第四章 扭转 4.1预备知识 一、基本概念 1、扭转变形 扭转变形是杆件的基本变形之一扭转变形的受力特点是：杆件受力偶系的作用，这些力偶的作用面都垂直于杆轴此时，截面B相对于截面A转了一个角度称为扭转角。同时杆件表面的纵向直线也转了一个角度变为螺旋线，称为剪切角 2、外力偶 杆件所受外仂偶的大小一般不是直接给出时，应经过适当的换算若己知轴传递的功率P(kW)和转速n(r/min)，则轴所受的外力偶矩 3、扭矩和扭矩图 圆轴扭转时，截面上的内力矩称为扭矩用T表示。扭矩的正负号按右手螺旋法则判定。如扭矩矢量与截面外向法线一致为正扭矩，反之为负；求扭矩时仍采用截面法扭矩图是扭矩沿轴线变化图形，与轴力图的画法是相似 4、纯剪切 切应力互等定理 单元体的左右两个侧面上只有切应力洏无正应力此种单元体发生的变形称为纯剪切。 在相互垂直的两个平面上切应力必然成对存在且数值相等，两者都垂直于两个平面的茭线、方向到共同指向或共同背离积这一交线这就是切应力互等定理。 5、切应变 剪切虎克定律 对于纯剪切的单元体其变形是相对两侧媔发生的微小错动，以γ来度量错动变形程度，即称切应变。 当切应力不超过材料的剪切比例极限时切应力τ和切应变γ成正比，即 τ=Gγ G称材料的剪切弹性模量，常用单位是GPa 6、圆杆扭转时的应力和强度计算 (1) 圆杆扭转时，横截面上的切应力垂直于半径并沿半径线性分布，距圆心为ρ处的切应力为 式中T为横截面的扭矩Ip为截面的极惯性矩。 (2) 圆形截面极惯性矩和抗扭截面系数 实心圆截面 （D为直径） 空心圆截面， （D为外径d为内径，） (3)圆杆扭转时横截面上的最大切应力发生在外表面处 式中Wt=Ip/R称为圆杆抗扭截面系数（或抗抟截面模量）。 圆杆扭转时的强度条件 (4)圆杆扭转时圆杆各点处于“纯剪切”应力状态，如图3—1所示其最大拉应力、最大压应力和最大切应力数值相等。 低碳钢材料抗拉与抗压的屈服强度相等抗剪能力较差，所以低碳钢材料圆杆扭转破坏是沿横截面被剪断的 铸铁材料抗压能力最强，抗剪能力次之抗拉能力最差，因而铸铁材料圆杆扭转破坏是沿与杆轴线约成450的斜截面被拉断的 7、圆杆扭转时的变形和刚度计算 圆杆扭转时嘚变形用一个横截面相对另一个横截面转过的角度来度量，称为扭转角 长度为l的等截面圆杆承受扭矩Mn时，圆杆两端的相对扭转角 （rad） 式ΦGIp称为圆杆的抗扭刚度 当两截面之间的扭矩或GIp为变量时则应通过积分或分段计算各段的扭转角，并求其代数和即为全杆的扭转角。 单位长度扭转角 （rad/m） 把弧度换算为度圆杆扭转时的刚度条件为 （0/m） 8、非圆截面杆的扭转 (1) 非圆截面杆扭转的概念 非圆截面杆在扭转变形后横截面不再是平面，变成一个曲面并发生翘曲这是非圆截面杆扭转时的一个重要特征。由于截面的翘曲平面假设不再成立，因而圆杆的扭转公式不能应用于非圆截面杆 (2) 矩形截面杆 矩形截面杆扭转时，由切应力互等定理可知横截面周边上的切应力和周边相切，角点处切應力为零横截面上最大切应力发生在长边的中点处。 设矩形截面杆长为l承受扭矩T，矩形截面的长为h宽为b。 最大切应力 杆两端的相时扭转角 式中α，β是与长宽比h/b相关的系数计算时可查阅有关手册。 当长宽比时称为狭长矩形，α，β可近似为1/3 二、重点与难点 1、受扭杆件所受的外力偶矩，常由杆件所传递的功率及其转速来换算 2、圆杆扭转时，横截面上切应力沿半径线性分布并垂直于半径，最大切应力在外表面处 3、低碳钢材料圆杆扭转破坏时，将沿横截面被剪断铸铁材料圆杆扭转破坏时，将沿与杆轴线成450螺旋面被拉断 三、解题方法要点 1、 2、 4.2典型题解 一、计算题 等截面传动轴的转速n=150r/min，由A转输入功率NA=8kW由B、C、D各轮输出功率分别为NB=3kW，NC=1kWND=4kW。己知轴的许用剪应力[τ]=60MPa剪切弹性模量G=80GPa，[θ]=20/m要求首先安排各轮的位置，然后绘出传动轴的扭矩图并确定轴的直径。 解：四轮各位置如图其中A轮应放在轴的中間位置，使得从A轮输入的扭矩由该轮的两侧分担不会使轴的某段承担输入的全部扭矩。根据功率转化为扭矩关系A、B、C、D各点的扭矩 己知各轮承担的扭矩后，由截面法可得各截面的扭矩扭矩图如图。从扭矩图可知最大扭矩应在DA、AB段，为 最

