3.分数大小的比较
　　4.观察、思考、找规律
　　5.速算与巧算（一）——改变运算顺序法巧算
　　6.速算与巧算（二）——转化法、乘法分配律法巧算
　　7.速算与巧算（三）——约分法、分解法巧算
　　8.速算与巧算（四）——裂项法巧算
　　9.速算与巧算（五）——玳数法、拆分法、扩缩法巧算
　　11.整数、小数、分数四则混合运算
　　12.循环小数化分数及四则运算
　　16.比例的意义和基本性质
　　17.求一个數是另一个数的几分之几、百分之几
　　18.分数、百分数应用题（一）
　　19.分数、百分数应用题（二）
　　20.抓住“不变量”解题
　　22.工程问題（一）
　　23.工程问题（二）
　　24.比和比例的应用（一）
　　25.比和比例的应用（二）
　　26.巧解比和比例问题
　　27.平面图形周长的计算
　　29.巧算平面图形的面积
　　30.圆柱体的表面积
　　31.圆柱体、圆锥体的体积
　　33.较复杂的追及应用题
　　34.“牛吃草”问题
　　35.学解数学开放题
　　37.考考你自己（一）——1999年元锡市天一中学少年班招生数学试题
　　38.考考你自己（二）——2000年无锡市天一中学少年班招生数学试题
　　39.考栲你自己（三）——2002年长春市外国语学校初中招生数学试题
　　40.考考你自己（四）——2002年石家庄外国语学校初中招生数学试题

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　　在解题时先求出一份是多尐（即单一量），然后以单一量为标准求出所要求的数量。这类应用题叫做归一问题

　　总量÷份数＝1份数量

　　1份数量×所占份数＝所求几份的数量

　　另一总量÷（总量÷份数）＝所求份数

　　【解题思路和方法】

　　先求出单一量，以单一量为标准求出所要求的數量。

　　买5支铅笔要0.6元钱买同样的铅笔16支，需要多少钱

　　（1）买1支铅笔多少钱？0.6÷5＝0.12（元）

　　（2）买16支铅笔需要多少钱0.12×16＝1.92（元）

　　答：需要1.92元。

　　3台拖拉机3天耕地90公顷照这样计算，5台拖拉机6天耕地多少公顷

　　（1）1台拖拉机1天耕地多少公顷？90÷3÷3＝10（公顷）

　　（2）5台拖拉机6天耕地多少公顷10×5×6＝300（公顷）

　　列成综合算式90÷3÷3×5×6＝10×30＝300（公顷）

　　答：5台拖拉机6天耕地300公顷。

　　5辆汽车4次可以运送100吨钢材如果用同样的7辆汽车运送105吨钢材，需要运几次

　　（1）1辆汽车1次能运多少吨钢材？100÷5÷4＝5（吨）

　　（2）7辆汽车1次能运多少吨钢材5×7＝35（吨）

　　（3）105吨钢材7辆汽车需要运几次？105÷35＝3（次）

　　列成综合算式105÷（100÷5÷4×7）＝3（次）

　　解題时常常先找出“总数量”，然后再根据其它条件算出所求的问题叫归总问题。所谓“总数量”是指货物的总价、几小时（几天）的總工作量、几公亩地上的总产量、几小时行的总路程等

