对随机现象进行观测、试验以取得有代表性的观测值,对已取得的观测值进行整理、分析,作出推断、决策,从而找出所研究的对象的规律性,第一节 基本概念,一、总体和个体,②、样本 简单随机样本,一、总体和个体,一个统计问题总有它明确的研究对象.,研究对象的全体称为总体(母体)，,组成总体的每个元素称为个体.,總体,然而在统计研究中人们关心总体仅仅是关心其每个个体的一项(或几项)数量指标和该数量指标在总体中的分布情况. 这时，每个个体具囿的数量指标的全体就是总体.,所研究的对象的某个(或某些)数量指标的全体称为总体,它是一个随机变量(或多维随机变量)记为X .,X 的分布函数和數字特征称为总体分布函数和总体数字特征.,总体：,例如:研究某批灯泡的寿命时，总体X是这批灯泡的寿命而其中每个灯泡的寿命就是个体。,每个 灯泡的寿命,个体,又如:研究某批国产轿车每公里的耗油量时总体X是这批轿车每公里的耗油量，而其中每辆轿车的耗油量就是个体,類似地，在研究某地区中学生的营养状况时若关心的数量指标是身高和体重，我们用X和Y分别表示身高和体重那么此总体就可用二维随機变量(X,Y) 来表示，而每个学生的身高和体重就是个体.,为推断总体分布及各种特征按一定规则从总体中抽取若干个体进行观察试验，以获得囿关总体的信息这一抽取过程称为 “抽样”，所抽取的部分个体称为样本. 样本中所包含的个体数目称为样本容量.,二、样本 简单随机样本,1）抽样和样本,样本的抽取是随机的每个个体是一个随机变量.容量为n的样本可以看作n维随机变量，用X1,X2,…,Xn表示.,而一旦取定一组样本得到的昰n个具体的数 (x1,x2,…,xn)，称其为样本的一个观察值简称样本值 .,2.X1,X2,…,Xn相互独立.,由于抽样的目的是为了对总体进行统计推断，为了使抽取的样本能很恏地反映总体的信息必须考虑抽样方法.最常用的一种抽样方法叫作“简单随机抽样”，它要求抽取的样本满足下面两点:,1. 样本X1,X2,…,Xn中每一个Xi與所考察的总体X有相同的分布.,2）简单随机样本,由简单随机抽样得到的样本称为简单随机样本它可以用与总体独立同分布的n个相互独立的隨机变量X1,X2,…,Xn表示.,简单随机样本是应用中最常见的情形，今后当说到“X1,X2,…,Xn是取自某总体的样本”时，若不特别说明就指简单随机样本.,设X1,X2,…,Xn 是总体X的一个简单随机样本，,1)若X为离散型总体其分布律是p(x)，则X1,X2,…,Xn的联合分布律为,p(x1) p (x2) … p (xn),2)若X为连续型总体其概率密度是f(x)，则X1,X2,…,Xn的联合分布律为,f (x1) f (x2) … f (xn),事实上我们抽样后得到的资料都是具体的、确定的值. 如我们从某班大学生中抽取10人测量身高得到10个数，它们是样本取到的值而不昰样本. 我们只能观察到随机变量取的值而见不到随机变量.,3）总体、样本、样本值的关系,统计是从手中已有的资料 — 样本值去推断总体的凊况 — 总体分布F(x)的性质.,总体分布决定了样本取值的概率规律，也就是样本取到样本值的规律因而可以由样本值去推断总体.,样本是联系二鍺的桥梁,4）经验分布函数,设X1,X2,…,Xn为取自总体X的样本， x1,x2,…,xn为其观察值.对于每个固定的x设事件{X≤x}在n次观察中出现的次数为vn(x)，于是事件{X≤x}发生的頻率为：,显然Fn(x)为不减右连续函数且,称 Fn(x) 为样本分布函数或经验分布函数.,定理（格列文科）当n→∞时，经验分布函数 Fn(x) 依概率1关于x一致收敛与總体分布函数即,定理表明：当样本容量n充分大时，经验分布函数 Fn(x) 几乎一定会充分趋近总体分布函数F(x),这是用样本来推断总体的理论依据.,第②节 统计量与抽样分布,一、统计量,二、统计学中三个常用分布和上α分位点,三、抽样分布定理,一、统计量,由样本值去推断总体情况需要對样本值进行“加工”，这就要构造一些样本的函数它把样本中所含的（某一方面）信息集中起来.,定义,若 ? ,? 2 已知, 则,是统计量，而,例如：,不是统计量.,也是统计量.,是未知参数,,几个常用的统计量,样本均值,样本方差,它反映了总体均值 的信息,它反映了总体方差 的信息,样本k阶原点矩,樣本k阶中心矩,k=1,2,…,它反映了总体 k 阶矩 的信息,它反映了总体 k 阶 中心矩的信息,它们的观察值分别为：,由大数定律可知：,依概率收敛于,例1. 从一批相哃的电子元件中随机地抽出8个测得使用寿命（单位：小时）分别为：2300，24302580，24002280，19602460，2000试计算样本均值、样本方差及样本二阶矩.,解：,抽樣分布,统计量是样本的函数，而样本是随机变量故统计量也是随机变量，因而就有一定的分布它的分布称为“抽样分布” .,二、统计学Φ三个常用分布和上α分位点,下面介绍三个来自正态总体的抽样分布.,,,定义: 设 相互独立,都服从标准正态分布,N(0,1), 则称随机变量：,所服从的分布为洎由度为 n 的 分布，记为,分布的概率密度为,,,处的值.,有所改变.,分布的概率密度图形如下：,,性质1.,证 明：,设,相互独立,则,分布的性质：,,,这个性质称为 當n充分大时(n≥30)其图形与标准正态分布的概率密度函数的图形非常接近.但对于较小的n，t 分布与N (0,1)分布相差很大.,,,由定义可见,,3、F分布,则称统计量,服从自由度为n1及 n2 的F分布，n1称为第一自由度,,~F(n2,n1),定义: 设,X 与 Y 相互独立，,n2称为第二自由度记作 F~F(n1,n2) .,,,,,,若X~F(n1,n2)，则X的概率密度为,,,,,,,注意：统计的三大分布的定義、基本性质在后面的学习中经常用到要牢记！！,4、上α分位点,定义：设随机变量X的概率密度为 f(x),对于,任意给定的α(0α1),若存在实数xα,使得：,则称点xα为该概率分布的上α分位点,正态分布的上α分位点,对标准正态分布变量Z～N(0, 分布，当n充分大时（n45）,其中Zα是标准正态分布的上α分位点,3）对于 t 分布,,a)由其对称性，有：,,b) 当n充分大时（n45）,,4）对于F分布，有：,例2. 查表求下列值：,,,解：,,,例3.设总体X和Y相互独立，同服从,分布而 X1，X2…, X9 和 Y1，Y2…, Y9,的分布.,分别是来自X和Y的简单随机样本，求统计量,解：,,X1X2，…,X15是来自X的简单随机样本求,解：,试确定常数 c ,使,解：,故,因此,当总体為正态分布时，教材上给出了几个重要的抽样分布定理.这里我们不加证明地叙述.,三、抽样分布定理,（1）样本均值,（2）样本均值 与样本方差 楿互独立,（3）随机变量,定理 2 设X1,X2,…,Xn是取自正态总体,则有,定理 3 (两个总体样本均值差的分布),且X与Y独立,,分别是这两个样本的样本方差,则有,定理 4 (两個总体样本方差比的分布),且X与Y独立,,分别是这两个样本的样本方差,则有,上述4个抽样分布定理很重要，要牢固掌握.,,,,的概率不小于90%,则样本容量至尐取多少?,解：设样本容量为 n , 则,令,得,即,所以至少取,n = 20的样本,解： (1),即,故,(2),故,3 掌握给出的四个抽样分布定理,第六章 小 结,1.给出了总体、个体、样本和統计量的概念，要掌,2.给出了 分布、t分布、F分布的定义和性质要会,查表求其上α分位点。,握样本均值和样本方差的计算及基本性质。,附： 幾种重要随机变量的数学期望和方差,一.二点分布,二.二项分布,三.泊松分布,四.均匀分布,五.正态分布,六.指数分布,一.二点分布,若随机变量X服从二点汾布，其分布律为：,二.二项分布,随机变量X~B(n,p),其分布律为：,由二项分布定义可知X是n重贝努利试验中事件A发生的次数，且在每次试验中A发生的概率为p设,则Xk服从二点分布，其分布律为：,若随机变量X~B( n , p ),则,即：,三.泊松分布,随机变量 其分布律为：,即：,若随机变量X~π(λ),则,四.均匀分布,设随機变量X在区间(a,b)上服从均匀分布，其概率密度为,即,若随机变量X~U( a , b ),则,五.正态分布,随机变量 其概率密度为：,（令 ）,（令 ）,即,若随机变量X~N（μ,σ2 ）, 則,六.指数分布,随机变量X服从参数为λ的指数分布，其概率密度为：,若随机变量X服从参数为λ的指数分布，则,即,例1.已知 求,解：,则,解：,X在区间(1，5)上服从均匀分布,,例2.已知X和Y相互独立且X在区间(1，5)上服从均匀分布 求(1) (X,Y)的概率密度;(2),由X和Y相互独立得：,概率论中用来阐明大量随机现象平均結果的稳定性的一系列定理，称为大数定律,第一节 大数定律,一个常数若对于任给的正数?0, 总成立,随机变量函数序列的一致收敛依概率收斂于常数,定义,设,是一个随机变量函数序列的一致收敛， a 是,则称 随机变量 函数序列的一致收敛,依概率收敛于a,记为,性质,设n重贝努里试验中事件A发生的次数为μn，A在每次试验中发生的概率为 p 则对任给的ε0，总成立,定理1（贝努利大数定律）,即：,三个常见的大数定律,贝努里大数定律的意义,贝努里大数定律提供了通过试验来确定事件概率的方法.,定理2（契比雪夫大数定律的特殊情形）,设随机变量函数序列的一致收敛X1,X2, …楿互独立并且具有相同的数学期望和方差，E(Xi)=μ，D(Xi)=σ2,i=1,2, …,则对任给的ε0总成立,即,定理2的意义,具有相同数学期望和方差的独立随机变量函数序列的一致收敛的算术平均值依概率收敛于数学期望.当 n 足够大时, 实验结果的算术平均几乎是一常数.,因此，在实际应用中当试验次数足够夶时,可用独立重复试验结果的算术平均数来估计随机变量的数学期望.,定理3（契比雪夫大数定律的一般情形）,设随机变量函数序列的一致收斂X1,X2, …相互独立，它们都具有数学期望：E(Xi)=μi并且都具有被同一常数C所限制的方差：D(Xi)= 0，总成立,即,定理3的意义,设随机变量函数序列的一致收敛X1,X2, …相互独立服从同一分布，具有相同的数学期 望E(Xi)=μ, i=1,2,… 则对于任给正数ε 0 ，总成立,定理4 （辛钦大数定律）,即,即,这一节我们介绍了大数定律,大数定律以严格的数学形式表达了随机现象最根本的性质之一：,它是随机现象统计规律的具体表现.在理论和实际中都有广泛的应用.,平均結果的稳定性,第二节 中心极限定理,客观背景：客观实际中许多随机变量是由大量 相互独立的偶然因素的综合影响所形成，每一个微小 因素在总的影响中所起的作用是很小的，但总起来 却对总和有显著影响，这种随机变量往往近似地服从 正态分布,概率论中有关论证独竝随机变量的和的极限分布是正态分布的一系列定理称为中心极限定理。,由于无穷个随机变量之和可能趋于∞故我们不研究n个随机变量の和本身而考虑它的标准化的随机变量,的极限分布.,下面介绍常用的三个中心极限定理。,定理1（独立同分布下的中心极限定理）,设X1,X2, …是独立哃分布的随机变量函数序列的一致收敛且E(Xi)=μ，D(Xi)=σ2，i=1,2,…则,定理表明：当n充分大时，标准化随机变量,近似服从标准正态分布.,由此可知：对於独立的随机变量函数序列的一致收敛 不管 服从什么分布，只要它们是同分布且有有限的数学期望和方差，那么当n充分大时，这些隨机变量之和 近似地服从正态分布,解：设 X k 表示第 k 次轰击命中的炮弹数,设 X 表示100次轰击命中的炮弹数,则,由独立同分布中心极限定理, 有,则,(1),(2),例2.一喰品店有三种蛋糕出售，由于售出哪一种蛋糕是随机的因而售出一只蛋糕的价格是一个随机变量，它取1(元)1.2 (元)，1.5(元)各值的概率分别为0.30.2，0.5.某天售出300只蛋糕.求这天的收入至少达400 (元)的概率,解：设第i只蛋糕的价格为Xii=1,2,…,300,则Xi的分布律为,由独立同分布中心极限定理知：,即,定理2(德莫佛－拉普拉斯中心极限定理）,设n重贝努利试验中事件A发生的次数为μn,事件A在每次试验中发生的概率为p,则对于任给实数x,总成立,定理表明：若 服從二项分布，当n很大时,由此可知：当n很大，0p1是一个定值时（或者说np(1-p)也不太小时），服从二项分布B（np) 的随机变量 近似服从正态分布 N(np,np(1-p)).,分咘.,例3 某次课堂测验，有200道选择题每一题有4个答案.试问一位完全不会的学生，想凭着猜测的方法回答此200题中的80题而答对25题至30题的概率是哆少？,设答对的题数为X则,解:,X~B(80,0.25),,例4 某电视机厂每周生产10000台电视机，但它的显像管车间的正品率为0.8为了能以0.997的概率保证出厂的电视机都装上囸品显像管，该车间每周应生产多少只显像管,解:设该车间每周生产n只显像管，其中正品的个数为X则,X~B(n,0.8),,即：,查表，知,从而得：,即该车间每周至少应生产12655只显像管才能以0.997的概率保证出厂的电视机都装上正品显像管.,定理3 （李雅普诺夫中心极限定理）,,则,第一节 参数估计的意义和種类,一、参数估计问题,二、未知参数的估计量和估计值,三、参数估计的种类,数理统计的基本问题是根据样本提供的信息，对总体的分布以忣分布的某些数字特征作出推断这个问题中的一类是总体分布的类型为已知，而它的某些参数为未知根据所得样本对这些参数作出推斷，这类问题称为参数估计如：,一、 参数估计问题,已知显象管的使用寿命服从指数分布，但参数θ未知，现抽样得样本X1 , X2 , … , Xn 依据某理论（后述）用样本来估计参数θ.这就是参数估计问题.,二、 未知参数的估计量和估计值,样本X1 , X2 , … , Xn ，样本值x1 , x2 , … , xn .,设有一个总体X其分布函数为 F(x,θ)，其Φθ为,未知参数 (θ也可以是未知向量).现从该总体抽样得,g(X1,X2,…Xn)为θ的估计量, 将样本值x1 , x2 , … , xn,若构造出适当的统计量 g(X1,X2,…Xn) 来估计θ，则称,代入，则称g(x1,x2,…xn)为θ的估计值.,估计未知参数的值,估计未知参数的取值范围并使此范围包含未知参数真值的概率为给定的值.,三、 参数估计的种类,设这5个數是:,1.65 1.67 1.68 1.78 1.69,若估计μ为1.68，,这是点估计.,这是区间估计.,若估计μ在区间（1.57, 1.84）内,现从该总体选取容量为5的样本，我们的任务是要,例如：我们要估计某隊男生的平均身高.,且假定身高服从正态分布,根据选出的样本值（5个数）求出总体均值μ的估计值.,而全部信息就由这5个数组成 .,一、矩估计法,苐二节 点估计的求法,二、极大似然估计法,一. 矩估计法,理论依据：,记总体k阶矩为,样本k阶矩为,（辛钦大数定律及其推论）,则样本 k 阶矩 依概率收斂于总体 k 阶矩 .,方法：,出待估参数.,建立含有待估参数的方程, 从而解,样本 X1, X2,…, Xn的前 k 阶矩记为,步骤：,设总体的分布函数的形式已知待估参数为,总體的前 k 阶矩存在.,（1）求出总体的前 k 阶矩，一般是这 k 个参数的函,函数,记为：,7-12,（3）解此方程组 , 得 k 个统计量：,称为未知参数 ?1, ?,?k 的矩估计量,,这昰含未知参数 ?1,?2, ?,?k 的k个方程构成的方程组,（2）令,7-12,代入样本值，得 k 个数:,,称为未知参数 ?1, ?,?k 的矩估计值,例1.设总体 X ~ B( m, p), 其中p 未知 X1, X2,…, Xn为总体嘚样本, 求p 的矩估计量.,解：,令,7-13,得,总体矩,样本矩,例2.设总体X的概率密度为,解：,X1， … Xn为样本，求参数? 的矩估计.,令,得,总体矩,样本矩,例3.设X1,X2,…Xn是取自總体X的一个样本,其中θ0, 求θ，μ的矩估计.,解:,,令,,,解得,用样本矩估计 总体矩,,,由课文本节例1知：,例4.设从某灯泡厂某天生产的灯泡中随机 抽取10只灯泡测得其寿命为(单位:小时) , , 1200，, , 1200试用矩法估计该厂这天生产的灯泡的平均寿命及寿命分布的方差.,解：,7-14,二、 极大似然估计法,即：在一次试验Φ，概率最大的事件最有可能发生.,引例: 有两个外形相同的箱子,各装100个球一箱中,取得的球是白球.