五、特征值、特征向量问题

一个具有非负分量且各个分量之和为1 的向量称为概率向量；随机矩阵是各

列向量均为概率向量的方阵如果随机矩阵的各个元素都是正数，则稱为正则随

机矩阵随机矩阵在马尔可夫链（Markov chain）理论中具有重要应用。

1. 设 为如下的正则随机矩阵： P

试计算P的 k次方 k = 1, 2, 3, 4, 5（计算结果保留4 位小数），观察当 k增加时p 的列将有什么结果？

2. 生成一些更高阶（如10阶、20阶矩阵）的正则随机矩阵检验你所得

到的结果是否正确。用你掌握的知识证明所得到的结果

3. 如果概率向量q 满足Pq =q 则称为q方阵P 的稳态向量。试证明任何随

机矩阵至少存在一个稳态向量进一步，若稳态向量q唯┅且x0为任意一个初

充分大时，xk中各个分量无限接近q 中对应的分量或表示为k→∞时||xk-q||的极限为0