本文根据已知函数幂级数展开式嘚收敛区间端点处敛散性区间,捉出一种确定给定函数幂级数展开式的收敛区间端点处敛散性区间的方法,此方法简单易行级数是研冗函数嘚有力工只,利用级敌掂开理论N以将复杂函数展开成幂级数或富氏级数。幂级数由于收敛区间端点处敛散性区域结构简单计算方便,可直接利用电于计算机处理,因而成为表示函数和近似计算的有力工具。但是在把函数展if成幂级数时必须确定展开式的收敛区间端点处敛散性区間,只有自变量X的取值处在收敛区间端点处敛散性区间内展开才有意义。确定收敛区间端点处敛散性区间的一般方法是先求出幂级数的收敛區间端点处敛散性半径,再根据比值判别法、比较判别法、拉贝判别法、高斯判别法、莱布尼兹判别法等确定端点的收敛区间端点处敛散性性,费时费事对于各种类型的常见函数,如何迅速、准确地确定其幂级数展开式的收敛区间端点处敛散性区间,是件很有意义的工作。本文就這个问题给出一种简便易行的确定方法常用函数的展开式及其收敛区间端点处敛散性区间:/‘x。n

对于幂级数的分析运算,同济大学数学教研室主编的《高等数学》下册(1982年第二版)在叙述了幂级数经逐项求导或逐项积分后所得到的幂积数与原幂积数有相同的收敛区间端点处敛散性半径R以后,在25页有这样一段: “此外,如果逐项求导或逐项积分后的幂积数在二二R(或、二一R)处收敛区间端点处敛散性,则在、=R(或二=一R)处,等式S‘(,)=艺na·,’一’(5)

oo对于幂级数∑a。x“,(一R,R),当x=±R时就是数项级数由于 1"1=0a。l R、/,la。lR“’的极限若存在,则一定为1.因此,达朗贝尔判别法及柯西判别法失去作用.丅面列举一些方法以判定幂级数在收敛区间端点处敛散性区间端点的敛散性. 1.利用幂级数的性质 例1,求塞』生警二Ix n的收敛区间端点处敛散性域。 ’ n=1解:收敛区间端点处敛散性半径R:j=二二—1__.._.. 1ira“/W n÷。。、,:{,当x:{时,由级数的性质得 a 0 主堕与螋n=l(抄=量【篙叫(吉)扯“+孤5 2‘(吉)啦】, k=1 =至击(∥～+主矗 ∑而鲁【昔) +∑壳 k=1 k=1由于级数至面岳(詈)。卜收敛区间端点处敛散性,级数量轰发散, k=1 k=1散,同理可得x:一1时级数也发散。 5 所以级数的收敛区间端点处敛散性域為(一吾一,÷). 2.利用级数收敛区间端点处敛散性的必要条件 例2,求

本文首先讨论了数集I上函数无穷列阵豹一致收敛区间端点处敛散性性质,即各行え素组成的函数级数和的极限等于各列元素组成的函数列极限之和;接着重点讨论了幕级数列阵的一致收敛区间端点处敛散性性质,得到的一個主要结果是,在某个共同收敛区间端点处敛散性区间内,各行元素组成的幂级数和的极限等于各列元素组成的函数列极限之和在此基础上,還把数学分析中幂级数在收敛区间端点处敛散性区间内可逐项求导与逐项求积的性质推广到幂级数列阵。

Hansen在文〔1〕中提出了求单实变量实函数f(二)=0实根的具有整体收敛区间端点处敛散性性的区间Newton法,由于这一方法有效地处理了初始区间含了’(劝的零点的情形,从而成为区间分析的偅要成果之一然而.,这一算法中关于f(m(X))=0情况的处理有可能使f(劝的部分实根被遗弃,对此,本文作了修正,以使迭代所得的区间始终包含f(二)=o的所有实根.嘫后本文给出了算法收敛区间端点处敛散性性的证明,并把这一算法的整体收敛区间端点处敛散性性推广到初始区间中含有f‘(幼的无穷多个零点的情形,从而使算法的应用更为广泛和方便.2基本算法 设f(幼是定义在闭区间X上的实值可微函数,且在X。常数,f‘(二)满足Lipsehitz条件. 设F’(X:为f尹(幼在X仩的具有包含单调性的区间扩张, 存在拼)0,对任意的X(X。,有 d(F‘(X),f‘(X))簇“平(X)其中f,(X)={f’(戈):x任X},不(X)为区间X宽度. 考虑求解方程 f(二)=o的任一子区间上不恒为满...  (本文共6頁)

文献[1]指出幂级数逐项求导或逐项积分后,其收敛区间端点处敛散性区间不变.这是幂级数的一个重要性质.但一般教材中并没有给出幂级数逐項求导或逐项积分后其收敛区间端点处敛散性域的变化情况,对此问题,已有学者进行了研究,例如文献[2]指出:命题1(1)设幂级数∑∞n=0anxn的收敛区间端点處敛散性域为I,幂级数∑∞n=01n+1anxn+1的收敛区间端点处敛散性域为I1,则有I?I1.(2)设幂级数∑∞n=0anxn的收敛区间端点处敛散性域为I,幂级数∑∞n=1nanxn-1的收敛区间端点处敛散性域为I1,则有I1?I.通过命题1可知:幂级数逐项积分后得到的幂级数的收敛区间端点处敛散性域可能不变也可能变大,由于幂级数逐项积分后收敛區间端点处敛散性区间不变,所以当收敛区间端点处敛散性区间的两个端点均是收敛区间端点处敛散性点后,则继续逐项积分不会改变收敛区間端点处敛散性域;幂级数逐项求导后得到的幂级数的收敛区间端点处敛散性域可能不变也可能变小,由于幂级数逐项求导后收敛区间端点处斂散性区间不变,所以当收敛区间端点处敛散性区间的两个端点均是发散点后,则继续逐项求导不会改变收敛区间端点处敛散性域.在教学中许哆关于幂级数的例子,往往经过几次逐项积分使收敛区间端点处敛散性区间的端点由发散点变为收敛区间端点处敛散性... 

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