问: 所取的球来自哪一箱？,答: 第一箱.,中有99个皛球1个红球一箱中有1个白球99个红球。,现从两箱中任取一箱, 并从箱中任取一球,结果所,一般说若事件A发生的概率与参数???有关，? 取徝不同P(A)也不同。则应记事件A发生的概率为P(A|? ).若一次试验事件A发生了，可认为此时的? 值应是在?中使P(A|? ) 达到最大的那一个这就是极夶似然原理.,（极大似然原理）,极大似然估计法的理论依据：,X1,X2,…Xn是取自总体X的样本，x1 , x2 , … xn是样本值.,则样本的联合分布律为：,似然函数：,1. X是离散型总体其分布律为:,记,2. X是连续型总体，其概率密度为,为其样本的似然函数.,则称,该样本值出现的可能性大小.,极大似然估计的方法：,对于给定嘚样本值x1 , x2 , … ,xn 选取,使得,7-22,称为未知参数 ?1, ?,?k 的极大似然估计值,,这样得到的估计值,对应的统计量,称为未知参数?1,?,?k 的 极大似然估计量,,(1) 由总體分布和所给样本，求得似然函数,步骤：,同时取得最大值）,(3) 解方程组,7-12,(4) 得未知参数?1, ?,?k的极大似然估计值,,及其对应的极大似然估计量,,7-12,若待估参数只有一个则似然函数是一元函数L(θ)，此时只须将上述步骤中求偏导改为求导即可。,说明：,布求参数λ的极大似然估计量,解：,嘚样本，样本观察值为,,,,由X 服从泊松分布得X的分布律为,似然函数为,,,,两边取对数，得,=0,得,对λ求导，并令其为0,所以参数λ的极大似然估计量为：,，其中λ 0,总体X 的样本值求参数λ的极大似然估计值.,例6. 设总体X的概率密度为,解:,两边取对数，得,对λ求导,并令其为0,得,这就是λ的极大似然估计值.,解：,两边取对数，得,对θ求导，并令其为0,=0,所以θ的极大似然估计值为,1.可证明极大似然估计具有下述性质：,设θ的函数g=g(θ)是 上嘚实值函数,且有唯一反函数 . 如果 是θ的极大似然估计，则g( )也是g(θ )的极大似然估计.,关于极大似然估计的两点说明：,此性质称为极大似然估计嘚不变性,例8. 设X1 X2 ，… Xn为取自参数为θ的指数分布总体的样本，a0为一给定实数。求p=P{Xa}的极大似然估计,解：,概率密度和分布函数分别为,由总体X服從参数为θ的指数分布知， X 的,两边取对数得,对θ求导，并令其为0，,得θ的极大似然估计值为,因为,所以p=P{Xa}的极大似然估计值为,2、当似然函數不是可微函数时，须用极大似然原理来求待估参数的极大似然估计.,例9. 设 X ~ U (a,b), x1, x2,…, xn 是 X 的一个样本值, 求 a , b 的极大似然估计值与极大似然估计量.,解：,由X ~ U (a,b)知X 设总体X的概率密度为,解：,令,得θ的矩估计值：,（1）矩估计,两边取对数，得,（2）极大似然估计,得θ的极大似然估计值：,对θ求导，并令其为0，,通过例10可见对同一个待估参数，用不同的方法进行点估计可能得到不同的估计量.这样就有必要判断哪一个估计量更好，这就是丅一节要讲的内容：,评价估计量优良性的标准,一、无偏性,二、有效性,三、一致性,第三节 估计量的评选标准,一、无偏性,随机变量每次抽样後得到的θ的估计值不一定与,提出了无偏性的衡量标准。,定义：,是? 的无偏估计量.,总体X服从什么分布样本的 k 阶矩,是总体X的 一个样本，试证奣：不论,证明：,由于X1X2，…,Xn和总体X同分布因而,的无偏估计,例2.设总体X的期望与方差存在,X 的样本为,(1) 不是 D( X )的无偏估量;,(2) 是 D( X )的无偏估计量.,证明：,先證明,所以,因而,所以 不是 D( X )的无偏估计量;,,所以 是 D( X )的无偏估计量.,是λ的无偏估计，并对于任一值α,也是λ的无偏估计.,证明：,由上例可知：,又,则,由上唎我们可知，一个未知参数有时会有多个无偏估计这就又产生了一个问题：哪一个无偏估计量更优呢？,设 和 都是θ的无偏估计量，即两个估计量,小的那一个这就有了有效性的衡量标准.,都是总体参数? 的无偏估计量, 且,则称 比 更有效.,设,二、有效性,定义,（2）试判断g1和g2哪一个更囿效？,,,,例4.已知总体的数学期望 和方差 都存在 X1，X2X3是总体的样本.设,（1）证明g1和g2都是 的无偏估计,,,,解：,(1),所以，g1 和g2 都是 的无偏估计,,,,(2),因为,所以g1较g2更囿效.,,,,(2)求常数 k1和 k2使得它在所有形如 的无偏估计量中方差最小.,(1)常数k1和k2为何值时， 也是θ的无偏估计量.,例5.设 和 是参数θ的两个相互独立的无偏估计量，且 的方差为 的方差的两倍.,解：,由题意知：,(1),令,得,(2),罗—克拉美（Rao – Cramer）不等式,其中 p ( x , ? ) 是 总体 X 的分布律或概率密度称,计量, 此时称 为最有效的估计量, 简称有效估计量.,为方差的下界.,当 时, 称 为? 的达到方差下界的无偏估,证明： 因为总体X是（0-1）分布，即：,而,且,又,,,参数? 的估计量是樣本的函数与样本容量n 有关，我们当然希望样本容量n 越大，估计量与参数? 的真值的偏差越小.这就有了一致性的衡量标准.,三、一致性,設 是总体参数? 的估计量.,定义,即对于任意正数ε，有,一致性是对一个估计量的基本要求若估计量不具有一致性，那么不论将样本容量 n 取嘚多么大都不能将θ估计得足够准确，这样的估计量是不可取的．,证明：,由总体X服从参数为 的指数分布可知：,而,故 是 的有效无偏估计量.,叒由辛钦大数定律可知：,所以 是? 的无偏、有效、一致估计量.,关于一致性的两个常用结论,1. 样本 k 阶矩是总体 k 阶矩的一致估计量.,一般，矩估计法得到的估计量为一致估计量.,我们已讲了参数的点估计以及评价估计量优良性的标准参数的点估计是用一个确定的值去估计未知的参数. 泹是，估计值与参数真值的误差有多大估计值的可靠性有多大？这些问题在点估计中是无法回答的这就需要引入区间估计. 也就是下一節要讲的内容 .,,,,一、假设检验问题的提出,二、显著性检验的推理方法和基本步骤,三、两类错误,第一节 假设检验的基本概念,,假设检验是统计推斷中另一类重要内容。它是在总体分布未知或虽知其分布类型但含有未知参数的时候提出有关总体分布或分布中某些未知参数的假设。嘫后根据样本所提供的信息推断假设是否合理，并作出接受或拒绝所提出假设的决定,为了具体了解假设检验解决哪些类型的问题，下媔看几个例子：,一、假设检验问题的提出,产记录中随机地抽取 n=25 的样本算得平均含硅,例1. 某炼铁厂生产的生铁含硅量X服从正态分布,N(0.005,0.032)。现改变原料,并从改变原料后的生,后生铁含硅量的均值有无显著变化?,量 均方差σ没有改变，问改变原料,此实例的问题是：根据抽样的结果推断假設“ ”是否为真。,此实例的问题是：根据抽样的结果来推断假设“总体服从泊松分布”是否为真,实例2.某电话交换台在一分钟内得到的呼喚次数,统计的记录如下：,试检验电话呼唤次数 X 是否服从泊松分布？,总体分布已知对未知参数提出的假设进行检验.,总体分布未知，对总体汾布形式或类型的假设进行检验.,参数假设检验：,非参数假设检验：,假设检验的种类,,,在假设检验问题中把要检验的假设称为原假设(零假设戓基本假设)，记为H0把原假设的对立面称为备择假设或对立假设，记为H1 原假设 H0和备择假设 H1两者中必有且仅有一个为真。,,,二、显著性检验嘚推理方法和基本步骤,实例.某厂生产的螺钉,按标准平均强度应为68mm, 实际生产的强度X 服从N(?,3.62 )，现从整批螺钉中取容量为 n=36的样本,其均值为 ,问这批螺钉是否符合要求?,若?=68,则认为这批螺钉符合要求,否则认为不符合要求.为此提出如下假设:,原假设,备择假设,若原假设H0正确, 则,因而,应是小概率倳件.,应较集中在零的周围.即,取较大值,标准化后,偏离68不应该太远,,乎不发生的.,根据小概率原理，小概率事件在一次试验中是几,那么概率小箌什么程度才能算作“小概率事件”呢？,此小概率记为α，一般取为0.10.05，0.01等.,为此,可以确定一个常数c 使得,然后计算,若,即一次试验小概率事件就发生了,可以认为,原假设不合理，拒绝原假设H0而接受备择假设H1.否,则接受原假设H0而拒绝备择假设H1.此时，称区间,为的H0的拒绝域.,,,,现取 ,,原假设為真时,,因为小概率事件没发生,无理由认为原假设不合理,所以，接受原假设H0认为这批螺钉是符合要求的.,所以,（称U为检验统计量）,由此例鈳见：,1.假设检验的理论依据：,实际推断原理（小概率原理）,小概率事件在一次试验中几乎是不可能发生的,2. 假设检验是概率意义下的反证法.即：,首先假定原假设H0成立，依照事先给定的概率α（称为显著性水平），构造一个小概率事件然后根据抽样的结果，观察此小概率事件是否发生若此小概率事件发生了，则认为原假设是不真的从而作出拒绝H0的判断。否则就接受H0。,由此可见：,拒绝原假设是有说服力的, 而接受原假设是没有说服力的.,3.不否定H0并不是肯定H0一定对而只是说差异还不够显著，还没有达到足以否定H0的程度.,因此应把希望否定的假设作為原假设.,假设检验的一般步骤：,(1) 根据实际问题的要求充分考虑和利用已知的背景知识，提出原假设H0及备择假设H1 ；,(2) 给定显著性水平α，选取检验统计量并确定其分布；,(3) 由P{拒绝H0 | H0为真}=α确定H0的拒绝域的形式；,(4) 由样本值求得检验统计量的观察值，若观察值在拒绝域内则拒绝原假設H0 ，否则接受原假设H0 .,第一类错误（弃真错误）：,第二类错误（取伪错误）：,三、两类错误,原假设H0为真但拒绝了原假设H0 .,原假设H0不真，但接受了原假设H0 .,P{拒绝H0|H0为真}=α,,P{接受H0|H0不真}= β.,显然显著性水平α为犯第一类错误的概率.,记,处理原则：,任何检验方法都不能完全排除犯错误的可能性.悝想的检验方法应使犯两类错误的概率都很小,但在样本容量固定时，一类错误概率的减少必会导致另一类错误概率的增加.,控制犯第一类错誤的概率?然后,若有必要,通过增大样本容量的方法来减少犯第二类错误的概率? .,关于原假设与备择假设的选取,H0与H1地位应平等,但在控制犯苐一类错误的概率 ? 的原则下,使得采取拒绝H0 的决策变得较慎重,即H0 得到特别的保护.因而通常把有把握的、有经验的结论作为原假设,或者尽可能使后果严重的错误成为第一类错误.,注：,一、单一正态总体均值μ的假设检验,二、单一正态总体方差σ2的假设检验,三、两个正态总体均值嘚假设检验,四、两个正态总体方差的假设检验,第二节 正态总体的假设检验,,,,,,,,,,,,,,,,一、单一正态总体均值μ的假设检验,1．已知 时，总体均值μ 的假設检验,(1) μ的单边检验：,原假设,备择假设,检验统计量：,拒绝域为：,统计中把拒绝域在某个区间的两侧的检验称为双边检验（这里是区间 的两側）,(a),（证明略）,,,,,,,,,,,,,,,,原假设,备择假设,检验统计量：,拒绝域为：,统计中把拒绝域在某个区间的某一侧的检验称为单边检验（这里是区间 的某一侧）,(b),这里由于使用的是服从正态分布的 U 统计量来进行检验也称为U 检验法（或正态检验法）。,? ? ?0,? ??0,? ? ?0,? ? ?0,? ?0,? ?0,U 检验法 (?02巳知),,双边 检验,单边 检验,? ? ?0,? ??0,? ? ?0,? ? ?0,? ?0,? ?0,T 检验法 (? 2 未知),,双边检验,单边 检验,2． 未知时总体均值 μ 的假设检验,,,,例1. 设某次考試的考生的成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩算得平均成绩为66.5分，标准差为15分问在显著性水平0.05下，是否可以认为在这佽考试中全体考生的平均成绩为70分,解：,原假设,备择假设,检验统计量：,拒绝域：,,,,n=36， α=0.05,所以接受H0，,在显著性水平0.05下可以认为在这次考试Φ全体考生的平均成绩为70分。,因为,解:,,,,原假设,备择假设,由σ2 =0.022知检验统计量为,拒绝域：,例2.一台机床加工轴的椭圆度 X 服从正态分布N(0.095,0.022）（单位：mm)。机床经调整后随机取20根测量其椭圆度算得 mm 。已知总体方差不变问调整后机床加工轴的椭圆度的均值有无显著降低？,,,,n=20α=0.05，,所以接受H0,在显著性水平0.05下，认为调整后机床加工轴的椭圆度的均值无显著降低.,因为,例3.某种电子元件要求使用寿命不得低于1000 小时。现从一批这种え件中随机抽取25 件测其寿命，算得其平均寿命950小时设该元件的寿命X~N(μ,1002)，在显著性水平0.05下,确定这批元件是否合格,解:,,,,原假设,备择假设,由σ2 =1002知，检验统计量为,拒绝域：,,,,n=25 α=0.05，,所以拒绝H0,在显著性水平0.05下，认为这批元件不合格.,因为,χ2 检验法,,双边 检验,单边 检验,1．已知 时总体方差σ2的假设检验,二、单一正态总体方差σ2的假设检验,,,,,,,,,,,,,,,,当H0为真时，,P{拒绝H0|H0为真},所以拒绝域为：,推导（双边检验情形） ：,此时因为 是σ2的无偏估计量,,拒绝域应表现为 偏小或偏大，,χ2 检验法,,双边 检验,单边 检验,2. μ未知时，总体方差σ2的假设检验,例4. 在生产线上随机地取10只电阻测得电阻值（单位：欧姆）如下：114.291.9，107.589.1，87.287.6，95.8 98.4，94.685.4 设电阻的电阻值总体服从正态分布，问在显著性水平α=0.1下方差与60是否有显著差异,解:,原假设,备擇假设,检验统计量：,拒绝域：,n=10 ，α=0.1,所以接受H0，,因为,即在显著性水平α=0.1下认为方差与60无显著差异.,例5. 某种导线，要求其电阻的标准差不得超过0.005欧姆今在生产的一批导线中取样本9根，测得s=0.007欧姆.设总体服从正态分布参数均未知，问在显著性水平α=0.05下能否认为这批导线的标准差显著地偏大？,解:,原假设,备择假设,检验统计量：,拒绝域：,n=9 α=0.05，,所以拒绝H0,因为,即在显著性水平α=0.05下，认为这批导线的标准差显著地偏夶.,,,,,,,,,,,,,,,,三、两个正态总体均值的假设检验,为取自总体 N ( ?1? ? 12 ) 的样本,,为取自总体 N ( ?2? ? 22 ) 的样本,,分别表示两样本的样本均值与样本方差,且两总体相互独立,? 1? ?2,?1 ??2,? 1? ?2,?1 ? ?2,?1 ?2,?1 ?2,U 检验法,,双边 检验,单边 检验,1．已知 时，总体均值的假设检验,? 1? ?2,?1 ??2,? 1? ?2,?1 ? ?2,?1 ?2,?1 ?2,,双边 检验,单边 检验,2． 未知但 时，总体均值的假设检验,T 检验法,例6.测得两批小学生的身高（单位：厘米）为： 第一批：140138，143142，144137，141 第二批：135140，142136，138140. 设这两个相互独立的总体都服从正态分布，且方差相同试判断这两批学生的平均身高是否相等（α=0.10 ）。,解:,原假设,检验统計量：,拒绝域：,备择假设,α=0.10,所以接受H0,因为,认为这两批学生的平均身高是相等的.,例7.某校从经常参加体育锻炼的男生中随机地选出50名，测得岼均身高174.34cm从不经常参加体育锻炼的男生中随机地选出50名，测得平均身高172.42cm统计资料表明两种男生的身高都服从正态分布，其标准差分别為5.35cm和6.11cm问该校经常参加体育锻炼的男生是否比不经常参加体育锻炼的男生平均身高要高些？ （α=0.05 ）,解:,原假设,检验统计量：,拒绝域：,备择假設,所以拒绝H0,因为,认为该校经常参加体育锻炼的男生比不经常参加

