这个方法是本人独立发现的维基上了有相同的证明,称为洋葱证法(Onion proof)
通过个方法,能帮助理清类似的积分应该情形
考虑从圆心以某一半径向外生长的方式,
某一个半径r处如果半径增量很少,面积增量可以看成2πrdr, 即此处的柱面面积,生长速度即导数为2πr
关键点:增加面积为什么是可看成长方形戓柱面面积?
类比于曲线积分算面积的情形只要增加可以无限小,r+dr处的值就等于r处的值, 即增量就是一个长方形或柱面增速与此处的数值荿正比.
相关应用:椎体体积公式
已知: 底面积S0及高h0, 求体积公式V
在底面积为S处,微增h所增加的体积为 Sdh, 于是有
从球的底端沿弧线向上生成至顶端,弧度为x,半径为r,对应弧度角为xr
积分必须有物理意义这里选择切图周长沿弧积分,而不是沿高积分举一个选错积分变量的例子:
如果沿底面积半径进行积分,则会得到错误的结果因为Sdr不表示体积