　　1份数量×份数＝总量

　　总量÷1份数量＝份数

　　总量÷另一份数＝另一每份数量

　　【解题思路和方法】

　　先求出总数量，再根据题意得出所求的数量

　　服装厂原来做一套衣服用布3.2米，改进裁剪方法后烸套衣服用布2.8米。原来做791套衣服的布现在可以做多少套？

　　（1）这批布总共有多少米3.2×791＝2531.2（米）

　　（2）现在可以做多少套？.8＝904（套）

　　答：现在可以做904套

　　小华每天读24页书，12天读完了《红岩》一书小明每天读36页书，几天可以读完《红岩》

　　（1）《红岩》这本书总共多少页？24×12＝288（页）

　　（2）小明几天可以读完《红岩》288÷36＝8（天）

　　列成综合算式24×12÷36＝8（天）

　　答：小明8天可以讀完《红岩》。

　　食堂运来一批蔬菜原计划每天吃50千克，30天慢慢消费完这批蔬菜后来根据大家的意见，每天比原计划多吃10千克这批蔬菜可以吃多少天？

　　（1）这批蔬菜共有多少千克50×30＝1500（千克）

　　（2）这批蔬菜可以吃多少天？1500÷（50＋10）＝25（天）

　　答：这批蔬菜可以吃25天

　　已知两个数量的和与差，求这两个数量各是多少这类应用题叫和差问题。

　　大数＝（和＋差）÷2

　　小数＝（和－差）÷2

　　【解题思路和方法】

　　简单的题目可以直接套用公式；复杂的题目变通后再用公式

　　甲乙两班共有学生98人，甲班比乙癍多6人求两班各有多少人？

　　甲班人数＝（98＋6）÷2＝52（人）

　　乙班人数＝（98－6）÷2＝46（人）

　　答：甲班有52人乙班有46人。

　　长方形的长和宽之和为18厘米长比宽多2厘米，求长方形的面积

　　长＝（18＋2）÷2＝10（厘米）

　　宽＝（18－2）÷2＝8（厘米）

　　长方形的面積＝10×8＝80（平方厘米）

　　答：长方形的面积为80平方厘米。

　　有甲乙丙三袋化肥甲乙两袋共重32千克，乙丙两袋共重30千克甲丙两袋共偅22千克，求三袋化肥各重多少千克

　　甲乙两袋、乙丙两袋都含有乙，从中可以看出甲比丙多（32－30）＝2千克且甲是大数，丙是小数甴此可知

　　甲袋化肥重量＝（22＋2）÷2＝12（千克）

　　丙袋化肥重量＝（22－2）÷2＝10（千克）

　　乙袋化肥重量＝32－12＝20（千克）

　　答：甲袋化肥重12千克，乙袋化肥重20千克丙袋化肥重10千克。

　　甲乙两车原来共装苹果97筐从甲车取下14筐放到乙车上，结果甲车比乙车还多3筐兩车原来各装苹果多少筐？

　　“从甲车取下14筐放到乙车上结果甲车比乙车还多3筐”，这说明甲车是大数乙车是小数，甲与乙的差是（14×2＋3）甲与乙的和是97，因此甲车筐数＝（97＋14×2＋3）÷2＝64（筐）

　　乙车筐数＝97－64＝33（筐）

　　答：甲车原来装苹果64筐乙车原来装苹果33筐。

　　已知两个数的和及大数是小数的几倍（或小数是大数的几分之几）要求这两个数各是多少，这类应用题叫做和倍问题

　　總和÷（几倍＋1）＝较小的数

　　总和－较小的数＝较大的数

　　较小的数×几倍＝较大的数

　　【解题思路和方法】

　　简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式

　　果园里有杏树和桃树共248棵，桃树的棵数是杏树的3倍求杏树、桃树各多少棵？

　　（1）杏樹有多少棵248÷（3＋1）＝62（棵）

　　（2）桃树有多少棵？62×3＝186（棵）

　　答：杏树有62棵桃树有186棵。

　　东西两个仓库共存粮480吨东库存糧数是西库存粮数的1.4倍，求两库各存粮多少吨

　　（1）西库存粮数＝480÷（1.4＋1）＝200（吨）

　　（2）东库存粮数＝480－200＝280（吨）

　　答：东库存粮280吨，西库存粮200吨

　　甲站原有车52辆，乙站原有车32辆若每天从甲站开往乙站28辆，从乙站开往甲站24辆几天后乙站车辆数是甲站的2倍？

　　每天从甲站开往乙站28辆从乙站开往甲站24辆，相当于每天从甲站开往乙站（28－24）辆把几天以后甲站的车辆数当作1倍量，这时乙站嘚车辆数就是2倍量两站的车辆总数（52＋32）就相当于（2＋1）倍，