rrer和luk在每一个漆黑的夜晚大家共同進行着富有想象力的意淫是他们的存在，回忆

Euler停止了生命也就停止了计算。

这是一个生产数学家和物理学家的部落有着十几位优秀嘚科学家都拥有这个令人骄傲

John Bernoulli在1696年把最速降线问题在一个叫做《教师学报》的杂志上面提出，公

开挑战主要是针对他的哥哥Jacobi.Bernoulli,这两个人在学術让一直相互不忿据说当

年John求悬链线的方程，熬了一夜就搞定了Jacobi做了一年还认为悬链线应该是抛物

线，实在是很没面子那个杂志好潒是Leibniz搞得，很牛欧洲的牛人们都来做这个东

西。到最后Jhon收的了5份答案，有他自己的Leibniz的,还有一个L.Hospital侯爵的

（我们比较喜欢的那个L.Hospital法则好潒是他雇人做的，是个有钱人）然后是他哥哥

Jacobi的最后一份是盖着英国邮戳的，必然是Newton的John自己说“我从它的利爪

上认出了这头狮子．”據说当年Newton从造币厂回去，看到了Bernoulli的题感觉浑身

不爽，熬夜到凌晨4点就搞定了。这么多解答当中John的应该是最漂亮的，类比了F

ermat原理用咣学一下做了出来。但是从影响来说Jacobi的做法真正体现了变分思想

rnoulli的儿子）有一次正在做穿过欧洲的旅行，他与一个陌生人聊天他很谦虛的自我

呢。”Daniel从此之后在很多的场合深情的回忆起这一次经历把他当作他曾经听过的最

他老师John那里知道的并且给出了π2/6这个正确的答案。

法国有一个哲学家叫做Denis Diderot，中文的名字叫做狄德罗是个无神论者，这个

让叶卡捷琳娜女皇不爽于是他请Euler来教育一下Diderot，其实Euler本来是弄神学的

他老爸就是的，后来是好几个叫Bernoulli的去劝他父亲才让Euler做数学了。Eule

r邀请Diderot来了皇宫他这次的工作是证明上帝的存在性，然后在眾人面前说：“

羞辱，显然他面对的是欧洲最伟大的数学家他不得不离开圣彼得堡，回到了巴黎……

证明是一个偶像数学家在这个偶潒前折磨自己。

一次拓扑课Minkowski向学生们自负的宣称：“这个定理没有证明的最要的原因是至今

只有一些三流的数学家在这上面花过时间。丅面我就来证明它”…….这节课结束的时

候，没有证完到下一次课的时候，Minkowski继续证明一直几个星期过去了……一个

阴霾的早上，Minkowski跨叺教室那时候，恰好一道闪电划过长空雷声震耳，Minko

wski很严肃的说：“上天被我的骄傲激怒了我的证明是不完全的……"

，就问他最近在Princeton囿没有什么有意思的东西Lefschetz说有一个人刚刚证明了

四色猜想。Birkhoff严重的不相信说要是这是真的，就用手和膝盖直接爬到Prince

从实用的观点来判断，我的数学生涯的价值等于零

Lev Landau这位俄国最伟大的物理学家惊叹道：“为什么素数要相加呢？素数是用来相

乘而不是相加的”据说這是Landau看了Goldbach(哥德巴赫)猜想之后的感觉。

Graham说：“我知道一数论学家他仅在素数的日子和妻子同房：在月初，这是挺不错

的2，35，7；但是到朤终的日子就显得难过了先是素数变稀，1923，然后是一

个大的间隙一下子就蹦到了29，……”

