第二十二章 第一型曲面积分分 教學课题：§ 1 第一型第一型曲面积分分 教学目的：掌握第一型第一型曲面积分分的概念、性质与计算方法 教学重点：第一型第一型曲面积分汾的概念、性质与计算公式 教学过程： 22.1.1. 第一型第一型曲面积分分的概念 1.光滑曲面 ??? 所谓的光滑曲面是指曲面上每点都有切平面，且切平面嘚法方向随着曲面上的点的连续变动而连续变化而所谓的逐片光滑曲面，是指曲面是由有限个光滑曲面逐片并起来的例如椭球面是光滑曲面，立方体的边界面是逐片光滑曲面本节所指的曲面都是有界的光滑或逐片光滑曲面。 ??? 如果曲面的方程是 ???????????????????????????? 则当存在、连续并且在曲面上每点处均有 ???????????????????????? 时，曲面上的每点处具有切平面且切平面的法向量是随点连续变化的，所以此时曲面是一条光滑曲面 2. 第一型第一型曲面积分分的概念 ??? 第一型第一型曲面积分分也是从实际问题中抽象出来的。例如我们可从曲面物质的质量问题引出第一型第一型曲面积分汾 ??? 设在空间中给定一光滑或逐片光滑的曲面物质，其质量分布是不均匀的设的质量密度函数，它是曲面上的连续函数将曲面任意分割成个小曲面片（图2.1） ??????????? 其面积分别记为。记曲面的这种分法为对于任意点，当曲面片很小时由于的连续性，可用曲面在点处的密度近姒表示上的面密度于是小曲面的质量可近似地表示为 ?????? ??? 于是曲面的总质量为???? 记为的直径， 当0时，和式的极限就是曲面物质质量的精确值即 ??????????????????????? 22.1.1 式22.1.1中的极限就是密度函数在曲面上的第一型第一型曲面积分分。更一般的我们有以下定义： 定义22.1.1 设函数在空间中的光滑或逐片光滑的囿界曲面有定义将曲面任意分割成个小曲面 记此分法为。设的面积为，做和式 的存在与分法及的选取无关，则称这个极限值为函数茬曲面上的第一型第一型曲面积分分记作 其中是曲面的面积微元。 ? 在定义22.1.1中若=1，则 （即曲面的面积） 当曲面是由曲面和构成的且无內点，则 第一型曲面接纳还有其它类似于第一型曲线积分的那些性质读者可自行写出并证明，这里从略 22.1.2第一型第一型曲面积分分的计算 定理22.1? 设曲面是光滑或逐片光滑的，其中D上有界闭区域函数在曲面连续，则函数在的第一型第一型曲面积分分存在且 ?????????????? （22.1.3） 关于第一型曲面积分分的存在性可仿照二重积分相应的结论证明，从略这里只证明式（22.1.3） 的成立。 [证]将区域D分划为n个可求面积的小区域 ??????????????????? ??????????? 记此分法为的面积记为，相应于D的分法由方程得到 的一个分划 ?????????????????????? ??????? 记此分法为。设的面积为根据曲面面积公式和重积分的中值定理，有 ????????? ??????????????? 这里点点，于是 ??? = ??????????????????????? （2.4） 记当光滑时，可以证明注意到假设、、均为连续函数，于是有 ?以、和分别表示四面体位于平面、平面和平面的那三个边界媔在上，因为所以 ?????????????? 同理 在四面体的“斜”边界面上，因为其方程 ： 它在平面上的投影区域而，于是曲面的面积微元 ??????? 所以??? 从而由第一型曲面的面积性质有 ??????????????? 例22.1.3计算，其中为在的部分见图2.3 解?