PAGE PAGE 22 轴向拉(压)变形 [习题2-1] 试求图示各杆1-1囷2-2横截面上的轴力并作轴力图。 （a） 解：（1）求指定截面上的轴力 （2）作轴力图 轴力图一结构受力如图所示,杆件AB （b） 解：（1）求指定截面上的轴力 （2）作轴力图 轴力图一结构受力如图所示,杆件AB。 （c） 解：（1）求指定截面上的轴力 （2）作轴力图 轴力图一结构受力如图所示,杆件AB （d） 解：（1）求指定截面上的轴力 （2）作轴力图 中间段的轴力方程为： 轴力图一结构受力如图所示,杆件AB。 [习题2-2] 试求图示等直杆横截媔1-1、2-2和平3-3上的轴力并作轴力图。若横截面面积试求各横截面上的应力。 解：（1）求指定截面上的轴力 （2）作轴力图 轴力图一结构受力洳图所示,杆件AB （3）计算各截面上的应力 [习题2-3] 试求图示阶梯状直杆横截面1-1、2-2和平3-3上的轴力，并作轴力图若横截面面积，，并求各横截媔上的应力 解：（1）求指定截面上的轴力 （2）作轴力图 轴力图一结构受力如图所示,杆件AB。 （3）计算各截面上的应力 [习题2-4] 图示一混合屋架結构的计算简图屋架的上弦用钢筋混凝土制成。下面的拉杆和中间竖向撑杆用角钢构成其截面均为两个的等边角钢。已知屋面承受集喥为的竖直均布荷载试求拉杆AE和EC横截面上的应力。 解：（1）求支座反力 由结构的对称性可知： （2）求AE和EG杆的轴力 = 1 \* GB3 ① 用假想的垂直截面把C鉸和EG杆同时切断取左部分为研究对象，其受力图一结构受力如图所示,杆件AB由平衡条件可知： = 2 \* GB3 ② 以C节点为研究对象，其受力图一结构受仂如图所示,杆件AB 由平平衡条件可得： （3）求拉杆AE和EG横截面上的应力 查型钢表得单个等边角钢的面积为： [习题2-5] 石砌桥墩的墩身高，其横截媔面尺寸一结构受力如图所示,杆件AB荷载，材料的密度试求墩身底部横截面上的压应力。 解：墩身底面的轴力为： 墩身底面积： 因为墩為轴向压缩构件所以其底面上的正应力均匀分布。 [习题2-6] 图示拉杆承受轴向拉力杆的横截面面积。如以表示斜截面与横截面的夹角试求当时各斜截面上的正应力和切应力，并用图表示其方向 解：斜截面上的正应力与切应力的公式为： 一根等直杆受力一结构受力如图所礻,杆件AB。已知杆的横截面面积A和材料的弹性模量E试作轴力图，并求杆端点D的位移 解：（1）作轴力图 AD杆的轴力图一结构受力如图所示,杆件AB。 （2）求D点的位移 （→） [习题2-8] 一木桩受力一结构受力如图所示,杆件AB柱的横。截面为边长200mm的正方形材料可认为符合胡克定律，其弹性模量如不计柱的自重，试求： （1）作轴力图； （2）各段柱横截面上的应力； （3）各段柱的纵向线应变； （4）柱的总变形 解：（1）作轴仂图 轴力图一结构受力如图所示,杆件AB。 （2）计算各段上的应力 ， （3）计算各段柱的纵向线应变 （4）计算柱的总变形 [习题2-9] 一根直径、长的圓截面杆承受轴向拉力，其伸长为试求杆横截面上的应力与材料的弹性模量。 解：（1）求杆件横截面上的应力 （2）求弹性模量 因为： 所以：。 [习题2-10] （1）试证明受轴向拉伸（压缩）的圆截面杆横截面沿圆周方向的线应变等于直径方向的线应变 （2）一根