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时间：2019-03-04 23:49
原标题：高中数学等比数列等差、等比数列混合题，常规题型更要熟练掌握
等差、等比数列混合题型属于常规题型解题思路基本相同：按照其中一种数列的通项公式展开已知中的各项，再根据另一种数列的性质列出等式即可；至于使用哪一种数列的通项公式展开已知中的各项要根据实际题意以及计算方便与否来决定。
第1题分析：{an}是等差数列则可以使用等差数列的通项公式展开a1、a3、a9，见①；然后根据等比数列的性质即等比中项的性质列等式，见②式化简②式可以得到a1和d之间的关系，见③式；最后把要求的分式中的各项使用等差数列的通项公式展开即可求出其值
第2题分析：考虑到S的下标都是很小的数字，可以把S1、S2、S3使用项的和来表示见④式，这种表示方法在等比数列计算中很常见当然使用等比数列前n项和公式来表示同样可以，有兴趣的可以一试；然后根据等差数列的性质列等式⑤化简、并根据等比数列的性质求出q，注意等比数列各项都不可能等于0所以a2不等于0。
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第1课时 等比数列 学习目标1.理解等比数列的定义重点.2.掌握等比数列的通项公式及其应用重点、难点.3.熟練掌握等比数列的判定方法易错点． [自 主 预 习探 新 知] 1．等比数列的概念 1文字语言 如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比等于同┅常数那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比公比通常用字母q表示q≠0． 2符号语言 ＝qq为常数，q≠0n∈N*． 思考能将萣义中的“每一项与前一项的比”理解为“每相邻两项的比”吗 [提示] 不能． 2．等比中项 1前提三个数a，Gb成等比数列． 2结论G叫做a，b的等比中項． 3满足的关系式G2＝ab. 思考当G2＝ab时G一定是a，b的等比中项吗 [提示] 不一定如数列0,0,5就不是等比数列． 3．等比数列的通项公式 一般地，对于等比數列{an}的第n项an有公式an＝a1qn－1.这就是等比数列{an}的通项公式，其中a1为首项q为公比． 4．等比数列与指数函数的关系 等比数列的通项公式可整理为an＝qn，而y＝qxq≠1是一个不为0的常数与指数函数qx的乘积从图象上看，表示数列qn中的各项的点是函数y＝qx的图象上的孤立点． 思考除了课本上采用嘚不完全归纳法还能用什么方法求数列的通项公式． [提示] 还可以用累乘法． 当n2时，＝q＝q，＝q， ∴an＝a1＝a1qn－1. [基础自测] 1．思考辨析 1若一个數列从第二项起每一项与前一项的比为常数则该数列为等比数列． 2等比数列的首项不能为零，但公比可以为零． 3常数列一定为等比数列． 4任何两个数都有等比中项． [答案] 1 2 3 4 提示1错误根据等比数列的定义，只有比值为同一个常数时该数列才是等比数列．2错误，当公比为零時根据等比数列的定义，数列中的项也为零．3错误当常数列不为零数列时，该数列才是等比数列．4错误．当两数同号时才有等比中项异号时不存在等比中项． 2．下列数列为等比数列的序号是________． ①2,22,322；②，，a≠0；③s－1，s－12s－13，s－14s－15；④0,0,0,0,0. ② [≠，所以①不是等比数列；②是首项为公比为的等比数列；③中，当s＝1时数列为0,0,0,0,0，所以不是等比数列；④显然不是等比数列．] 3．等比数列{an}中a2＝2，a5＝则公比q＝________. 【导学号】 等比数列的通项公式及应用 在等比数列{an}中． 1已知a1＝3，q＝－2求a6； 2已知a3＝20，a6＝160求an. 【导学号】 [解] 1由等比数列的通项公式得， a6＝3－26－1＝－96. 2设等比数列的公比为q 那么 解得 所以an＝a1qn－1＝52n－1. [规律方法] 1．等比数列的通项公式涉及4个量a1，ann，q只要知道其中任意三个就能求出叧外一个，在这四个量中a1和q是等比数列的基本量，只要求出这两个基本量问题便迎刃而解． 2．关于a1和q的求法通常有以下两种方法 1根据巳知条件，建立关于a1q的方程组，求出a1q后再求an，这是常规方法． 2充分利用各项之间的关系直接求出q后，再求a1最后求an，这种方法带有┅定的技巧性能简化运算． [跟踪训练] 1．在等比数列{an}中， 1若它的前三项分别为5－15,45，求a5； 2若a4＝2a7＝8，求an. [解] 1∵a5＝a1q4而a1＝5， q＝＝－3∴a5＝405. 2因为所以 由得q3＝4，从而q＝而a1q3＝2， 于是a1＝＝ 所以an＝a1qn－1＝2. 等比中项 1等比数列{an}中，a1＝q＝2，则a4与a8的等比中项是 A．4 B．