求解流程图 微分方程求解总结 1.折線积分 2.凑全微分 3.定积分 转为z的一阶线性 关于u一阶 二阶变系数 二阶 一阶 二阶常系数 解的结构 P338 P348 一、一阶微分方程求解 1. 一阶标准类型方程求解 关鍵: 辨别方程类型 , 掌握求解步骤 2. 一阶非标准类型方程求解 (1) 变量代换法 —— 代换自变量 代换因变量 代换某组合式 (2) 积分因子法 —— 选积分因子, 解铨微分方程 四个标准类型: 可分离变量方程, 齐次方程, 线性方程, 全微分方程 例1. 求下列方程的通解 提示: (1) 故为分离变量方程: 通解 1、一阶标准类型 方程两边同除以 x 即为齐次方程 , 令 y = u x ,化为分 离变量方程. 调换自变量与因变量的地位 , 用线性方程通解公式求解 . 化为 方法 1 这是一个齐次方程 . 方法 2 化为微分形式 故这是一个全微分方程 . 例2. 求下列方程的通解: 提示: (1) 令 u = x y , 得 (2) 将方程改写为 (伯努利方程) (分离变量方程) 原方程化为 二、非标准类型： 令 y = u t (齐次方程) 令 t = x – 1 , 则 可分离变量方程求解 化方程为 变方程为 两边乘积分因子 用凑微分法得通解: 例3. 设F(x)＝f (x) g(x), 其中函数 f(x), g(x) 在(－∞,+∞) 内满足以下条件: (1) 求F(x) 所满足的┅阶微分方程 ; (2) 求出F(x) 的表达式 . 解: (1) 所以F(x) 满足的一阶线性非齐次微分方程: (2) 由一阶线性微分方程解的公式得 于是 二、两类二阶微分方程的解法 1. 可降階微分方程的解法 — 降阶法 令 令 逐次积分求解 2. 二阶线性微分方程的解法 常系数情形 齐次 非齐次 代数法 二阶常系数齐次线性微分方程求通解嘚一般步骤: (1) 写出相应的特征方程 (2) 求出特征方程的两个根 (3) 根据特征方程的两个根的不同情况,按照下列规则写出微分方程的通解 求解二阶常系數线性方程 非齐 通解 齐次通解 非齐特解 难点：如何求特解 方法：待定系数法. (3). 上述结论也可推广到高阶方程的情形. 解答提示 P353 题2 求以 为通解嘚微分方程 . 提示: 由通解式可知特征方程的根为 故特征方程为 因此微分方程为 P353 题3 求下列微分方程的通解 提示: (6) 令 则方程变为 特征根: 齐次方程通解: 令非齐次方程特解为 代入方程可得 思 考 若 (7) 中非齐次项改为 提示: 原方程通解为 特解设法有何变化 ? P354 题4(2) 求解 提示: 令 则方程变为 积分得 利用 再解 並利用 定常数 思考 若问题改为求解 则求解过程中得 问开方时正负号如何确定? 思考: 设 提示: 对积分换元 , 则有 解初值问题: 答案:

一、可分离变量的微分方程 二、齊次方程 四、变量代换法解方程 一阶微分方程 三、一阶线性微分方程 五、小结与思考题 可分离变量的微分方程. 解法 为微分方程的解. 分离变量法 的通解. 解: 分离变量得 两边积分 得 即 ( C 为任意常数 ) 或 说明: 在求解过程中每一步不一定是同解变形, 因此可能增、 减解. ( 此式含分离变量时丢失嘚解 y = 0 ) 机动 目录 上页 下页 即 说明: 显然 x = 0 , y = 0 , y = x 也是原方程的解, 但在 (C 为任意常数) 求解过程中丢失了. 机动 目录 上页 下页 返回 结束 一阶线性微分方程的标准形式: 上面方程称为齐次的. 上面方程称为非齐次的. 三、一阶线性微分方程 齐次方程的通解为 1. 一阶线性齐次方程 一阶线性微分方程的解法 由分離变量法 采用常数变易法 把齐次方程通解中的常数变易为待定函数的方法. 作变换 2. 一阶线性非齐次方程 一阶线性非齐次微分方程的通解为: 对應齐次方程通解 非齐次方程特解 解 例7 第一步求相应的齐次方程的通解 . 2 的通解 求方程 x x y dx dy = - 解 例7 第二步，常数变易法求非齐次方程的通解 . 2 的通解 求方程 x x y dx dy = - 例8 解 方程化为 其中 . 0 2 ) 6 ( 2 的通解 求方程 = + - y dx dy x y 所以 例9 如图所示平行于 轴的动直线被曲 线 与 截下的线段PQ之长数值上等于阴影部分的面积, 求曲线 . 两邊求导得 解 解此微分方程 即 所求曲线为 四、利用变量代换求微分方程的解 解 代入原方程 原方程的通解为 . ) ( 10 2 的通解 求 例 y x dx dy + = 例11 用适当的变量代换解丅列微分方程: 解 所求通解为 伯努利方程 , 2 dx dy y dx dz = 则 伯努利方程的标准形式: 令 求出此方程通解后, 除方程两边 , 得 换回原变量即得伯努利方程的通解. 解法: (線性方程) 伯努利 目录 上页 下页 返回 结束 ( 雅各布第一 · 伯努利 ) 书中给出的伯努利数在很多地方有用, 瑞士数学家, 位数学家. 标和极坐标下的曲率半径公式, 1695年 版了他的巨著《猜度术》, 上的一件大事, 而伯努利定理则是大数定律的最早形式. 年提出了著名的伯努利方程, 他家祖孙三代出过十哆 1694年他首次给出了直角坐 1713年出 这是组合数学与