由于Fermat大定理的名声在New York的地铁车站出现了亂涂在墙上的话：

x^n + y^n = z^n 没有解对此我已经发现了一种真正美妙的证明，可惜我现在没时

间写出来因为我的火车正在开来。

Hilbert曾有一个学生给叻他一篇论文来证明Riemann猜想，尽管其中有个无法挽回的

错误Hilbert还是被深深的吸引了。第二年这个学生不知道怎么回事死了，Hilbert要

求在葬礼上莋一个演说那天，风雨瑟瑟这个学生的家属们哀不胜收。Hilbert开始致

词首先指出，这样的天才这么早离开我们实在是痛惜呀众人同感，哭得越来越凶

接下来，Hilbert说尽管这个人的证明有错，但是如果按照这条路走应该有可能证明

Riemann猜想，再接下来Hilbert继续热烈的冒雨讲道：“事实上，让我们考虑一个单

变量的复函数.....”众人皆倒

有一个人叫做Paul Wolfskehl,大学读过数学，痴狂的迷恋一个漂亮的女孩子令他沮丧

的是他被无数次被拒绝。感到无所依靠于是定下了自杀的日子，决定在午夜钟声响起

的时候告别这个世界，再也不理会尘世间的事Wolfskehl在剩下嘚日子里依然努力的

工作，当然不是数学而是一些商业的东西，最后一天他写了遗嘱，并且给他所有的

朋友亲戚写了信由于他的效率比较高的缘故，在午夜之前他就搞定了所有的事情，

剩下的几个小时他就跑到了图书馆，随便翻起了数学书很快,被Kummer解释Cauchy

等前人做Fermat夶定理为什么不行的一篇论文吸引住了。那是一篇伟大的论文适合

要自杀的数学家最后的时刻阅读。Wolfskehl竟然发现了Kummer的一个bug一直到黎明

的時候，他做出了这个证明他自己狂骄傲不止，于是一切皆成烟云……这样他重新立

了遗嘱把他财产的一大部分设为一个奖，讲给第一個证明Fermat定理的人10万马克…

1854年Riemann为了在Gottingen获得一个讲师的席位，发表了他划时代的关于几何学

的演说由于当时听这个演说的人很多是学校里嘚行政官员，对于数学根本就不懂Ri

emann在演说中仅仅只用了一个数学公式。Weber的回忆说当演说结束后，Gauss怀着少

见的表情激动的称赞Riemann的想法洳果读读Riemann的讲稿，就会发现那几乎就是哲

学尽管这样子，当时的观众中只有一个人可以理解Riemann,那就是Gauss而整个数

学界,为了完善消化Riemann的这些想法，却话了将近100年的时间

有人说Riemann的著作，更接近于哲学而不是数学甚至在一开始，欧洲的很多数学家认

为Riemann的东西是一种家庭出版物更接近物理学家的看法，与数学家没有关系一次

以便能在一个山清水秀的环境里静静的研究这篇他认为是复杂又宏伟的工作。但是Helm

holz大惑不解他认为，Riemann的文章再明白不过了为什么Weiestrass作为数学家要

Klein上了年纪之后，在Gottingen的地位几乎就和神一般大家对之敬畏有加。那里流

行一個关于Klein的笑话说Gottingen有两种数学家，一种数学家做他们自己要做但不

是Klein要他们做的事；另一类数学家做Klein要做但不是他们自己要做的事这样Klei

n鈈属于第一类，也不属于第二类于是Klein不是数学家。

Wiener去Gottingen拜访这位老人家他在门口见到女管家时，问道教授先生在么女管

家训斥道，枢密官先生在家一个枢密官在德国科学界的地位就相当于一个被封爵的数

学家在英国科学界的地位，譬如说NewtonWiener见到Klein的时候，感觉就像去拜佛

后者高高在上，Wiener的描述是“对他而言时间已经变得不再有任何意义”

还有一个故事，当初王诗宬老师请了一个法国的拓扑学家来北夶做报告他讲的东西和

双曲几何有些关系，半路上突然讲到了Klein和Poincare的故事，说是Klein和Poinca

re都在研究自守函数什么的对于2维的的情况，Poincare把自己嘚结果用Fuchs的名字

来命名因为这个人的东西他曾经看过，并且有很大的影响Klein感到特别的不爽，他

也得到了这样的结果然而Fuchs本人对此却一無所知如此冠名，他自然觉的很不妥后

来，他和Poincare分别做3维的情况无奈自己不是Poincare那样的天才，用功过度体

力不支，身体都垮了从此结束了自己创造性的数学生涯。Poincare自己也不在乎这么

东西于是把3维自己得到的群命名为Klein群。

当时王老师也特别想将这个故事自己踌躇叻半天，后来说这个东西是法国人很有面子

的一件事情还是让这个法国人讲了。

需要2名学生作为对手他们向你不停的发问。Hilbert的一个对掱是Emil Wiechert(埃

米尔.魏恰特),后来是最著名的地震学家那时候，德国（也许叫做普鲁士）的大学教授

特别少Berlin之后3名数学教授，一般的大学至多2个

Hilbert的博士宣誓仪式，校长主持：“我庄严的要你回答宣誓是否能使你用真诚的良

心承担如下的许诺和保证：你讲勇敢的去捍卫真正的科學，将其开拓为之添彩；既不

为厚禄所驱，也不为虚名所赶只求上帝真理的神辉普照大地，发扬光大”

欧很想知道现在北大的授予博士仪式是不是也有类似的话

Hilbert上了年纪的时候，一次听到一群年轻人正在谈论一个他知道数学家那时候，M

inkowski这些他很熟的人有很多都已經故去。他特别关心正在被谈论的这个人当大

家说完这个人有几个孩子之类的事情之后，他就问说：“...他还‘存在’么.…….”

一次在Hilbert的討论班上一个年轻人报告，其中用了一个很漂亮的定理Hilbert说

“这真是一个妙不可言（wunderbaschon）的定理呀,是谁发现的？”那个年轻人茫然的

站了佷久对Hilbert说：“是你.……”。

Gottingen广为流传的一个关于Minkowski的故事说是他在街上散步，发现一个年轻人

正在默默想着某个很重要的问题于是Minkowski轻輕的拍拍他的肩膀，告诉他“收敛是

肯定的”年轻人感激而笑。

ecke和Haar等一群年轻人大家一起谈论数学物理，很有贵族的感觉一次，大镓在等

待Hilbert来上课Toeplitz指着远处的Weyl说：“看那边的那个家伙，他就是Weyl先生

他也是那种考虑数学的人。”就这样子Weyl就不属于“圈”这个集合叻。这个故事

种不朽的数学家但是事实证明，Weyl的伟大无人能比尽管Haar在测度论上贡献突出

，但是Courant还是说他和Weyl“根本没法相比”

快成为“圈”内的领袖。圈外人Weyl再一次证明了他的优秀他和Karman同时爱上了才

貌双全的一个女孩，并且展开了一场竞争最终圈内人都感到特别的沮丧，因为那个女

先停几次多讲几件烂事

先介绍一个人，L.V.Ahlfors, 和另一个美国的数学家共同分享了第一届的Feilds奖欧

知道他的一部分工作，就是展示给大家复分析和双曲几何之间的深刻联系把曲率之类

的几何概念引入了复分析，给出了Schwarz引理的几何上的漂亮解释他还在共形映射，

Riemann曲面领域都是贡献非凡

下面是一个很传奇的事情，欧希望那些认为数学没有“用”的看看数学家是如何认为数

L.V.Ahlfors说这些话的时候正是②战受封锁的时候

“Feilds奖章给了我一个很实在的好处，

当被允许从芬兰去瑞典的时候

我想搭火车去见一下我的妻子，

可是身上只有10元钱

峩翻出了Fields奖章，

把它拿到当铺当了（！！！！）

我确信那是唯一一个在当铺呆过的Feilds奖章……”

在讲几个小事情，都是蛮有意思的那种

根夲就没看；F.Riesz写了很多文章希望Hilbert能够欣赏，但是Hilbert根本就没看；

M.Riesz写了很多文章希望F.Riesz能够欣赏，但是F.Riesz根本就没看……

39年的时候Kolmogorov决定在冰水Φ游泳，结果以住院告终医生一致认为他差点

点死掉；但是，70岁的时候突然决定到莫斯科河里游泳，仍然是冰水这一次却没有事

E.Landau是後来的Gottingen的数学系系主任，此人不仅解析数论超强而且超级有钱。

曾有人问他怎么能在Gottingen找到他他很轻描淡写的说：“这个没有任何困难，它是

城里最好的那座房子”

6个小时工作，6个小时休息如此交替。他收到过无穷多关于证明了Fermat大定理的信

件后来实在没有精力处理，就印了一批卡片样子大概是这个样子的

谢谢您寄来的关于Fermat大定理的证明。

尽管有很多的稿件都退了据说剩下的还有3米多高。

E.Landau是比较洎大的那种人根本看不起物理化学，包括应用数学,他把任何和数学的

应用有关的东西贬为“润滑油”一次Steinhaus的博士考试需要一个天文学镓的提问。

Landau似乎很关心就问Steinhaus都被问了什么问题，当他知道是有关3体问题的微分

方程的时候大声的说：“啊，如此说来他知道这个.……”

狠狠的抱怨当年Guass对他不公平，在他的博士学位考试时问了一些特别难的问题。

两个间接的和Gottingen的人有关系的事情

Dehn是Hilbert最得意的弟子之一曾经率先解决了一个Hilbert问题。

Max Dehn离开Gottingen躲避纳粹追捕的时候经过苏联，换火车的时候在海参崴逗留

了一阵，闲来无事去了当地的图书馆這里的数学书仅仅占一个架子，全部都是Spring

明的每个集合都可以良序化Poincare演讲的时候他恰好坐在靠近Poincare脚边的位子

上，然而Poincare并不认识Zermelo他大喊噵：“Zermelo那个几乎独创的证明也应该

彻底的毁掉，扔到窗外去！”Zermelo本来就性情古怪暴躁那天更是绝望盛怒。

Caratheodory是希腊的一个富人子弟后来茬测度等很多方面有着重要的贡献，北大图

书馆还有他的一本讲复变函数的书非常的几何化，特别优美他当初是一个工程师，

26岁突然放弃了这样一个有前途的职业来学习数学众人很不理解，他说：“通过不受

束缚的专心的数学研究我的生活会变得更有意义，我无法忼拒这样的诱惑”他选择

W.F.Osgood是原来Havard的数学教授，来中国讲过课我这里还有他在中国的讲稿:-)。

他也是Gottingen毕业的娶了一德国姑娘，在美国保歭着德国的传统大概是在Gotting

en受的影响太大，Osgood做事都模仿F.Klein他留着欧洲式的头发，抽烟的时候不停的

用小刀戳雪茄一直抽到发苦的烟蒂头。

从明天开始再也不说Gottingen了

由于纳粹对犹太人采取的政策，很多数学家都离开了Gottingen一次纳粹的教育部

的数学现在怎么样了，Hilbert说：“Gottingen的数学确实，这儿什么都没有了

”Gottingen从那时开始一蹶不振。

这一个几乎和Gottingen没有什么关系很多数学家都是这个样子，开始的时候

自己的工作的鈈到承认的譬如说S.Lie当初的李群，Cantor当初的集合论等等。

Grassmann最初是一个预科学校的教员尽管那个时候，他就做出了反交换代数这一大

堆重偠的东西但是那个时代数学家从来不曾重视他的成果。Grassmann自己不的不放弃

数学这个没有前途的职业化了不少功夫在印度的梵文，把一个叫做Rig-Veda的印度古

经译成了德文所以Grassmann在当时的语言界受到了更多的尊重。

在Gottingen的图书馆里有一本Grassmann的写的维数论标题页上面用铅笔写着Minkow

ski的名字，序言后的脚注是：“书付印时作者已去世”Minkowski用几行字，清楚的

表达了Grassmann的成就：“新版本将比三十多年前收到更多的尊重”

开始讲述Einstein囷他的广义相对论

作为从Gottingen的故事到其他的故事的一个过渡

选一句永远让我心驰神往的话

关于这个宇宙最让人难以理解的地方就是她竟然是鈳以被理解的。

Einstein构思广义相对论的时候尽管他的数学家朋友教了他很多Riemann几何，他的数

学还是不尽如人意后来，他去过一次Gottingen,给Hilbert等很多数學家做过几次报告

他走不久，Hilbert就算出来了那个著名的场方程Hilbert的数学当然比Einstein好

很多。不久Einstein也得出来了，有人建议Hilbert考虑这个东西的署名權问题

Hilbert很坦诚的说：“Gottingen马路上的每一个孩子，都比Einstein更懂得四维几何

但是，尽管如此发明相对论的仍然是Einstein而不是数学家。”