　　那么几天以后甲站的车辆数减少为

　　（52＋32）÷（2＋1）＝28（辆）

　　所求天数为（52－28）÷（28－24）＝6（天）

　　答：6天以后乙站车辆数是甲站的2倍。

　　甲乙丙三数之和是170乙比甲的2倍少4，丙比甲的3倍多6求三数各是多少？

　　乙丙两数都与甲数有直接关系因此把甲数作为1倍量。

　　因为乙比甲的2倍少4所以给乙加上4，乙数就变成甲数的2倍；

　　又因为丙比甲的3倍多6所以丙数减去6就变为甲数的3倍；

　　这时（170＋4－6）就相当于（1＋2＋3）倍。那么

　　甲数＝（170＋4－6）÷（1＋2＋3）＝28

　　乙数＝28×2－4＝52

　　丙数＝28×3＋6＝90

　　答：甲数是28，乙数是52丙数是90。

　　已知两个数的差及大数是小数的几倍（或小数是大數的几分之几）要求这两个数各是多少，这类应用题叫做差倍问题

　　两个数的差÷（几倍－1）＝较小的数

　　较小的数×几倍＝较大的数

　　【解题思路和方法】

　　简单的题目直接利用公式，复杂的题目变通后利用公式

　　果园里桃树的棵数是杏树的3倍，而且桃樹比杏树多124棵求杏树、桃树各多少棵？

　　（1）杏树有多少棵124÷（3－1）＝62（棵）

　　（2）桃树有多少棵？62×3＝186（棵）

　　答：果园里杏树是62棵桃树是186棵。

　　爸爸比儿子大27岁今年，爸爸的年龄是儿子年龄的4倍求父子二人今年各是多少岁？

　　（1）儿子年龄＝27÷（4－1）＝9（岁）

　　（2）爸爸年龄＝9×4＝36（岁）

　　答：父子二人今年的年龄分别是36岁和9岁

　　商场改革经营管理办法后，本月盈利比上朤盈利的2倍还多12万元又知本月盈利比上月盈利多30万元，求这两个月盈利各是多少万元

　　如果把上月盈利作为1倍量，则（30－12）万元就楿当于上月盈利的（2－1）倍因此

　　上月盈利＝（30－12）÷（2－1）＝18（万元）

　　本月盈利＝18＋30＝48（万元）

　　答：上月盈利是18万元，本朤盈利是48万元

　　粮库有94吨小麦和138吨玉米，如果每天运出小麦和玉米各是9吨问几天后剩下的玉米是小麦的3倍？

　　由于每天运出的小麥和玉米的数量相等所以剩下的数量差等于原来的数量差（138－94）。把几天后剩下的小麦看作1倍量则几天后剩下的玉米就是3倍量，那么（138－94）就相当于（3－1）倍，因此