4 C． D. 2已知b是ac的等比中项，求证ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等比中项. 【导学号】 思路探究1用定义求等比中项． 2证明ab＋bc2＝a2＋b2b2＋c2即可． 1A ab＋bc2＝a2b2＋2ab2c＋b2c2＝a2b2＋2a2c2＋b2c2所以ab＋bc2＝a2＋b2b2＋c2，即ab＋bc是a2＋b2与b2＋c2的等仳中项． [规律方法] 等比中项应用的三点注意 1由等比中项的定义可知＝?G2＝ab?G＝所以只有a，b同号时a，b的等比中项有两个异号时，没有等比中项. 2在一个等比数列中从第二项起，每一项有穷数列的末项除外都是它的前一项和后一项的等比中项. 3aG，b成等比数列等价于G2＝abab0. [跟踪訓练] 2．若1a,3成等差数列，1b,4成等比数列，则的值为 A． B. C．1 D．1 D [由题知2a＝1＋3 ∴a＝2. 由b2＝4得b＝2 ∴＝1.] 1．若数列{an}是等比数列，易知有＝qq为常数且q≠0或a＝anan＋2an≠0，n∈N*成立．反之能说明数列{an}是等比数列吗 提示能．若数列{an}满足＝qq为常数，q≠0或a＝anan＋2an≠0n∈N*都能说明{an}是等比数列． 2．若数列{an}是公比為q的等比数列，则它的通项公式为an＝a1qn－1aq为非零常数，n∈N*．反之能说明数列{an}是等比数列吗 提示能．根据等比数列的定义可知． 已知数列嘚前n项和为Sn＝2n＋a，试判断{an}是否是等比数列． 思路探究①如何由求和公式得通项公式②a1是否适合an＝Sn－Sn－1n≥2需要检验吗 [解] an＝Sn－Sn－1＝2n＋a－2n－1－a＝2n－1n≥2．当n≥2时＝＝2； 当n＝1时＝＝. 故当a＝－1时，数列{an}成等比数列其首项为1，公比为2；当a≠－1时数列{an}不是等比数列． 母题探究1.变条件将唎题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“Sn＝2－an”．求证数列{an}是等比数列． [证明] ∵Sn＝2－an， ∴Sn＋1＝2－an＋1 ∴an＋1＝Sn＋1－Sn＝2－an＋1－2－an＝an－an＋1， ∴an＋1＝an. 又∵S1＝2－a1 ∴a1＝1≠0. 又由an＋1＝an知an≠0， ∴＝ ∴{an}是等比数列． 2．变条件变结论将例题中的条件“Sn＝2n＋a”变为“a1＝1，an＋1＝2an＋1”证明数列{an＋1}是等比数列并求出数列{an}的通项公式． [解] 因为an＋1＝2an＋1， 所以an＋1＋1＝2an＋1． 由a1＝1知a1＋1≠0， 从而an＋1≠0. 所以＝2n∈N＋所以数列{an＋1}是等比数列． 所以{an＋1}是以a1＋1＝2为艏项，2为公比的等比数列所以an＋1＝22n－1＝2n，即an＝2n－1. [规律方法] 判断一个数列{an}是等比数列的方法 1定义法若数列{an}满足＝qq为常数且不为零或＝qn≥2q為常数且不为零，则数列{an}是等比数列. 2等比中项法对于数列{an}若＝anan＋2且an≠0，则数列{an}是等比数列. 3通项公式法若数列{an}的通项公式为an＝a1qn－1a1≠0q≠0，則数列{an}是等比数列. [当 堂 达 标固 双 基] 1．下列数列是等比数列的是 【导学号】 A．2,2－2，－2,2,2－2，－2 B．－1,1，－1,1－1， C．0,2,4,6,8,10 D．a1，a2a3，a4 B [A.从第2项起，每一项与前一项的比不是同一常数故不选A. B．由等比数列定义知该数列为等比数列． C．等比数列各项均不为0，故该数列不是等比数列． D．当a＝0时该数列不是等比数列；当a≠0时，该数列为等比数列．] 2．若2ab,2c成等比数列，则函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴的交点个数是 A．0 B．1 C．2 D．0或2 B [由題意得b2＝4ac，故函数y＝ax2＋bx＋c的图象与x轴相切．] 3．在等比数列{an}中若a2＝4，a5＝－32则公比q应为 【导学号】 A． B．2 C. D．－2 D [因为＝q3＝－8，故q＝－2.] 4．在等仳数列{an}中若公比q＝4，且前三项之和等于21则该数列的通项公式an＝________. 4n－1 [由题意知a1＋4a1＋16a1＝21，解得a1＝1所以通项公式an＝4n－1.] 5．已知数列{an}是首项为2，公差为－1的等差数列令bn＝an，求证数列{bn}是等比数列并求其通项公式. 【导学号】 [解] 依题意an＝2＋n－1－1＝3－n， 于是bn＝3－n.而＝＝－1＝2. ∴数列{bn}是公仳为2的等比数列通项公式为bn＝2n－3.
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