讲的是这個世界上最漂亮的一套理论

据说Einstein的场方程的第一个球对称的解，也就是Schwarzschild解是同名的这个

Edditnton是一个伟大的天文物理学家，下面这个故事是講他如何吹牛的

说听说世界上只有三个人懂得这套高深的理论不知这三个人都是谁？Eddington低

头沉思很久没有回答。那个记者忍不住又问了┅遍Eddington说：“我正在想谁是第

谢谢那些每天都来读我的文章的人

希望那些伟大的人们在天有灵保佑我吧

这个故事是一个gg告诉我的：-），还昰讲Einstein

不过没有提到很地道的数学家

似乎每一个伟大的人物都以和Einstein交谈过感到无比的光荣杨振宁提到他当初见

Einstein的时候，过于激动以至于倳后根本不知道自己说过什么Einstein又说过什么

。Lev Landau苏联最伟大的那个物理学家，就说自己当年参加某会议的时候有幸和Ei

nstein说过几句话，而有某個认识Landau的人说Landau纯属幻想当时此人和Landau一

起，坐在那次开会的大厅的最后几排连听都听不清，根本不可能谈话可见Landau对

讲几个Einstein和数学家的倳情

Einstein描述广义相对论，用的数学就是弯曲空间上的几何学意大利的数学家

Levi-Civita在这种几何学上做出了突出的贡献。所以有人问Einstein他最喜欢

意夶利的什么,他回答是意大利的细条实心面和Levi-Civita。

Einstein的理论的时候感叹道：“噢，Einstein,总是不来上课——我真的想不到他能

一次P.Halmos和妻子遇到了Einstein和怹的助手，Einstein很想知道“她”是谁助

先写一个和论文有关系的东东

A.Coble是上个世纪美国的院士，做代数几何一度很有影响。据称他有无穷哆个博

士论文的题目：当你证明了一个2维的情况的时候，他叫下一个博士生去证明3维的情况

然后叫下下个博士生去做4维的。后来有个叫Gerald Huff嘚博士不但做了5维的情况

，而且对一般的n也解决了这就让Coble的未来的无穷个博士无所事事了。Coble很怒

---当我们每次用电脑Game的时候,就应该对Neumann礻以最崇高的敬意。---

von Neumann移居美国的动机很有特别的地方。他用了一种自己认为合理的方法发

现在德国将来的3年中，教授的职位的期望值昰3而候补的人数期望为40，这是一个不

理想的就业前景所以到美国去势在必行。这就是他的根据此时并没有涉及到政治的

阿基米德比荷马更有想象力。

von Neumann曾经碰到别人问他一个估计中国小学生都很熟的问题就是两个人相向

而行，中间有一只狗跑来跑去问两个人相遇之後，狗走了多少的这种应该先求

出相遇的时间，再乘狗的速度如果没有什么记错的话，小时候听说过苏步青先生

在德国的一个什么公囲汽车上就有人问他这个问题，他老人家当然不会感到有什

么困难了von Neumann也是瞬间给出了答案，提问的人很失望说你以前一定听说

过这個诀窍吧，他指的是上面的这个做法von Neumann说：“什么诀窍？我所做的

就是把狗每次跑得都算出来然后算出那个无穷的级数。”……

Banach在1927年参加一个数学的聚会的时候他伙同众多数学家，一起用伏特加灌

Neumann最终Neumann不胜酒力，去了厕所估计是呕吐。但是Bananch回忆道当

他回来继续讨論数学的时候，丝毫没有打断他的思路

最后两个关于冯.诺伊曼的故事

von Nuemann的年纪比Ulam要大一些，不过两个人是最好的朋友经常在一起谈论女囚。

包括他们坐船旅行除了数学之外，就是旁边的美女每次Nuemann就会评论道：“她

们并非完美的。”他们一次在一个咖啡馆里吃东西一個女士优雅的走过，Neumann认出

她来并和她交谈了几句，他告诉Ulam这是他的一位老朋友刚离婚。Ulam就问：“你

干吗不娶她”后来，他们两个结叻婚

一次Princeton举行的物理演讲，演讲者拿出一个幻灯片上面极为分散的排列着一些

实验数据，并且他试图这些数据在一条曲线上von Neumann大概很鈈感兴趣，低声抱怨

道：“至少它们是在同一个平面上”

数学有害健康，大家过节了还是不要看书的好

下面是历史上最天才的几个数學家在这个时间轴上存在的长度：

数学家是天生的，不是造就的

de Moivre 21岁的时候，已经靠教数学为生并且深信自己完全精通了这门学问。一個

偶然的机会他在一个公爵家里做客，且好Newton送来了自己的《原理》他信手翻了

一下，惊奇的发现数学竟然如此精深如此美丽的一门學问。这样他买下了这本书，

尽管为了教学需要四处奔波他还要撕下书页，以便能够带在口袋里空闲时进行研究

de Moivre（棣.莫佛）有个定悝好像我们中学的课本里就有，说的是一个复数n次方的事

来说一个古老一点的人物

Pascal据说14岁的时候就已经出席了法国高级数学家的聚会，18歲发明了一台计算机

是现在计算机的始祖。尽管如此Pascal成年之后最终致力于神学，他认为上帝对他

的安排之中不包含数学所以完全的放弃了数学。35岁的时候Pascal牙疼，不得不思

考一点数学问题来打发时间不知不觉间，竟然疼痛全无于是，Pascal认为这是上天

的安排所以继續开始做数学家。Pascal这次复出的时间不到一周但是已经发现旋轮

线的最基本的一些性质。尔后他继续研究神学。

Kolmogorov(柯尔莫戈洛夫)是苏联最偉大的数学家之一在很多很多的领域做出了

开创性的工作；Cauchy(柯西）就不用介绍了，从中学开始我们就认识这个法国人了

今天我们就来說这两个姓柯的牛人

Kolmogorov关于数学天赋的见解。当然很大程度上我认为他想通过这段论述来吹嘘一

下。柯牛人认为一个人作为普通人的发展阶段终止的越早，

这个人的数学天赋就越高“我们最天才的数学家，在四五岁的时候就终止了一半才

能的发展了，那正是人成长中熱衷于割断昆虫的腿和翅膀的时期”Kolmogorov认为自

己13岁才终止了普通人的发展，开始成长为数学家；而Aleksandrov是16岁

七岁之前接触任何数学书籍。这個巨象当年某些人不让张无忌学武功（好像有点不恰当

说几个数学家作为教师的生涯吧大部分出名的人物讲课都不是太出色，或者说

譬洳说 Newton 当初就经常对着空空的讲堂他讲东西第一不是太清楚，第二太

难所以Cambridge的学生没有人喜欢他的课。

从一些大家不是太熟悉的人讲起

Mondelbrolt是靠着画分形出名的，其实他的叔叔Mandelbrojt是个更为出色的数学家

，曾经是Bourbaki最早的几个成员他做学生的时候，大老远从波兰到法国读数学去

了之后精神上受到了严重的伤害，因为他选了Goursat的分析课然而Goursat上课永远

用一种语气，讲述二三十年前就有的旧东西听了三周左右的課，Mandelbrojt感觉和自

己梦想当中的课差的太远竟然哭了出来。不过几年后，Bernstein来到巴黎安慰

遥想当年Mandelbrojt那求知的感情，是多么的纯真那种东覀，似乎已经在也不属

还是有的数学家讲课不错的

Lebesgue尽管开始研究的东西很奇怪，不过他的讲课确实出奇的得受欢迎

Picard则是个古怪高傲的囚，他的老丈人是Hermite,两个人都是对分析很感兴趣

和Lebesgue一起，是一件很开心的事据说，Lebesgue的课总是有无穷的人去听课的

，大部分人因为Lebesgue讲课鈈但深刻而且很有意思。一次一个国外的学者来法国

报告自己的工作，Lebesgue说你不用报告了我替你报告吧。:-)

Picard总给人一种高不可攀的感觉令人不敢接近。每次Picard上课的时候前面有一

个戴有银链子的校役引路，他高傲的踱入教室在椅子上放有一杯水，Picard先喝一口

水然后开始讲课，大约半个小时他再喝一口水，一个小时以后那个银链子校役就

Lindemann，也就是证明了π的超越性的人,据说是历史上讲课最烂的的几个人之一。

此处收集他的故事两则一个是说他讲课，一个回忆了一下他在巴黎求学的两件小

传说中Lindemann讲课课大部分时间根本就听不清听清的话都是不可理解的听不懂

的话，而少数情况下他讲的话又清楚又听的懂，那就是错话

Lindemann到巴黎学习的时候，听过Bertrand和Jordan的课当时学数學的人太少，

尽管Jordan在法国算是领袖级的数学家听他的课的人只有3个，偶尔会达到4个

其中却中一人是因为教室里暖和。

Lindemann还曾拜访过Hermite,让他難忘的一点事那里有一把椅子，是当年Jacobi

优秀的数学家在定理或理论之间看到了类似

卓越的数学家则从类似中间看到了类似

毋庸置疑Lefschetz和Wiener嘟是这种可以从相似之间看到相似的数学家

不过他们的讲课技巧实在是不能让人恭维。

Rota曾讲了一个Lefschetz的故事关于他的课是如何难懂得，因為他经常语无伦次

这是几何课的开场白：“一个Riemann曲面是一定形式的Hausdroff空间。你们知道Haus

droff空间是什么吧它也是紧的，好了我猜想它也是一個流形。你们当然知道流形是

什么现在让我给你们讲一个不那么平凡的定理--Riemann-Roch定理。”要知道第一节R

iemann曲面的课如果这样进行的话恐怕Riemann复苼也未必可以听懂。：-）

Wiener尽管是个天才却是那种不善于讲课的那种，总是以为把真正深刻的数学讲出来

一定要写一大堆积分符号有一個关于他和中文的事情，Wiener天真的认为自己懂一种

汉语一次在中国餐馆，他终于有了施展的机会但是服务员却根本不知道他讲的是汉

语。最后Wiener不得不评论：“他必须离开这里，他不会说北京话”……

下一次说一些法国数学家的事情。

无论你对他们说什么他们把他翻譯成自己的语言，于是就成了全

法国的数学家就可想而知了:-))

Galois一共参加了2次Polytechnique的考试，第一次由于口试的时候不愿意做解释，

并且显得无悝结果被据了。他当时大概十七八岁年轻气盛，大部分东西的论证都是

马马虎虎一般懒的写清楚,并且拒绝采取考官给的建议。第二佽参加Polytechnique的

考试他口试的时候，逻辑上的跳跃使考官Dinet感到困惑后来Galois感觉很不好，一

怒之下把黑 宀林老駾inet,并且直接命中。Galios的天才是不可否认的不过person

ality是少一点了，后者在Polytechnique考试中很重要最后和Galois决斗的那个人，

是当时法国最好的枪手Galois的勇气令人钦佩。两个人决斗的时候楿距25步，

Galois被击中了腹部

无论你对他们说什么，他们把他翻译成自己的语言于是就成了全

1856年的时候，Hermite患了严重的天花并好之后，经过Cauchy夶力怂恿竟然皈依

了罗马的天主教。就在这个期间他和德国的Fuchs一直通信联系，于是Klein说

Hermite“在气质上不是一个领袖人物”。当然Klein如此嘚评论有些个人恩怨的成分

，可以参见这个系列文章的(9).

在一次国王接见Cauchy的时候他有五次回答国王的问题是都这样说：“我预料陛下将

问峩这个问题，所以我准备好了答案”然后，他从口袋里拿出笔记本昭本宣读。

法语是一种恐怖的语言Birkhoff是上个世界初美国最著名的数學家之一，一个西方人

学习法语按照常理说应当有一定的优势，不过当他老人家去了法国的时候还是遇到

Hadamard曾在法国主持讨论班，有很哆人慕名而来Birkhoff就这样子来到了法国，不

那几天巴黎一直下雨，一天Birkhoff见到了Mandelbrojt问：“一周......几次”大

概中间的词他不会发音。

“是呀礼拜二和礼拜五。”

“下午三点半开始五点之前就结束了。”

“这个绝对不肯能！！！”这个时候Birkhoff已经快疯了

后来Mandelbrojt才知道原来Birkhoff问的不是討论班的时间，而是什么时候下雨

所有的数学家生活在两个不同的世界里。一个是由完美的理想形式构成的晶莹剔透的世

界一座冰宫。但他们还生活在普通世界里事物因其发展或转瞬即逝，或模糊不清

数学家们穿梭于这两个世界，在透明的世界里他们是成人，在現实的世界里他们则

说3个可爱的法国学家爷爷当年的事情,一个是Hadamard，最出色的法国数学家之一无

论在几何，分析那个方面都是经常那種用名字来修饰“定理”这个词的人；一个是

Lebesgue,实变函数论的创始之人，其对数学的贡献不言而明；还有一个叫做Montel,相

对于前两个人不是那么絀名不过在复分析当中有一个极其重要的概念，叫做Montel正

规族就是用他的名字命名的。

这三个人都是巴黎高等师范学校毕业的（不好意思要么Hadamard就是从Ecloe Poly-

technique毕业的），Hadamard是他们那一届的第二名一生都对那个第一名不忿，尽管

那个人作为数学家来说和他严格不是一个档次；Lebesgue和Montel是哃一级的学生分

别是当年的第三和第二名，两个人一生都是很好的朋友据说那个他们同一届的第一名

仍然在数学方面和他们不能相提並论。

他老人家是一个狂热的蕨类植物收集者一次他带领自己的小妹妹到阿尔卑斯山去采集

这些东西，把妹妹放在一个冰河旁边采玩叻之后就自己兴冲冲的回家了；他这种马虎

一直改不掉，到了40年的时候他成功的在忘了带护照的情况下，从法国动身去了美国

；当然蕨类植物也是他一生的最爱，老年的时候他去莫斯科访问，Kolmogorov和

Aleksandrov陪同他坐船Hadamard忽然很兴奋得让他们靠岸，自己激动得站在船头最

后终于掉到了水里，原来他发现岸上有一种罕见的蕨类植物

再说Lebegue和Montel,他们后来工作也是在一起厮混，所以下面的事情经常发生

一次，Lebesgue打电话（那个时候有电话大概很富有了）给Montel讨论一个事情，两

个人各持己见吵了一个小时（那个时候的电话怎么收费？）也没有结果；第二天早上

Lebesgue有给Montel打了一个电话，说我开始同意你的说法了然而Montel说我也同

意你的了，于是又开始争吵

穿过Plato学院的拱形门楼，首先映入眼帘的昰 ：

“不懂几何者请勿入内”

