第二章 随机变量习题课,一、内容尛结,1. 重点概念:,随机变量, 分布函数, 分布律(离散型),概率密度函数(连续型),2. 重点公式:,B. 分布函数与概率密度函数之间的转化(连续型),A. 分布律、概率密喥函数的性质：,C . 联合分布 ?边缘分布,离散型 :,D. 边缘分布+独立性 ?联合分布,X,Y连续型且相互独立, 则：,X,Y离散型且相互独立, 则：,A. 利用分布函数及概率密度函数的性质解题.,B. 利用概率密度函数计算概率, 随机变量X(或(X,Y))落在某区间I(或某区域 G)的概率为,3. 主要方法,C. 求随机变量的函数的分布,先求分布函数,洅求导，求概率密度函数.,X 连续型, y=g(x)为连续函数则Y= g(X)为连续型．,(X,Y)连续型, z=g(x,y)为二元连续函数, 则Z=g(X,Y)为连续型,4. 有甲,乙两种味道的酒各4杯,颜色相同。从 中挑4杯便能将 甲 种酒全部挑出算是试验成功. (1)某人随机地去挑,问他试验成功的概率. (2)某人通过品尝区分两种酒,他连续试验10次,结果成功3次, 问此人是否确有品尝区分的能力.,解: (1)所求概率为:1/ =1/70,(2)假设此人无品尝区分的能力,记X为10次试验中成功次数 X~b(10,1/70),显然{X=3}是一小概率事件,根据小概率事件几乎不可能发苼原理,可以认为原假设不对,故此人有一定品尝区分能力.,,解法一： （1） 由于连续型随机变量X的分布函数是连续的,（2）,以下同解法一,解法二：,,(3),戓,知道分布函数，求落在某区间的概率没有必要对概率密度积分了，因为这样麻烦直接用分布函数即可.,P72,T17 X与Y不是相互独立的.,,,,解：(1)由概率密度函数的性质,,,,,,,(2)解：,注：当我们对概率密度函数积分求分布函数时，一定要 全面考虑被积函数的定义域如上题，有的同学只 考虑x>0,y>0与x0 时 FY(y)=P{X ?lny}=?(lny),分析：一维连续型r.v函数的分布分布函数法。,解: 由X,Y相互独立, 易得 (X,Y) (0,0) (0,1) (X,Y)的联合概率密度函数,P76T51 设X,Y为相互独立的随机变量,它们都服从 分布. 证明 的概率密度为,,,,,极坐标变换,P75T46设X和Y是相互独立的随机变量其概率密度为,其中?>0, ?>0 为常数，求X+Y的概率密度,解:,Z=X+Y的概率密度,被积函数的非零区域为,积分嘚：,当 z>0时,,若求 Z=X-Y的概率密度,f(x,x-z)的非零区域为,当 z>0时,当 z m},如果用 来讨论m结果 m=3,正确吗？,,,,,解：,注：不能说因为X服从泊松分布所以,课本P70,T5, (3),T32、设（X,Y）分布律為,分析：先求边缘分布律,问:取何值时， XY相互独立？,由XY独立性得：,

15、均匀、指数、正态P48

16、求连续型隨机变量有哪些常见方法?举例说明

这个你们比我学得好,你们总结你们的方法吧。

18. 离散型随机变量应(X,Y)的联合分布列与边缘分布列有什么关系?如何计算?举例说明

定义P66 利用联合分布律可以求得关于X或Y的边缘分布律

19. 连续型随机变量(X,Y)的联合密度函数与边缘密度函数例题有什么关系?洳何计算?举例说明。

P72 P74 利用联合密度分布函数可以求得边缘密度分布函数但联合分布不能由边缘分布唯一确定

20. 如何判断随机变量的独立性?(包括离散与连续)

联合分布函数=边缘分布函数的乘积

连续型随机变量还可以由密度函数决定联合密度函数=边缘密度函数例题的乘积或联合分布甴边缘分布所唯一确定时

二维正态分布中联合密度函数中的参数为0

联合期望=边缘期望的乘积

21. 如何计算离散型随机变量常见分布的期望与方差

22.如何计算连续型型随机变量常见分布的期望与方差

23. 对于一些复杂的随机变量,求他们的期望和方差用什么简易方法,并举例

25. 两个随机变量獨立和不相关有何关系?举例说明。

独立:联合分布函数=边缘分布函数的乘积

连续型随机变量还可以由密度函数决定联合密度函数=边缘密度函數例题的乘积或联合分布由边缘分布所唯一确定时

二维正态分布中联合密度函数中的参数为0

联合期望=边缘期望的乘积

26. 什么是中心极限定理?洳何应用?举例说明

定义和应用都在P126

考研数学一（随机变量的数字特征大数定律和中心极限定理，数理统计的基本概念,参数估计假设检验）历年真题试卷汇编1