向量，最初被应用于物理学很多

如力、速度、位移以及电场强

等都是向量。大约公元湔350年前

就知道了力可以表示成向量，两个力的组合作用可用著名的

来得到“向量”一词来自力学、解析几何中的有向

。最先使用有向線段表示向量的是英国大科学家

从数学发展史来看历史上很长一段时间，

的向量结构并未被数学家们所认识直到19世纪末20世纪初，人们財把空间的性质与向量运算联系起来使向量成为具有一套优良运算通性的数学体系。

向量能够进入数学并得到发展首先应从

的几何表礻谈起。18世纪末期

测量学家威塞尔首次利用x坐标y坐标是什么意思平面上的点来表示复数

i（a,b为有理数，且不同时等于0）并利用具有几何意义的复数运算来定义向量的运算。把x坐标y坐标是什么意思平面上的点用向量表示出来并把向量的几何表示用于研究几何问题与三角问題。人们逐步接受了复数也学会了利用复数来表示和研究平面中的向量，向量就这样平静地进入了数学中

的利用是受限制的，因为它僅能用于表示平面若有不在同一平面上的力作用于同一物体，则需要寻找所谓

“复数”以及相应的运算体系19世纪中期，英国数学家

（包括数量部分和向量部分）以代表空间的向量。他的工作为向量代数和

的建立奠定了基础．随后

的发现者，英国的数学物理学家麦克斯韦把四元数的数量部分和向量部分分开处理从而创造了大量的向量分析。

三维向量分析的开创以及同四元数的正式分裂，是英国的居伯斯和海维塞德于19世纪80年代各自独立完成的他们提出，一个向量不过是四元数的向量部分但不独立于任何四元数。他们引进了两种類型的

被引进到分析和解析几何中来并逐步完善，成为了一套优良的

一般印刷用黑体的小写英文字母（

等）来表示手写用在a、b、c等字毋上加一箭头（

，也可以用大写字母AB、CD上加一箭头（

的长度表示向量的大小向量的大小，也就是向量的长度长度为0的向量叫做

，记作長度等于1个单位的向量叫做

箭头所指的方向表示向量的方向。

中分别取与x轴、y轴方向相同的两个单位向量

为平面直角x坐标y坐标是什么意思系内的任意向量，以x坐标y坐标是什么意思

中分别取与x轴、y轴，z轴方向相同的3个单位向量

内的任意向量以x坐标y坐标是什么意思原点O為起点作向量

。由空间基本定理知有且只有一组实数

，就是点P的x坐标y坐标是什么意思向量

，可以通过类推得到此略。

为终点则线段就具有了从起点

向量的大小，也就是向量的长度(或称模)向量

1．向量的模是非负实数，向量的模是可以比较大小的向量

对于向量来说“大于”和“小于”的概念是没有意义的。例如

长度为一个单位（即模为1）的向量叫做

同向，且长度为单位1的向量叫做

方向上的单位向量，记作

如果向量AB与向量CD的模相等且方向相反那么我们把向量AB叫做向量CD的

。零姠量的始点和终点重合所以零向量没有确定的方向，或说零向量的方向是任意的

长度相等且方向相同的向量叫做

当用有向线段表示向量时，起点可以任意选取任意两个相等的

来表示，并且与有向线段的起点无关．同向且等长的有向线段都表示同一向量

始点不固定的姠量，它可以任意的平行移动而且移动后

的向量仍然代表原来的向量。

对于x坐標y坐标是什么意思平面内的任意一点P我们把向量OP叫做点P的

直线l上的向量a以及与向量a共线的向量叫做直线l上的

与a长度相等、方向相反的向量叫做

的相反向量仍是零向量。

方向相同或相反的非零向量叫做平行（或共线）向量．向量a、b平行（共线）记作

。零向量长度为零是起点与终点重合的向量，其方向不确定我们规定：零向量与任一向量平行。平行于同一直线的一组向量是

直线l⊥α，取直线l的方向向量a，则向量a叫做

向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则

时对于任意实数λ，都有λ

的几何意义就是将表示向量

的有向线段伸长或压缩

定义：已知两个非零向量

）是一个数量（没有方向），记作

向量积即两个不共线非零向量所在平面的一组法向量。

的混合积的绝對值等于以

为棱的平行六面体的体积V并且当

构成左手系时，混合积是

构成左手系时ε=-1）

2．上性质的推论：三向量

再根据二重向量积的性质可知

证明：令公式中a=c、b=d则：

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