昨天未明Science版聚，讲到了一个和倍立方有关的小故事也就是如何用直尺圆规做

一个正方体它的体积是给定嘚正方体的2倍。当然这个问题用一点域扩张的知识就

可以证明是做不到的，和三等份已知角一样的最初，在雅典流行瘟疫人们很恐

慌，就去求助于神神谕说要使得瘟疫消失的充要条件是把一个立方形神坛重新建为

一个体积是原来2倍的。按照古希腊的规矩就是要用呎轨作图。于是大家去问Plato

,Plato说这是神的旨意用来警告大家要对几何学有着足够的敬意。

法国的数学家大都对抽象的东西情有独钟Lagrange写出了怹著名的分析力学的书的时

候，就骄傲的宣称书中“没有一个图”；A.Weil在教师资格考试时理论力学交了白卷

量子论。后来Chevally和Weil在悼念Weyl的时候，根本不提Weyl的物理学的成就然

而大家公认Weyl最有名的两本书一本关于相对论，一本关于量子力学

11岁的时候，我开始学习Euclid的书并请我嘚哥哥当我的老师。

这是我生活中的一件大事犹如初恋般的迷人。

第39篇写伟大的却不到40岁的Riemann。在100多年后的今天他的思想还是能够

让囚们感到最强烈的震撼。在此表示深深的敬意

Riemann的父亲是个牧师，家里特别的穷从小体弱多病，也打算做牧师有一个人（据

说是Rieamnn的中學校长）发现他在数学上比在神学上更有潜力，送给他一部Legendre的

数论书Legendre是一个伟大的法国数学家，他的书十分的晦涩难懂

六天之后，Riemann就找到那个人把这本859页的名著还了说：“这本书的确十分的精

彩，我已经看懂了”这个时候Riemann只有14岁。

Riemann19岁的时候去Gottingen读神学平时也会听一些数学的课程。他比较喜欢泡在

图书馆里一次，他在那里找到了Cauchy的分析的著作如获至宝，读完之后便坦然

的决定放弃神学，从此开始读数学了

昨天有人批评道说这个系列的文章有一种过分吹捧天才的倾向

欧觉得批评的特别的有道理

每一个数学家的成功除了他们的天汾之外，更加让人们钦佩的是他们

完全忘我的疯狂如自杀般的工作

今天举两个牛人，Siegal(西格尔)是那种很聪明又很努力的而Kodaira(小平

邦彦)自己經常说自己天资不好，但是他从中学开始就是那种做事情一丝不苟

全身心投入的人他回忆自己第一次学习van de Wearden的《代数学》，几乎

学不懂嘫后就开始抄书，一直到抄懂为止可见的Feilds奖的人的学习方法

也不见的先进，唯手熟尔

Siegal曾经说过，他可以从早上9点起研究数学，一直箌深夜12点不吃不喝，最后

把一天的食物一并吃掉弄得胃很不舒服。Siegal被Kodaira称为“非常勤奋”被Kod

aira称为勤奋，可见其勤奋成都是何等的可怕

8:00起床，剃须穿西服，外出早餐（玉米片牛奶，咖啡）；

散步到研究所大约9:30；

5：30到街上的餐馆吃饭；

开始说说波兰的数学家，从Banach开始, 最最伟大的波兰数学家

Banach在数学界的登场是一段美丽的传说// :"-))

1916年的一个夏夜，Steinhaus在一个公园里散步突然听到了一阵阵的谈话声，更确

切的昰有几个词让他感到十分的惊讶当听到“Lebesgue积分”这个词的时候，他就毫

不犹豫的走向了谈话者的长椅原来是Banach和Nikodym在讨论数学。Steinhuas就这样

子發现了Banach,并把他带到了学术界他说：“Banach是我一生最美的发现。”

波兰学派的人似乎喜欢在咖啡馆里讨论数学Kuratowski和Steinhaus是有钱人，他们一

般在高檔的罗马咖啡馆里谈论数学；Banach,Ulam和Mazur穷一些整天呆在一个苏格兰

咖啡馆里，那里的老板挺不错即使过了营业时间，也不会赶他们这样子佷多年轻的

数学家都来到这里，每次有什么重大的发现就纪录在一个大的笔记本来，并保存在店

里这就是著名的苏格兰手册。当然咾板对他们好的一个原因就是他们每次都可以消

耗大量的啤酒，据说有一次聚会长达17小时其间，Banach不停的饮酒 Ulam说

开始说说波兰的数学家，从Banach开始, 最最伟大的波兰数学家

Banach在数学界的登场是一段美丽的传说// :"-))

1916年的一个夏夜，Steinhaus在一个公园里散步突然听到了一阵阵的谈话声，更確

切的是有几个词让他感到十分的惊讶当听到“Lebesgue积分”这个词的时候，他就毫

不犹豫的走向了谈话者的长椅原来是Banach和Nikodym在讨论数学。Steinhuas就這样

子发现了Banach,并把他带到了学术界他说：“Banach是我一生最美的发现。”

波兰学派的人似乎喜欢在咖啡馆里讨论数学Kuratowski和Steinhaus是有钱人，他们一

般在高档的罗马咖啡馆里谈论数学；Banach,Ulam和Mazur穷一些整天呆在一个苏格兰

咖啡馆里，那里的老板挺不错即使过了营业时间，也不会赶他们這样子很多年轻的

数学家都来到这里，每次有什么重大的发现就纪录在一个大的笔记本来，并保存在店

里这就是著名的苏格兰手册。當然老板对他们好的一个原因就是他们每次都可以消

耗大量的啤酒，据说有一次聚会长达17小时其间，Banach不停的饮酒 Ulam说

一个故事说M.Stone的父親可爱的语言；另外讲了一个Harvard的数学教授，这个人到底

做过什么出色的工作我也不知道，只是其中提到了30年代的教学情况特别好玩。

M.Stone寫了一本关于Hilbert空间的书他的父亲谈到自己的儿子时，总是自豪的

说：“我困惑又很高兴我的儿子写了一本我完全不理解的书。”

1932年J.J.Gergen不嘚不在一门讲授Fourier级数课程时不使用一直收敛的概念，原

因是Havard大学的数学系一致的认为一致收敛这个概念对本科生来说太难了

我不知道卋人怎样看我;可我自己认为，我好像只是一个在海边玩耍的孩子

不时的为拾到更光滑些的石子或更美丽的些的贝壳而欢欣，而展现在我媔

前的是完全未被探明的真理之海

这段话不同于他说的那段“站在巨人的肩上”，因为“肩上”那句话是他出来吹捧

一下Hooke(胡克),或者说讽刺一下那个时代总是为着各种东西的发明权而喋喋不

Newton的一生落落寡合，没有结婚也没有知心的朋友，人们结交他都是因为他很

高的地位和渊博的学识一个同事回忆说他只见过Newton笑过一次，当时有一个

人问Newton说Euclid的几何原本如此的老朽，不知道有什么价值对此，Newton放

对很多囚来说牛顿的贝壳尽管光滑尽管美丽，确实不如一块肥皂有用数学家做

的事情的确是这个样子，一种孩子般的游戏纯粹的追求快感。Newton之后的几百

年Cambribge另一个大名鼎鼎的数学家Hardy也说过这种话：

“从实用的观点来判断，我的数学生涯的价值等于零”

既然扯到的Hardy就说说他嘚轶事吧。他这个人有着各种怪癖譬如永远不会希望见

到镜子之类的，每次到一个旅馆总是用毛巾把各个地方的镜子都遮将起来。不說

这些乱七八糟的说一下子他用“数学”解决的恐船症。

Hardy每次做船的时候总是怕沉了。克服这个东西的一个方法是每次不得不坐船

航行的时候，他会给同事发个电报或者明信片什么的说已经搞定了Riemann猜想回

来之后会给出细节的。他的逻辑是上帝不会允许他被淹死，否则这又将是第二个类

似于Fermat大定理的事情

前天闲极无聊，去下载一个叫做百年大讲堂（凤凰中文台的节目)的东东看其中是王诗

宬老师嘚讲座，讲的是纽结

这个以前看过若干遍了，但是看完之后依然就有一种冲动

本来再已经写好Hero系列中有王老师的，不过不打算来post现茬还是忍不住。

这两次就说两三个很小很小的事情有历史上的人物，有王老师

比做学问更重要的是做人。

Erdos的Wolf奖金由5万美元之多他却呮留下了720美元，其余的都捐给了以色列作为

奖学金他说：“我记得有人告诉我说720美元在我已经很多了。”

Baire是个公认的大好人由于数学仩的贡献，得到了瑞士颁发的一份奖金有1000法郎

之多，结果最后拿到了1500法郎Baire就问他的朋友Montel说：“竟然多了500法郎呀

。我该怎么办是应该給一位学生发奖学金，还是自己买一件外套”Montel建议买外

王老师90年代初，得到了一份3万元的奖金他全部捐给了希望工程，90年代初3万块钱

洅说一段王老师的评论记得看过Atiyah的一个小册子，他评论道Thurston能够自如的

看到高维的复杂图形Thompson可以“看”到一个群。Thurston和Thompson都是得过

Feilds奖的人迋老师给我们上课的时候，也做过这样的评论说只要听懂了Thurston

的一句话就可以写一篇论文，E.Witten就是一个神呵呵..不过他说得更有意义的是紧

接着的评论，说数学家有很多种一种是像Thurston这个样子的，很聪明所以做的工

作很出色；另外一种是尽管天资不是很出众，但是自己能够耐得住寂寞非常的刻苦，

所以后来也是很出色的

今天再讲一个王老师的故事，也是他上课时候随口说的他说的主持讨论班这个人

就昰那种工作特别刻苦，又有不错的机遇最后做出了很大的成就。好像是Freedman吧

先说一个历史上很类似的故事。

了名的前辈于是Levi-Civita举行了一個小小的聚会。其间一个老先生对

Mandelbrojt不得不跳出来解释说，那个人不是荷兰人是波兰人；那个人也不叫Mondeb

做一个注释，上次有人说Mandelbrojt的拼写囿错误这欧又去核实了一下，至少这个拼

写的存在性是可以肯定的可能并不唯一。反正他是现在那个最出名的做出了美丽的分

王老师吔有类似的经历当年在Berkeley的一个讨论班上，一个牛人主持讲解一篇论

文，王老师在期间提了一些很不错的想法

课下，那个牛人问阁下貴姓

牛人说，太巧了我们今天讲的论文也是一个姓王的中国人写的。

她们做出的成就的的确确比不上男数学家的成就但是我们依然能够发现

她们的事迹中有很多的伟大，很多的美丽

从古希腊说起吧。那个时候的确是一个很民主的时代，对于女性的歧视要远好于后來

譬如说很多伟大的数学家哲学家对女性参与数学的态度还是很好的，譬如说

Pythagrass（毕达哥拉斯）学派当中就有女的信徒Pythagoras本人就很鼓励女性学者

，当年有个兄弟会之类的东西里面就有28个女孩,其中有一个叫做西诺的，后来就被

Pythagrass骗去做老婆了这个女孩在当时是个比较有影响嘚数学家。Socrates(苏格拉

底） 和 Plato（柏拉图）也曾经邀请过女性去他们的学院讲学

从他们往后，女性在很多的行业中受到了歧视在哲学数学自嘫科学这些领域更是如此

有一个令人心痛的故事，讲的是Hypatia (西帕蒂娅） 她处的时代就是Plato他们

往后那么一点的时候。Hypatia本身是个很优秀的数学镓了（在那个时代）她的演讲

很出名，而且解题也是高手其父亲是亚历山大的一位数学教授。经常有一些数学家找

他询问一些题目的莋法她也很少让大家失望。一个小故事说有人问她为什么不结婚

她回答说她已经和真理定了婚。不过Hypatia后来极为悲惨有个叫做Cyril的什么敎长

之类的人，声称数学家哲学家这帮人为异端对他们大加残害，手段令人发指

在一个封斋的日子里，Hypatia被从马车上拖到教堂剥光衣垺，身上的肉被一群狂暴的

人用牡蛎的壳刮了下来

话说时光飞逝，转眼间从古希腊来到了18世纪的意大利尽管从物质生活到文化的各个

方面，比起希腊已经大大的发展了，但是女性的地位相对来说还是一如既往的得不到

有一位被认为是当时欧洲最出色的数学家的女数学镓叫做Maria Agnesi(玛丽亚.阿涅

西） 像她这样出色数学家，在欧洲还是没有研究机构愿意提供给她职位尤其是法国这

样的国家，更是对她不屑一顾

她有一篇关于曲线的切线的文章尤为出名。但是意大利语中曲线一词叫做versiera

好像在拉丁文还是什么文字当中是avversiera的缩写，后面这个词意思昰 魔王的妻

esi的女巫后来，有一段时间大家都这么称呼女数学家。

在关于女数学家的记载当中很少有关于她们容貌的描述的，不过要說的是还是有ppmm

做了数学家上个世纪在偏微分方程方面，Sonja Kowalewski(柯瓦列夫斯卡娅. 鞣奇?

）无疑是最优秀的数学家之一她本人绝对是个一流的美女，据说当初Weiestrass也被

每每读到她为什么选择了数学总让我心驰荡漾........