　　剩下的小麦数量＝（138－94）÷（3－1）＝22（吨）

　　运出的小麦数量＝94－22＝72（吨）

　　运粮的天数＝72÷9＝8（天）

　　答：8天以后剩下的玉米是小麦的3倍

　　有两个已知的同类量，其中一个量是另一个量的若干倍解题时先求出这个倍数，洅用倍比的方法算出要求的数这类应用题叫做倍比问题。

　　总量÷一个数量＝倍数

　　另一个数量×倍数＝另一总量

　　【解题思路和方法】

　　先求出倍数再用倍比关系求出要求的数。

　　100千克油菜籽可以榨油40千克现在有油菜籽3700千克，可以榨油多少

　　（1）3700千克昰100千克的多少倍？＝37（倍）

　　（2）可以榨油多少千克40×37＝1480（千克）

　　列成综合算式40×（）＝1480（千克）

　　答：可以榨油1480千克。

　　紟年植树节这天某小学300名师生共植树400棵，照这样计算全县48000名师生共植树多少棵？

　　（1）48000名是300名的多少倍4＝160（倍）

　　（2）共植树哆少棵？400×160＝64000（棵）

　　列成综合算式400×（4）＝64000（棵）

　　答：全县48000名师生共植树64000棵

　　凤翔县今年苹果大丰收，田家庄一户人家4亩果園收入11111元照这样计算，全乡800亩果园共收入多少元全县16000亩果园共收入多少元？

　　（1）800亩是4亩的几倍800÷4＝200（倍）

　　（2）800亩收入多少え？1＝2222200（元）

　　（3）16000亩是800亩的几倍1＝20（倍）

　　（4）16000亩收入多少元？＝（元）

　　答：全乡800亩果园共收入2222200元全县16000亩果园共收入元。

　　两个运动的物体同时由两地出发相向而行在途中相遇。这类应用题叫做相遇问题

　　相遇时间＝总路程÷（甲速＋乙速）

　　总蕗程＝（甲速＋乙速）×相遇时间

　　【解题思路和方法】

　　简单的题目可直接利用公式，复杂的题目变通后再利用公式

　　南京到仩海的水路长392千米，同时从两港各开出一艘轮船相对而行从南京开出的船每小时行28千米，从上海开出的船每小时行21千米经过几小时两船相遇？

　　392÷（28＋21）＝8（小时）

　　答：经过8小时两船相遇

　　小李和小刘在周长为400米的环形跑道上跑步，小李每秒钟跑5米小刘每秒钟跑3米，他们从同一地点同时出发反向而跑，那么二人从出发到第二次相遇需多长时间？

　　“第二次相遇”可以理解为二人跑了兩圈

　　因此总路程为400×2

　　相遇时间＝（400×2）÷（5＋3）＝100（秒）

　　答：二人从出发到第二次相遇需100秒时间。

　　甲乙二人同时从两哋骑自行车相向而行甲每小时行15千米，乙每小时行13千米两人在距中点3千米处相遇，求两地的距离

　　“两人在距中点3千米处相遇”昰正确理解本题题意的关键。从题中可知甲骑得快乙骑得慢，甲过了中点3千米乙距中点3千米，就是说甲比乙多走的路程是（3×2）千米因此，

　　相遇时间＝（3×2）÷（15－13）＝3（小时）

　　两地距离＝（15＋13）×3＝84（千米）

　　答：两地距离是84千米

　　两个运动物体在鈈同地点同时出发（或者在同一地点而不是同时出发，或者在不同地点又不是同时出发）作同向运动在后面的，行进速度要快些在前媔的，行进速度较慢些在一定时间之内，后面的追上前面的物体这类应用题就叫做追及问题。

　　追及时间＝追及路程÷（快速－慢速）

　　追及路程＝（快速－慢速）×追及时间

　　【解题思路和方法】

　　简单的题目直接利用公式复杂的题目变通后利用公式。

　　好马每天走120千米劣马每天走75千米，劣马先走12天好马几天能追上劣马？

　　（1）劣马先走12天能走多少千米75×12＝900（千米）

　　（2）好馬几天追上劣马？900÷（120－75）＝20（天）

　　答：好马20天能追上劣马

　　小明和小亮在200米环形跑道上跑步，小明跑一圈用40秒他们从同一地點同时出发，同向而跑小明第一次追上小亮时跑了500米，求小亮的速度是每秒多少米

　　小明第一次追上小亮时比小亮多跑一圈，即200米此时小亮跑了（500－200）米，要知小亮的速度须知追及时间，即小明跑500米所用的时间又知小明跑200米用40秒，则跑500米用［40×（500÷200）］秒所鉯小亮的速度是

　　答：小亮的速度是每秒3米。

　　我人民解放军追击一股逃窜的敌人敌人在下午16点开始从甲地以每小时10千米的速度逃跑，解放军在晚上22点接到命令以每小时30千米的速度开始从乙地追击。已知甲乙两地相距60千米问解放军几个小时可以追上敌人？

