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衡阳八Φ2016年下期高三实验班第一次月考文数/理数参考答案

(Ⅰ)当m=3时A={x²﹣3x﹣10≤0}=[﹣2，5]B=(2，7)；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

则A∩B=(25]．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(Ⅱ)∵B?A，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

当B≠?时；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

解得，﹣1≤m≤2；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

当B=?时由m﹣1≥2m+1得，m≤﹣2；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

故实数m的取值范围为{m|m≤﹣2或﹣1≤m≤2}．　　　

(1)命题：“?x∈{x|﹣1≤x≤1}都有不等式x²﹣x﹣m＜0成立”是真命题，

得x²﹣x﹣m＜0在﹣1≤x≤1恒成立

若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A?B

若x∈A是x∈B的充分不必要条件，则A?B成立．

x∈A是x∈B的充分不必要条件则A?B成竝，

设得g(t)=t²﹣2λt+3()．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

当时，()．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

所以．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

所以，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

故函数f(x)的值域为[，]．　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2)由(1)g(t)=t²﹣2λt+3=(t﹣λ)²+3﹣λ²()　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

①当时，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

令得，不符合舍去；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

②当时，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

令﹣λ²+3=1得，或不符合舍去；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

③当λ＞2时，g(t)_min=g(2)=﹣4λ+7　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

令﹣4λ+7=1，得不符合舍去．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

綜上所述，实数λ的值为．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

①当a＞1时由1+x＞1﹣x＞0，得0＜x＜1故此时x的范围是(0，1)．

②当0＜a＜1时由0＜1+x＜1﹣x，得﹣1＜x＜0故此时x的范围是(﹣1，0)．

所以函数g(x)是不等函数．

所以0≤﹣1≤10≤﹣1≤1，x₁与x₂不同时等于1

综合上述，a∈{1}．

(1)∵为增函数　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

由于x≥2a时，f(x)的对称轴为x=a﹣1；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

x＜2a时f(x)的对称轴为x=a+1，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴解得﹣1≤a≤1；　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(2)方程f(x)﹣tf(2a)=0的解即为方程f(x)=tf(2a)的解．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

①当﹣1≤a≤1时f(x)在R上是增函数，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

关于x的方程f(x)=tf(2a)不可能有3个不相等的实数根．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

②当a＞1时2a＞a+1＞a﹣1，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴f(x)在(﹣∞a+1)上单调递增，在(a+12a)上单調递减，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

在(2a+∞)上单调递增，所以当f(2a)＜tf(2a)＜f(a+1)时　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

关于x的方程f(x)=tf(2a)有3个不相等的实数根，即4a＜t4a＜(a+1)²．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∵a＞1∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

设，因为存在a∈[﹣22]，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

使得关于x的方程f(x)=tf(2a)有3个不相等的实数根　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

∴1＜t＜h(a)_max．又h(a)在(1，2]递增所以，∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

③当a＜﹣1时2a＜a﹣1＜a+1，所以f(x)在(﹣∞2a)上单调递增，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

在(2aa﹣1)上单调递减，在(a﹣1+∞)上单调递增，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

所以当f(a﹣1)＜tf(2a)＜f(2a)时　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

关于x嘚方程f(x)=tf(2a)有3个不相等的实数根，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

即﹣(a﹣1)²＜t4a＜4a．∵a＜﹣1∴．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

设，因为存在a∈[﹣22]，　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

使得关于x的方程f(x)=tf(2a)有3个不相等的实数根所以1＜t＜g(a)_max．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

又可证在[﹣2，﹣1)上单调递减　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

所以，所以．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

综上．　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　

(Ⅰ)由题设，当x∈(12]时，

∵函数f(x)为二阶伸缩函数，

∵x∈(13]时，．

∴函数在(1+∞)上无零点．

且当x∈(1，k]时f(x)的取值范围是[0，1)．

当x∈(01]时，即0＜x≤1

当x＞1时，f′(x)＞0当0＜x＜时，f′(x)＞0；

当＜x＜1时f′(x)＜0；

故f(x)的单调减区间是(，1)单调增区间是(1，+∞)和(0)；

当0＜a＜1时，f(x)在(1)上单调递减，

所以当x∈(1，)时f(x)≤f(1)=﹣1，不合题意

当a≤0时，f′(x)＜0即f(x)在[1，+∞)上单调递减

综上所述，实数a的取值范围是[1+∞)．

当﹣1＜x＜0时，h′(x)＞0；当x＞0时h′(x)＜0．

因此，h(x)在(﹣10)上单调递增，在(0+∞)上单调递减．

(2)证明：当0＜b＜a时，﹣1＜＜0

所以k＜+2对任意x＞1恒成立．

所以函数h(x)在(1，+∞)上单调递增．

所以方程h(x)=0在(1+∞)上存在唯一实根x₀，且满足x₀∈(34)．

所以函数g(x)=+2在(1，x₀)上单调递减，在(x₀+∞)上单调递增．

故整数k的最大值是5．

所以a＞0，且c＜0

因此f(x)的图象与x軸有2个交点．

(2)由(1)可知方程f(x)=0有两个不等的实数根，不妨设为x₁和x₂

因为a＞b＞c，a＞0且c＜0，

因此m∈(﹣21)，

因为函数y=f(x)在[1+∞)上单调递增；

由于x=1时①式显然恒成立（不等式左右都为0），与m取值无关

我们猜想g(x)在x>1時，单调递减从而m的取值范围是[1/2,+∞)

a属于其他情况时，（*）有两不同实根极值点分别为 X=(2a±√(4a?-8))/4