数域Z的特征为０． 证明　因为对任意正整数n，n１＝n≠０．故１的加法周期为∞故Z的特征为０． * 定理２　S是F的子域，则S与F具有相同的特征． 证明：S与F的运算相同具有相同的０，1,…． * 定理３　n元有限域的特征必为素数p且p｜n． 证明　若F是n元有限域，则〈F＋〉是n阶群， 又因为01都在群〈F，＋〉中 故１∈F在〈F，＋〉中的周期必为有限数p且p｜n （元素的周期整除群的阶） 由定义（非零元的周期为域F的特征），所以F的特征为p. 且由定理1知p为素数. * 定义3 设〈R＋，· 〉,〈S ?，? 〉是两个环f : R→S, 如果f ?：Zp ? Z'p. 由于Zp是域，与之同构的Z‘p必为域从而是F的子域 * 设F是一个特征为素数p的域， F的任何子域S必包含单位元e， 从而包含e的所有整数倍ie故Z'p ? S． 因此Z'p是F的最小子域． 从同构观点来看，特征为素数p的域F含有Zp为其最小子域． 若域F的特征为０则Z'0 ＝｛ie｜i∈Z｝与 整 数环Z同构，不能构成F的子域 * 定理５　若域F的特征为０则F中含有与有理数域Q同构的子域． 证明：用e表示F的单位元，令 Q' ＝｛ ｜mn∈Z，n≠０｝ 作有理数域Q到Q‘ 的映射 ?： |→　　?, m，n∈Zn≠０． * 以上定义是合理的，即有理数q的象由q唯一确定, 而与其表示方法无关： 设 则mn'＝nm'， 故 （mn'）e＝（nm'）e．由于 （mn'）e＝m（n'e）＝（me）（n'e） （nm'）e＝n（m 'e）＝（ne）（m'e）， 故（me）（n'e）＝（ne）（m'e）． 同乘 (n'e)–1 (ne)–1 有 或说 * 不难看出 ? 是满射，且容易验证 ? 是单射、保持运算因而??：Q ? Q'. 由于Q是域，知Q' 是域从而是F的子域，这样就证明了F中存在与Q同构的子域 * 设F是一特征为０的域则对F的任何子域S，S必包含F的单位元e从而包含e的所有整数倍me，由域的定义 (me) –1 及形如(me) (ne) –1的元素均应包含在S中，故Q‘ ? S．因此Q’ 是F的最小子域． 从同构观点来看特征为０的域F包含有理数域Q为其最小子域． * 如果将F中的单位元记为１，则F中的 元素me可记作m， 可记作 特别地对于素域Zp，其中的元素 ［i］＝ 都是有单位元的环则 A1?A2也是吗？ （3）若 A1,A2 都是无零因子的环则 A1?A2也是吗？ * 设 <A,?,*> 是无零因子环并且是可交换的含幺环，则称它为整环 * * * * * * 若〈F，＋〉中非零元的周期为有限数p则称域F的特征为p * * 例　对于剩余环〈Zm，＋m×m 〉，证明 若m不是素数则Zm中必存在零洇子． 证明：Zm中的零元为