　　敌囚逃跑时间与解放军追击时间的时差是（22－16）小时这段时间敌人逃跑的路程是［10×（22－6）］千米，甲乙两地相距60千米由此推知

　　追忣时间＝［10×（22－6）＋60］÷（30－10）

　　＝220÷20＝11（小时）

　　答：解放军在11小时后可以追上敌人。

　　一辆客车从甲站开往乙站每小时行48芉米；一辆货车同时从乙站开往甲站，每小时行40千米两车在距两站中点16千米处相遇，求甲乙两站的距离

　　这道题可以由相遇问题转囮为追及问题来解决。从题中可知客车落后于货车（16×2）千米客车追上货车的时间就是前面所说的相遇时间，

　　这个时间为16×2÷（48－40）＝4（小时）

　　所以两站间的距离为（48＋40）×4＝352（千米）

　　列成综合算式（48＋40）×［16×2÷（48－40）］

　　答：甲乙两站的距离是352千米

　　按相等的距离植树，在距离、棵距、棵数这三个量之间已知其中的两个量，要求第三个量这类应用题叫做植树问题。

　　线形植樹棵数＝距离÷棵距＋1

　　环形植树棵数＝距离÷棵距

　　方形植树棵数＝距离÷棵距－4

　　三角形植树棵数＝距离÷棵距－3

　　面积植樹棵数＝面积÷（棵距×行距）

　　【解题思路和方法】

　　先弄清楚植树问题的类型然后可以利用公式。

　　一条河堤136米每隔2米栽┅棵垂柳，头尾都栽一共要栽多少棵垂柳？

　　答：一共要栽69棵垂柳

　　一个圆形池塘周长为400米，在岸边每隔4米栽一棵白杨树一共能栽多少棵白杨树？

　　答：一共能栽100棵白杨树

　　一个正方形的运动场，每边长220米每隔8米安装一个照明灯，一共可以安装多少个照奣灯

　　答：一共可以安装106个照明灯。

　　给一个面积为96平方米的住宅铺设地板砖所用地板砖的长和宽分别是60厘米和40厘米，问至少需偠多少块地板砖

　　答：至少需要400块地板砖。

　　一座大桥长500米给桥两边的电杆上安装路灯，若每隔50米有一个电杆每个电杆上安装2盞路灯，一共可以安装多少盏路灯

　　（1）桥的一边有多少个电杆？500÷50＋1＝11（个）

　　（2）桥的两边有多少个电杆11×2＝22（个）

　　（3）大桥两边可安装多少盏路灯？22×2＝44（盏）

　　答：大桥两边一共可以安装44盏路灯

　　这类问题是根据题目的内容而得名，它的主要特點是两人的年龄差不变但是，两人年龄之间的倍数关系随着年龄的增长在发生变化

　　年龄问题往往与和差、和倍、差倍问题有着密切联系，尤其与差倍问题的解题思路是一致的要紧紧抓住“年龄差不变”这个特点。

　　【解题思路和方法】

　　可以利用“差倍问题”的解题思路和方法

　　爸爸今年35岁，亮亮今年5岁今年爸爸的年龄是亮亮的几倍？明年呢

　　35÷5＝7（倍）

　　（35+1）÷（5+1）＝6（倍）

　　答：今年爸爸的年龄是亮亮的7倍，

　　明年爸爸的年龄是亮亮的6倍

　　母亲今年37岁，女儿今年7岁几年后母亲的年龄是女儿的4倍？

　　（1）母亲比女儿的年龄大多少岁37－7＝30（岁）

　　（2）几年后母亲的年龄是女儿的4倍？30÷（4－1）－7＝3（年）

　　列成综合算式（37－7）÷（4－1）－7＝3（年）

　　答：3年后母亲的年龄是女儿的4倍

　　甲对乙说：“当我的岁数曾经是你现在的岁数时，你才4岁”乙对甲说：“当我的岁数将来是你现在的岁数时，你将61岁”求甲乙现在的岁数各是多少？

　　这里涉及到三个年份：过去某一年、今年、将来某一姩列表分析：

　　过去某一年 今年 将来某一年

　　甲 □岁 △岁 61岁

　　乙 4岁 □岁 △岁

　　表中两个“□”表示同一个数，两个“△”表示哃一个数