在所有的欧洲国家中，法国对女性的歧视(学术上的)尤为严重Sophie Germain(索菲

.热尔曼)僦出生在这个国家。Germain当初读过一本讲Archimedes的书说当初他老人家

专心的研究一堆沙子组成的几何图形，以至于一个罗马士兵问他话他充耳不闻那个士

兵一怒之下把Archimedes杀死了。Germain认为一个人可以如此的痴迷于一个东西以至

于置生死于不顾，那么这个东西一定时是世界上最美的最迷囚的于是她选择了数学。

开始Germain的父母强烈反对没收了她的墨水蜡烛之类的东西，然而Germain痴心不

改，终于感动了父母一生父亲都支持她的数学工作。1794年Polytechnique在巴黎建

校，尽管这里盛产数学家但是却只接受男性，于是Germain化名为Le Blanc偷偷的混进

去旁听当然，当时确实有一个人叫莋Le Blanc估计这个人比较喜欢旷课，反正他一

直不到Germain得以在那里好好的读书，几个月之后她的任课老师Lagrange发现了一

个很牛的学生，Germain不得不说她其实是女儿身Lagrange毕竟不同于一般的人，他很

高兴有这样的一位朋友并乐于做Germain的导师。

Germain不久对数论尤为倾心可能受Lagrange的影响吧，他年轻嘚时候靠变分法出名

年长之后在数论方面贡献卓越。Germain选择的题目是Fermat大定理她把自己的结果寄

给Gauss，令Gauss特别的欣赏她当年才刚刚20岁，而她做出的成果是当时最好的当

然，她还是怕Gauss对女性有偏见于是仍然选择了Le Blanc这个名字。后来Napolea

n的军队攻入德国，Germain怕Gauss重蹈Archimedes之覆辙于是给洎己的朋友，也就是

当时通领三军的一位将军写信这位将军果然对Gauss很为关照。

Germain后来又在物理上面做了很多东西尤其是在弹性理论上面。由于她在数学物理上

的突出贡献她最终荣获了法国科学院的金质奖章，并成为第一位不是一某位成员的夫

人出席科学院讲座的女性茬生命的最后几年，Gauss说服了Gottingen大学授予Germ

ain名誉博士学位。在那个时代这是极大的荣誉。可惜在她的有生之年未能亲自带上

这是欧说的最後一位mm数学家，也是最最伟大的一位Emmy Noether(埃米.诺特).

她对20世纪的数学的影响无以伦比，提到抽象代数就不得不提一下Noether.最最著名的

说“...当我们的壵兵发现他们在一个女人脚下学习的时候他们会怎么想?”不得不说

Landau令人不招人喜欢。最让人不能容忍的是有人问她Noethor是否是一个伟大的女數学

家的时候他说：“我可以作证她是一个伟大的数学家，但是对她是一个女人这点我

oether是“自妇女开始受到高等教育以来最杰出的最富有创造性的数学天菜”，Hilber

t则支持Noether去争取一个讲师的职位并反驳Landau说：“我不认为候选人的性别是

反对她成为讲师的理由，评议会毕竟不昰澡堂”看来Hilbert当时有点怒了。

这是偶的室友的一个签名档比“遗憾总是难免的”的说起来好听，但是是等价的很

多数学家于垂暮之姩回首往事，也总是发出这样那样的感慨与常人无异。

从Hadamard说起原来讲过他是个和蔼的老头，数学好的不得了人也是这个样子，上

个卋纪初还来过清华讲过课

每每谈及往事，Hadamard总是很惋惜的说道一辈子有两件事情特别的后悔

第一个在数学方面，他很早就找到了Jensen公式甴于没有发现很精辟的应用，一直就

没有发表结果Jensen抢先了一步。

第二个是物理方面关于狭义相对论，他也是很早就有了这样的想法呮不过没有时间

深入下去，后来Einstein就发表了

其实Hadamard最不能忘怀的事情，决不是上面两件而是关于自己当初考试的。以至于

年纪大的时候仍然耿耿于怀，甚至到俄国和Kolmogorov都提这件事就是Hadamard做

学生的时候，参加数学的会考（相当于数学竞赛吧）得了第二名，第一名后来也是一

個数学家Hadamard对Kolmogorov说：“事实证明后来他做得没有我好，其实他一直没

当初Fermat证明不了东西时候就写下了这句话

我有一个对这个命题的十分美妙的证明，这里的空白太小写不下。

后来Hilbert也会了类似的技巧，

有人问Hilbert为什么不去证明Fermat大定理他说为什么要杀死一只下金蛋的母鹅，洇

为这样的一个对整个数学发展有着如此深远推动的问题太少了不过个人认为他没有能

还有另外一个和金蛋有关的事情，不过和数学家沒有关系当初欧洲的反法联军快攻到

巴黎的时候，Ecole Polytechnique的学生要求上战场保卫国家，拿破仑说：“这怎么

可能呢我不能为了打赢一场战爭，杀死一只会下金蛋的母鸡吧”

熬夜写东西,无聊之际,过来说一个不学数学的人一般不知道的人吧

刚刚看到了和他有关系的一个定理的說

H.Whitney是很著名的美国数学家，做了很多很重要的工作譬如说向量丛的Stiefel-

Whitney类是用他的名字命名的，还有一个著名的定理说每一个n维的流形都浸入一个

2n-1维的欧氏空间嵌入一个2n维的欧氏空间，也是他的结果欧们的图书馆里还有他的

很难想象,他本人一开始竟然不是学理科的.

Whitney的本科時候读的却不是数学，话说他学业完成到欧洲大陆去玩，大概是到了

Gottingen还是什么地方了反正是个很有名的地方，当时有一个很牛的物理學家（不是

海森堡就是薛定谔）正在做一个关于量子力学的讲座.

等得讲座结束之后Whitney什也么没听懂，感觉及其不爽于是找到了那个主讲嘚人，

说先生，我觉得你做的讲座很不成功.

主讲的教授很纳闷就问他说为什么.

Whitney回答说，我可是Yale大学的优等的毕业生你讲的东西我竟嘫听不懂，这难道不

那个教授继续问,你是读什么专业的

教授大大的分特了，说这个我也没有办法你要想懂的这些东西的话你应该学一點基础

的课，于是告诉他这个世界上还有数学分析和线性代数等等...

Whitney回美国之后就开始发奋学习数学据说半年之后就可以参加很高级的讨論班了.

当然他是非常刻苦的, 数学的历史上还是有很多这种大器晚成的例子的.

是因为我们不能证明数学是相容的。

一个很有意思的事情很哆很多的数学家和物理学家都特别的喜欢音乐，一个很出名的

例子就是爱因斯坦数学家当中也是这个样子，大家在做完了数学之后也會醉心于此

。譬如说E.Artin,一个上个世纪影响最大的带数学家之一据说钢琴的弹奏水平极高，

尤其是特别的严格好像他做的代数一样；譬如Courant，和Artin比起来路子要野蛮一

些水平也要低些，不过热情毫不逊色还经常邀请Artin到家里演奏一番；再譬如

说J.Nash,这个人大家比较熟悉，刚刚演的A Beautiful Mind說得就是他他原来就喜欢

绕着Princeton的Fine Hall游荡，并且嘴里吹着口哨后来一个得了Feilds奖也得了

Wolf讲的人数学家J.Milnor还说，他第一次听巴赫的音乐就是通过當时Nash的口哨声

更有甚者，譬如Dieudonne,这个法国Bourbaki的人不但喜欢弹琴，更是能记住很多很

多的乐谱据说上千页的乐谱他也能背诵。曾经一次Dieudonne囷P.Cartier去音乐会

，他指着手里的节目单说：“乐队的演奏漏了一个字符.……”

再譬如说Fox,一个美国的拓扑学家，在60年代的时候提到这个名字，就相当于提到

了低维拓扑这个方向他本人的小提琴的演奏水平也相当专业。这个人比较喜欢故弄玄

虚据说，在一次音乐会上Kodaira和他┅起，不料这次的演奏时不时的停顿而且

有声音的时间要少于没有声音的。Kodaira感到特别不好听Fox叹息道：“这是受了禅

影响之后的音乐，峩正在试图从无声之中听出有声”

上一次说到了很多数学家都喜欢音乐。不过我的看法是似乎比较“古老”一点数学家的

业余爱好要少┅些当然有可能是关于他们的记载要少一些，不过我觉得他们更能够集

中精力全身心的投入。从阿基米德牛顿到高斯，黎曼似乎絀了研究之外。很少关

譬如说Gauss(高斯)听说过一件极其变态的事情，但是从另一个侧面我们也可以知道

他不仅仅是天分出众更重要的是努仂。Gauss中年的时候妻子就死去了那个时候，

Gauss就很有名望家里有保姆。妻子病的一塌糊涂不过他还是专心自己的研究。这个

当然不是一個值得称道的品质就是妻子的弥留之际，他还是没有去她的身旁保姆实

在看不下去，就去Gauss做研究的地方去找他说让他赶快过去Gauss随口答应了，但是

依然做自己的东西保姆又来了一次，痛斥了他一番岂知Gauss告诉她说：“我马上就

过去，你让她再等一会……”

在譬如说J.Nash, 大镓只是知道他的天才却很少提到他的努力。钟开莱(Kai Lai

Chung)在Princeton的时候遇到了这么一件事情。说一下这个姓钟的人是一个很重要

的华人数学家，在概率方面很有作为他去一个很有名的休息厅，适时恰是秋季的清晨

休息厅里空空荡荡，寂静异常就像教堂的感觉一样。大厅中間的巨大的桌子上面

乱七八糟，全都是草稿纸一个人躺在上面，正愣愣的思考这正是Nash，很显然这又

是一个不眠之夜他一直在考虑數学.

说几个和监狱有关系的事情，做数学这个东西的确不同于很多学科只要有一个场所可

以供以静坐，有纸笔可以演算这个世界的一切都无所谓。

最最著名的故事就是关于Leray的事情他是法国Bourbaki学派的创始人之一。最初的时

候他做的是分析，在流体力学和力学方面卓有贡獻后来二战爆发，Leray作为法国的

军官参战40年的时候，被德国人抓到了集中营里德国人在战争方面对于科技的重视

使得他们对每一个数學家和物理学家都是很关注的，而Leray做的是分析很有可能被德

国人关起来去做各种各样的用来杀人的弹。为了避免这件事情的发生他就鉯代数学家

自居，在狱中的时候依然努力的做研究出狱的时候，发表他的那套对后世影响至深的

还有一个关于S.Lie的传说这个人就是李群嘚那个Lie.S.Lie当年普法战争的时候呆在

法国，由于普鲁士口音太重被法国当局投入监狱，后来法国战败大概恼羞成怒，准

备杀掉这帮人幸虧Darboux想方设法把Lie从那里救了出来。一个传说时Darboux到

达牢房的时候，发现他这位朋友竟然静静的坐着研究数学而他在研究的东西正是著名

弄清π是无理数这件事可能是根本没有实际用处的

那么肯定就不能容忍不去设法把它弄清楚

昨天提到了2个在监狱里做出了大手笔的数学家，還有一个和监狱有关的趣事这个发生

在Gottingen,主角是E.Landau,这个人在前面提到了多次，解析数论大家巨富无比，人

高傲自大也蛮可爱的，除了当初对我们尊敬的Noether姐姐不恭之外

Landau讲过Fourier级数的课，其中会涉及到一个叫做Gibbs现象的东西当他讲到这里

的时候，振振有词的评论道：“这个现潒是Jail的英国数学家Jibbs发现的”

Landau是典型的德国人，从这句话我们可以看到他的英文水平因为这个时候，不得不

有人跳出来指出他的错误：“第一他是个美国数学家；第二他叫Gibbs不是Jibbs；第三

也是最为重要的一点时，他更不在Jail（监狱）里面而在Yale大学。”:-))

顺便说说这个"Jibbs"碰到的事凊Yale曾经连续7次拒绝向著名的物理学家Gibbs发薪水

，理由是人为他的研究没有意义

中国有句古话说名师出高徒，说的是你如果和高手一起切磋整日耳濡目染，会不知不

觉学到很多很多东西大多数数学家的老师都是很牛的数学家的，可能Gauss和Newton这

样的人除外他们不需要老师的。

有一个故事说有一个人试图画出Lefschetz的数学后代家族树几个月后，他就不得不放

弃因为根本找不到一张足够大的纸，这是一个指数增长嘚典型例子越是这种大数学

家，他的学生一般来说越多受到他影响的人也就越多。

再譬如说在Berkeley的一次逻辑学的会议上Tarski请Sierpinski的学生举一丅手，大

部分人都举了手然后Tarski请Sierpinski的学生和学生的学生举手，所有人都举了手

这两个人都是波兰的最最著名的数学家。

最后我列举一下┅些数学家的师承这个不完全，其实是很不完全希望大家补充的说：

Hilbert是无穷多个人的老师

据中国的古话说职业一共有365种，反正是很多叻应该说作为数学家，从收入上来说是

相对比较少的这个相对的意思是从付出的努力到最后真正得到的钱的比值的倒数。

这里给一个姩度 Chicago大学 数学系教授的工资情况这里的每一个数学家

其实好像也不少了，那个时候是50年代末有这么多钱肯定衣食无忧了，这也是为什麼

美国的数学家能够专心研究吧

从现在来看，好像学数学收入更少了很多人出国读数学没几年就转行了，毕竟计算机

经济之类的专业轉化为生产力的速度更快

说到了转行的事情，想到了一个“内部周转”的事情Spencer在离开英国去Princeton

的时候，Littlewood去火车站送他叮嘱：“不要改荇。”于是Spencer研究了10年

的Bieberbach的系数问题，后来终于受不了了改做复流形，没有多少功夫就和Kodaira

一起发表了他们著名的工作

说一说数学家之間的恩怨，由于门派喜好乃至政治上的分别他们之间也往往有些小小

法国曾经有一个很著名的Dreyfus事件，这是对法国的政局甚至日常生活影響很深的一个

政治的风波（至于具体是什么我也不知道，不过上面的信息对理解后面数学家们的行

Hadamard个人算是一个Dreyfus派的人不过他个人当嘫是对政治事件很淡的那种人了

。适值那年的元旦按照巴黎高等师范学校的传统，年轻的老师要给年长的老师拜年

Hadamard来拜年，第一句话僦说：“你是个叛徒！”Hadamard很难理解这句话：“为

什么”Hermite本身做分析，而且个人固执的看不起几何等分支那时候Hadamard有一

项关于 曲率曲面的攵章很是著名，Hermite就对Hadamard说：“你为几何而背叛了分析

Picard也曾为了这个政治的原因对Hadamard说：“由于你是数学家我很尊重你。”言

下之意已经很奣显了。不过Picard这个人一向目中无人无论对谁都是贬多褒少，一

个有意思的事情说Picard在法国科学院收到了一份Bourbaki的报告，看到了Nicolas

Bourbaki的名字说：“呃，这些外国人”

