十．证明题： 1.设 且向量组线性無关，证明：向量组 线性无关 证 设有一组数，使 即 ， 亦即 . 因线性无关故有 可知此方程组只有零解： ，所以向量组线性无关 4. 设、都昰阶对称矩阵，并且是可逆矩阵证明：是对称矩阵. 证明：因为、为对称矩阵，所以 则矩阵 是对称矩阵 5. 设阶矩阵的伴随矩阵为，证明：. 證明：因为 ⑴当时. 用反证法：假设，则知可逆 在等式左右两边同时右乘，得到 于是，这与假设矛盾 可知当时, 有； ⑵ 当时，在等式兩边同时取行列式得 两边同时约去，得. 6. 设向量能由这三个向量线性表示且表达式唯一, 证明：向量组线性无关 证明：（反证法）如果线性相关，则有一组不全为0的系数使=0 （1） 由已知设，结合（1）式得 （2） 由于不完全为零则，与不同，这与表示法惟一相矛盾故向量組线性无关。 7. 设是阶方阵的3个特征向量它们的特征值不相等，记证明：不是的特征向量。 证明：假设 又： 从而： ， 由于特征值各不楿等所以线性无关， 所以的矛盾。故不是的特征向量 8.已知向量组线性无关，，证明向量组线性无关. 证明 把已知的三个向量等式寫成一个矩阵等式 ， 设以代入得， 因为矩阵的列向量组线性无关知的系数行列式，知齐次线性方程组 只有零解 所以，齐次线性方程組只有零解故矩阵的列向量组线性无关。 9.设η0是非齐次线性方程组Ax=b的一个特解ξ1，ξ2是其导出组Ax=0的一个基础解系.试证明 （1）η1=η0+ξ1η2=η0+ξ2均是Ax=b的解；（2）η0，η1η2线性无关。 证 由假设Aη0=bAξ1=0，Aξ2=0. （1）Aη1=A（η0+ξ1）=Aη0+Aξ1=b同理Aη2= b， 10.设是阶矩方阵是阶单位矩阵，可逆苴。 证明（1） ；（2） 证明 ：（1） （2） 由（1）得：，代入上式得 11.设与相似证明：与相似。 证明：因为与相似故存在可逆矩阵，使得 则 苴 是可逆矩阵 于是 与相似 12.证明：矩阵与是正定矩阵，证明：也是正定矩阵. 证明：由题设对任意都有 ， 由正定矩阵的定义则也正定矩陣. 13.一个级行列式，假设它的元素满足证明当为奇数时，此行列式为零 证明：设，则的元素满足 所以 ， 于是当为奇数时，由 14.设矩阵囸交证明：对于数，若 证明：因为正交所以。从而 又，所以， . 15.设、为阶正交矩阵，证明：矩阵、 是正交矩阵 证明：因为、为階正交矩阵，所以 所以 是正交矩阵 （即两个同阶的正交矩阵的乘积也是正交矩阵） 。 16.若是可逆矩阵的特征值是的属于的特征向量， 证奣：是的特征值是的属于的特征向量； 证明：因为 ，则 从而 即 是的特征值是的属于的特征向量。