函数极限的概念是高等数学中最基本的概念之一,它是今后要研究的导数和定积分概念的基础在应用方面,如物理学中的瞬时速度,变力做功,化学中反应速度等都是用函数极限概念来定义的。因此,掌握好函数极限概念和运算是十分重要的作为一位数学教师也应符合当今数学应用的时代要求,应该训练学生的逻輯推理能力,但也应适可而止。否则培养出的学生只会推理,缺乏数学直觉,缺乏对数学知识的灵活变通,是不会有创造性的本文介绍求一类函數的极限的一种简便方法。定义1[1]等价无穷小性质:若(0)()=0,(0)()=0,且(0)()()=1则称函数()和()当(0)时为等价的,即()()定义2[2]泰勒局部公式:若(1)函数()在0点的某领域-0<内有定义;(2)在此领域內有一直到(-1)阶的导函数(),(),…(-1)();(3)阶导函数()(0)在0点存在,则()==0(-0)+(-0),其中=()(0)!,(=0,1,…)特别地:当0=0时,有:()==0()(0)!+(),(麦克劳林公式)定理1[3]:设,,且(0)存在,则:0()=0()定理2:设,,且0()()存在,则:0()=0()证明:因为,,且0()()存在,0()=0()0()=1所以+(),0()(-)=0,故0()=0()在求极限的过程中,往往可以把其中的无穷小量用等价的无穷小量或它的主要部分来代替[1],如:当0时1212,22,()33但应注意,不是乘或除的情况,不一定能这样做唎如:1-1+112=1,显然不能反1+1用1代替。等价无穷小性质和泰勒公式法是指当函数的极限满足一定的条件时,利用函数的等价无穷小性质和泰勒公式展开法來求极限下面举例加以说明。例1:求01-2--2(2)3解分析:当0时此函数极限为00型未定式,且满足(罗必塔)法则条件可以使用法则进行求此极限,但要多次使用(羅必塔)法则,计算步骤过于繁琐,稍不注意就会前攻尽弃。现在用等价无穷小性质的性质和泰勒公式的展开来求此极限,计算步骤将会简洁的多当0时,,则22,(2)3(2)3=83,(2)384(由定理2得)(其中为等价符号)由泰勒局部公式知:=的(1)公式为:=1++22!+33!+……!+()-2=1+(-2)+(-2)22!+(4)=1-2+42!+(4)因此,1-2--2=-42!+(4)故利用等价无穷小性质的性质和泰勒局部公式展开得:01-2--2(2)3=0-42!+(4)84=-18012!+(4)4=-116例2:求极限0--22(4)解:分析当0时此函数极限为00型未定式,且满足(罗必塔)法则条件。同样也可以使用法则进行求此极限,但计算量过大利用泰勒局部公式法,有:=1-22!+44!+(4)-22=1+(-22)+12!(-22)2+(4)于是--22=-1124+(4)(其中(4)表示为4高阶无穷小)当时0时(4)4所以--22(4)=-=-112例3.求极限01-()2(1+2)解:利用泰勒公式法,有=1-22!+(2)则1-=22!+(2)于是1-()=()22!+[()2]当0时,有2(1+2)2201-()2(1+2)()22!+[()2]22=0()242+0[()2]22=通过上面几例足可看出,用等价无穷小性质的性质和泰勒局部公式嘚展开法求某些函数的极限具有简洁明了、容易掌握的优点。应受到青睐!用等价无穷小性质的性质和泰勒局部公式法求一类函数的极限@周保平$塔里木农垦大学文理学院!新疆阿拉尔]陈传璋,金福临,朱学炎,欧阳光中编.数学分析(第二版).北京:高等教育出版