继续说数学家们之间的过节。整体而言做学问的人总是让人尊敬，很少有令人讨厌的

要说几个人，他们的学問的确是一流的但是在同行里的口碑却不是很好。

第一个要说的人是Koebe, 此人作为数学家还是很出色的但是从做人的方面来说，极为

自负（其实对于数学家而言这一点很可爱）而令人讨厌，偶尔 剽窃年轻人的?法

Courant（柯朗）当初就很受他的排挤。一次在Gottingen, Courant要报告一个题目当

時Koebe恰好也要报告，但是Courant是年轻人，按照不成文的规矩他是初学者，而

且刚刚完成了博士论文有特权先报告。当Klein问大家谁先报告的时候Koebe迫不及

后来Courant的朋友很愤怒，在Koebe的课上把一个藏有警报器的便壶藏在讲台下面，

Koebe最终找出了这个发声的东西引起哄堂大笑。不久怹的朋友在当地的报纸上公开

数学史上还有两个大师级的人物，同样的是学术很好但是名声不济，和很多人有这样那样的误会和矛盾

苐一个是Kronceker,大家用的很多的Kronecker符号就是用他的名字。此人身体瘦小无比只有5尺高当初经商和务农很牛，赚了一大笔钱30岁之后致力于数学。怹在德国算是很权威的人但是特别烦的是，很专断根本不相信无理数的存在。当初Linderman和他讨论π的问题的时候，他竟然说这个东西根本不存在; Cantor后来疯了很大程度上是因为Kronecker的废话太多；据说Weiestrass都差点被他弄哭了，就是因为他对无理数抱有一种病态的看法

第二个人就是Brouwer,直觉學派的领头人，感觉上特别象当年的Kronecker对于和自己不同的意见不能容忍。他称Hilbert等人为敌人认为无穷这个东西是不存在的，不仅如此凡昰有人不同意的话，他总是想方设法刁难他原来是某一著名杂志的主编，别人寄来的文章通常都是高置于案头没有一年半年他决不会給人家发表。一次他和van de Wearden一起在朋友家里做客，后者讲到了Hilbert和Courant并且以朋友相称。这时候Brouwer竟然一怒之下，拂袖而去

三个做作业的故事,怹们的作业很难的说

第一个是被大家称为线性规划之父的Dantzig (丹齐克)，据说一次上课，Dantzig迟到了仰头看去，黑板上留了几个题目他就抄了┅下，回家后埋头苦做几个星期之后，疲惫的去找老师说这件事情真的对不起，作业好像太难了我所以现在才交，言下很是惭愧幾天之后，他的老师就把他召了过去兴奋的告诉他说他太兴奋了。Dantzig很ft, 后来才知道原来黑板上的题目根本就不是什么家庭作业而是老师說的本领域的未解决的问题，他给出的那个解法也就是单纯形法据说，这个方法是上个世纪前十位的算法

第二个和上面的类似，Milnor（米爾诺得过Feilds奖和Wolf奖，特别有影响的一个数学家现在还健在，但是听说因为年纪大了没有人给他研究基金，让这个老人很痛苦）在Princeton大一嘚时候上课得知Borsuk的一个和全曲率有关的东西，误以为是家庭作业几天之后搞定了，后来就发表在年鉴上面 第三个讲的是Arnold, 先说一下背景，有一个很著名的问题叫做“三体问题”粗略的说就是研究一下像太阳月亮地球这样的三个行星在万有引力的作用下，最终会不会相撞伟大如Poincare之类的人，都只是部分解决了这个问题再介绍一下Arnold的老师Kolmogorov, 一个苏联的大师，可以说是活在20世纪的前三位的数学家（如果可以排名的话）过几次说说他的故事。Kolmogorov对这个问题有了兴趣之后着实花了些功夫，后来他觉得离着解决差不多的时候干脆就把这个问题留成了一道课外作业，Arnold他们就奉命去写作业若干时日之后，终于成功的解答了这个东西当然他的贡献是特别大的，很多关键的想法都昰自己创的所以最后这个问题的解答所形成的定理叫做”KAM”，KA就是他们师徒俩人M则是一个美国数学家Moser,也曾对这个问题做了很多的工作。

提一个匈牙利的数学家学过Fourier分析的人应该对他很熟悉，他就是Fejer关于他的数学水平可以用Poincare的评论来证实，Fejer关于Fourier级数的Cesaro和的工作是大四莋的1905年的时候，H.Poincare到匈牙利去领取Bolyai奖很多政界的人都去接见， Poincare见面就问：“Fejer在哪里”众人面面相觑：“Fejer是谁？”Poincare说：“Fejer是匈牙利最伟夶的数学家也是世界上最伟大的数学家之一。”

其实政界的人去接见Poincare并不是因为他是那种最最伟大的数学家而是因为Poincare的哥哥原来是法國的总理什么的，一般来说政界的人对于谁是数学家并不关心，要不也就不至于不知道Fejer了

据说，Fejer比较喜欢到处乱说话有两件事情来證明。Fejer和Riesz的关系很好但是他比Riesz晚生了两个星期，于是就到处声称他其实比Riesz要大，因为Riesz早产了；Fejer和Kerekjarto不和后者是一个拓扑学家，Fejer说Kerekjarto说的話和真理只不过是拓扑等价

这是苏联最伟大的数学家之一，也是20世纪最伟大的数学家之一在实分析，泛函分析概率论，动力系统等佷多领域都有着开创性的贡献而且培养出了一大批优秀的数学家。特别的用两次的时间来介绍他因为Kolmogorov不仅作为数学家很传奇，更是有著丰富多彩经历

Kolmogorov一开始并不是数学系的，据说他17岁左右的时候写了一篇和牛顿力学有关的文章于是到了Moscow State University去读书。入学的时候Kolmogorov对历史頗为倾心，一次他写了一篇很出色的历史学的文章，他的老师看罢告诉他说在历史学里，要想证实自己的观点需要几个甚至几十个正確证明才行Kolmogorov就问什么地方需要一个证明就行了，他的老师说是数学于是Kolmogorov开始了他数学的一生。

二十年代的莫斯科大学一个学生被要求在十四个不同的数学分支参加十四门考试；但是考试可以用相应领域的一项独立研究代替。所以Kolmogorov从来没有参加一门考试，他写了十四個不同方向的有新意的文章Kolmogorov后来说，竟然有一篇文章是错的不过那时考试已经通过了。

不说他老人家在数学上的成就了因为实在太哆，譬如说上同调环这个东西他也是独立发现的专心的说一下他的轶事。

Kolmogorov总是以感激的口气提到斯大林：“首先他在战争年代为每一位院士提供了一床毛毯；第二，原谅了我在科学院的那次打架”Kolmogorov一次在选举会上打了Luzin一个耳光，他说：“（打架）那是我们常用的方式”Luzin在实变函数方面有着很重要的贡献，但是以打架而论远非Kolmogorov的对手，因为Kolmogorov经常自豪的回忆他在Yaroslovl车站和民兵打架的经历

一个人如果打架很牛的话，经验告诉我们他必然身体强壮而Kolmogorov的确很擅长运动，并经常以此自诩譬如说，他经常提到一件事情并且深以为憾，三十姩代的一个冬天Kolmogorov身穿游泳裤雪橇，在得意的飞速下滑碰到两个戴相机的年轻人请他停下来，他原以为他们仰慕他的滑雪技术会为他拍照结果他们请他为他们拍照。再譬如说39年的时候，他突然决定在冰水中游泳以表达对自己健康体魄的高度信任结果以住院告终，医苼一致认为他差点死掉；但是70岁的时候，突然决定到莫斯科河里游泳仍然是冰水，这一次却没有事情

有一条小路，穿过田野通向噺南盖特，我经常独自一人到那里去看落日并想到自杀。然而我终于不曾自杀，因为我想更多的了解数学

就用下面的一篇作为这个系列的结束吧，R.Thom是法国人35岁得的Fields奖。

在一次采访当中作为数学家的Thom同两位古人类学家讨论问题。谈到远古的人们为什么要保存火种时一个人类学家说，因为保存火种可以取暖御寒；另外一个人类学家说因为保存火种可以烧出鲜美的肉食。而Thom说因为夜幕来临之际，吙光摇曳妩媚灿烂多姿，是最美最美的

美丽是我们得数学家英雄们永恒的追求。

感谢那些每天来看我连载的人感谢每一个喜欢这些故事的人。我根本没有想到会有这么多人喜欢尤其是我如此拙劣的文笔，谢谢大家最初选Hero作为题目，是因为那时候想起了Mariah Carey的一首歌叫做Hero。我不知道这六十多篇文字是否真的勾勒出这些英雄们的桀骜不驯娇憨可爱，是否真的描绘出这些英雄们在追寻美追寻永恒的历程Φ满心的痴狂惊人的努力。

说正事这个后记基本上来说说文献，就是这些东西的出处

第一本叫做 天才引导的历程, 作者是威廉．邓纳姆，一个美国人这本书是我高中读过的，其中有若干经典的证明譬如Euler的求自然数平方倒数和的那个伟大的类比（尽管不严格）更好的┅点是，书中有若干有意思的小故事即使不喜欢读证明，依然是很有趣味

第二本或者说第二和第三本是Constence Reid为Hilbert和Courant写的传记，写书的女士不昰数学家所以行文更流畅故事更多。第一次知道这本书是个巧合大概是二年级的时候，我去图书馆的电脑上随便检索发现在Weyl的词条丅，有一个说是Hilbert的文集有Weyl作的注释这种经典自然要去翻翻，但是按索书号却是Reid的书英文版的。今年中文版的书也出了，我用的很多嘚话都是中文版的书中的

第三本是Ulam（乌拉姆）的自传，叫做 一个数学家的经历是一本上海科技出的红色的小册子，本人两年前在国林風卖旧书的地方以2元的价钱购得书中讲了他不是太传奇的一生，用了很多笔墨去写von Neumann

第四本是 P.Halmos的自传，叫做 我要做数学家有20几块钱，恏贵我从alpha那里借来看过，不是太有趣味因为行文过于冗长，但是长的一个好处是故事多而且Halmos这个人就是喜好吹牛。

第五本是 Nash的传记名字是 普林斯顿的幽灵， 讲述Nash的故事我这里不知道贴了多少，最近由于A Beatiful Mind这部片子的缘故Nash变得特别的出名，大家不妨去看看这本书還是很有趣的。

其他的书引用的不多这里列一下，有一本书叫做 一个数学家的辩白 作者是Hardy（哈代），此书还附有Weiner（维纳）的自传；一夲是Newton（牛顿）的传记名字大概就是 牛顿传 吧，记得序言的第一句话是说历史上为某人立传而不需要理由的牛顿当之无愧的算第一个；还囿一本是A.Einstein(爱因斯坦)的传记具体哪一本忘了，估计都差不多至于其他其他的书譬如讲Erdos的 数字情种 和另外一本比较著名的 数学精英，欧倒昰没有读过据说都是很好的传记性质的书。

还要提一下一本杂志中科院出的，叫做 数学译林 在北大图书馆的四楼就能找到， 每次在圖书馆里无聊的时候我就去翻看上面的故事，这个杂志堪称为给数学系学生看的最好的杂志了其中不但有很多传记和历史，还有前沿嘚数学工作的介绍经典的东西的回顾。

以上这些书的并集也许不能完全的包含这几十篇东西，那么其差集就是平时老师同学讲的故事囷某些专业书里作者随手插的花絮

到这里就真的结束了吧要毕业了。又想到了一个小故事是Halmos的他写了一本著名的书叫做Measure Theory，当他完成此書的时候心中喜悦难以抑制，向众人宣布:“我刚写完了Measure Theory的最后一个字！！”有人问:“最后一个字是什么”Halmos当时愣住了，连忙赶回办公室再跑回来，告诉他们说是什么什么我也写完了，最后一段话和本文无关写给远在千里之外的一个女孩，每一天到bbs上的时候我总昰假设你也上bbs,你也来看我的连载，希望你能喜欢这些故事哪怕只有一个尽管你不喜欢数学也不喜欢我。

附ukim的签名：美丽有两种 一是深刻叒动人的方程 一是你泛着倦意淡淡的笑容