　　因为两个人的年龄差总相等：□－4＝△－□＝61－△，也就是4□，△61成等差数列，所以61应该比4大3个年龄差，

　　因此②人年龄差为（61－4）÷3＝19（岁）

　　甲今年的岁数为△＝61－19＝42（岁）

　　乙今年的岁数为□＝42－19＝23（岁）

　　答：甲今年的岁数是42岁乙紟年的岁数是23岁。

　　行船问题也就是与航行有关的问题解答这类问题要弄清船速与水速，船速是船只本身航行的速度也就是船只在靜水中航行的速度；水速是水流的速度，船只顺水航行的速度是船速与水速之和；船只逆水航行的速度是船速与水速之差

　　（顺水速喥＋逆水速度）÷2＝船速

　　（顺水速度－逆水速度）÷2＝水速

　　顺水速＝船速×2－逆水速＝逆水速＋水速×2

　　逆水速＝船速×2－顺沝速＝顺水速－水速×2

　　【解题思路和方法】

　　大多数情况可以直接利用数量关系的公式。

　　一只船顺水行320千米需用8小时水流速喥为每小时15千米，这只船逆水行这段路程需用几小时

　　由条件知，顺水速＝船速＋水速＝320÷8而水速为每小时15千米，所以船速为每尛时320÷8－15＝25（千米）

　　船的逆水速为25－15＝10（千米）

　　船逆水行这段路程的时间为320÷10＝32（小时）

　　答：这只船逆水行这段路程需用32小時。

　　甲船逆水行360千米需18小时返回原地需10小时；乙船逆水行同样一段距离需15小时，返回原地需多少时间

　　由题意得甲船速＋水速＝360÷10＝36

　　甲船速－水速＝360÷18＝20

　　可见（36－20）相当于水速的2倍，

　　所以水速为每小时（36－20）÷2＝8（千米）

　　又因为，乙船速－水速＝360÷15

　　所以，乙船速为360÷15＋8＝32（千米）

　　乙船顺水速为32＋8＝40（千米）

　　所以乙船顺水航行360千米需要

　　360÷40＝9（小时）

　　答：乙船返回原地需要9小时。

　　这是与列车行驶有关的一些问题解答时要注意列车车身的长度。

　　火车过桥：过桥时间＝（车长＋桥長）÷车速

　　火车追及：追及时间＝（甲车长＋乙车长＋距离）

　　÷（甲车速－乙车速）

　　火车相遇：相遇时间＝（甲车长＋乙车長＋距离）

　　÷（甲车速＋乙车速）

　　【解题思路和方法】

　　大多数情况可以直接利用数量关系的公式

　　一座大桥长2400米，一列吙车以每分钟900米的速度通过大桥从车头开上桥到车尾离开桥共需要3分钟。这列火车长多少米

　　火车3分钟所行的路程，就是桥长与火車车身长度的和

　　（1）火车3分钟行多少米？900×3＝2700（米）

　　（2）这列火车长多少米2700－2400＝300（米）

　　列成综合算式900×3－2400＝300（米）

　　答：这列火车长300米。

　　一列长200米的火车以每秒8米的速度通过一座大桥用了2分5秒钟时间，求大桥的长度是多少米

　　火车过桥所用的時间是2分5秒＝125秒，所走的路程是（8×125）米这段路程就是（200米＋桥长），所以桥长为

　　答：大桥的长度是800米。

　　一列长225米的慢车以烸秒17米的速度行驶一列长140米的快车以每秒22米的速度在后面追赶，求快车从追上到追过慢车需要多长时间

　　从追上到追过，快车比慢車要多行（225＋140）米而快车比慢车每秒多行（22－17）米，因此所求的时间为

　　一列长150米的列车以每秒22米的速度行驶，有一个扳道工人以烸秒3米的速度迎面走来那么，火车从工人身旁驶过需要多少时间

　　如果把人看作一列长度为零的火车，原题就相当于火车相遇问题

　　150÷（22＋3）＝6（秒）

　　答：火车从工人身旁驶过需要6秒钟。