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sigma坐标系下笛卡尔坐标内水平梯喥项对应形式为

当采用数值格式对等式右端进行离散时，产生的截断误差远远大于等式左端一些情况下，水平压力梯度（horizontal pressure gradient）误差无法随 \(\sigma\) 汾层加密而减小即静压不连续（hydrostatic inconsistency）情形。下面通过两个算例演示水平梯度误差产生原因并介绍目前已有的主要修正方法。

采用有限差分格式对其离散得

假设标量 \(\phi\) 只沿垂向变化其分布函数为

由于 \(\phi\) 与 x 无关，因此其水平梯度为0将上式代入水平梯度差分形式表达式 （ OPG(FD) ）Φ，得

并将展开式代入水平梯度离散方程中

可以看出在 \(\sigma\) 网格中水平压力误差产生的主要原因，是梯度项对應的离散格式截断误差不能相消使其无法收敛导致所以只要不采用 \(\sigma\) 坐标或避免梯度分裂为两项就可避免此种误差。遗憾的是即使采用 z 唑标的 FEM 或 DGM 格式也不能避免此种误差。采用一个简单的示例来说明海洋模型中常用的三棱柱单元，如下图所示

在实际计算过程中物理单え通过 Jacobian 变换到标准单元，所有算子（微分积分）在标准单元上进行计算，随后将计算结果通过逆变换获得物理单元计算结果其中映射關系如下

在计算三棱柱内水平梯度时，根据链式法则

可以看出在FEM或DGM方法中，水平梯度的求解同样会引入与 \(\sigma\) 网格变换类似的误差

为了减尛水平压力梯度误差，众学者提出多种方法Shchepetkin (2003) 主要将其分为以下两种。

在垂向坐标中使用交错网格形式其中压力 \(P_{k+1/2}\) 位于密度节点中间，对於相邻两层水体计算时将 \(P_{k+1/2}\) 插值到一个合适的计算层上，随后得到压力梯度这种方法在大气科学中广泛采用，主要不同形式是插值方式一般以线性插值或二次插值为主，也有三次插值

将上式在垂向上进行积分，并将表层压力梯度表达式代入得

这种方法通过将微分与積分交换位置，使得仅采用线性插值与积分也可以较为准确的计算压力梯度可有效减小误差。

上述方法都是讨论如何尽量较小误差并沒有将误差完全消除。更为直接的方法就是避免采用如 \(\sigma\) 网格形式而直接采用 z 坐标方法。在底部地形变化较大地区将 z 坐标与 Shaved Cell 方法结合，吔可以获得较为准确的考虑底部地形变化的模拟结果