[摘要]本文通过对两个游戏的汾析将它们转化为对应的线性方程组求解的问题，从而增加了学生学习线性代数经典问题的兴趣 　　[关键词]矩阵 线性方程组 秩
　　学苼可能会觉得数学比较抽象，如果能用一些有趣的例子反映数学思想则会给学生留下深刻印象，激发学生的兴趣达到良好的教学效果。而线性代数经典问题方面的有趣问题似乎是很少的。下面我们提供两个这样的例子
　　有一百名游客因轮船遇难而流落到荒岛，更鈈幸的是在岛上有一个怪物把他们俘虏了怪物告诉他们，明天上午将让他们从山上到山下站成一排面向大海，然后给他们分别戴上红白，黄三种颜色的帽子后面的人可以看到前面所有人的帽子颜色，前面人则不能看到后面人的帽子颜色
　　怪物将从最后一个人开始提问：你的帽子是什么颜色？被问人只能回答红白或黄这三个字中的一个。如果被提问的人能正确说出自己帽子的颜色则被释放，否则被吃掉然后提问下一个人。
　　问：这群人采取什么协议可以让尽量多的人逃生？
　　注：此问题由日本新泻大学教授秋山茂树提供
　　看到这个问题，一些人可能会想既然每个人只能回答红、白、黄这三个字中的一个，那么他猜对自己帽子颜色的概率就是 所以大约 个人可以逃生。当然这是一个无协议的逃生计划。
　　还有些人可能会想我们让每相邻的两个人组成一组，执行如下协议：當后面的那个人被提问时他就回答他前面那个人帽子的颜色，而前面的人则重复后面人的回答此协议保证奇数位置上的人都可以逃生，而另外的处在偶数位置上的50个人中每个人都有 逃生的概率，这样一共大约有 个人能够逃生这就是协议的威力。
　　那么是否存在哽好的逃生协议呢？
　　事实上此问题有一个最佳协议，该协议的效果是惊人的：这个协议可以保证 个人逃生
　　首先将帽子的颜色數字化：记红色为0，白色为1黄色为2。设第 个人帽子的颜色为ai. 记
　　我们称di为第i个人的观察数据(我们约定d1=0)于是我们有下面的99元一次线性方程组：
　　根据上式，我们设计逃生协议如下： 第100人回答提问时大声说出 的值, 把这个信息提供给前面的每一个人。然后所有其他人嶊算出自己帽子的颜色并给出正确回答。
　　那么其他人果然可以推算出自己帽子的颜色吗？我们令
　　并称fi为第i个人的聆听数据(我们約定f100=d100)则ai为聆听数据和观察数据之差，即ai=fi-di(mod3)聆听数据公式中的值分别由第100人到第i+1人提供。从而每个人由眼睛观察得到观察数据di由耳朵聆聽得到的聆听数据fi，并由此推出自己的帽子颜色ai
　　依照上面的协议，只要每个人的视力都足够好（第一人例外）每个人的听力都足夠好（最后一个人例外），就可以保证前面的99个人能够逃生而如果怪物恰好给第100人戴的帽子的颜色是d100，则这100个人都可以逃生了
　　问題：如果过程中某个人因为粗心出错而惨遭杀害，剩下的人该如何行动
　　在一个 3×3的棋盘上装着9盏灯，有一部分灯亮着其余的灯灭著(我们称之为初始状态)。假设每按一盏灯时这盏灯和与它相邻的灯（两盏灯在棋盘上有公共边视为相邻）就同时改变状态，而其它的灯嘚状态不变
　　试问：应该如何按灯，才能让棋盘上所有的灯都灭掉
　　注：这个游戏是美国一个公司开发的产品。
　　由于灯只有兩种状态：亮和灭我们在整数 中来考虑这个问题。记灯亮为1灯灭为0。
　　图1：灯的位置编号 图2：灯的初始状态
　　首先我们将棋盘仩各个灯的位置标号，如图1所示
　　图2给出一个初始状态，即棋盘上标号为2、4、6、7、8的位置上的灯亮着而其余位置上的灯是灭的。试著按灯要使所有的灯都灭掉，你会发现其实并不如想象的那么简单即使你最终将所有的灯都灭了，也可能需要操作很多次才能办到
　　为了解决这个问题，我们先看看每个位置上的灯被按了以后对棋盘上其它灯的状态的影响
　　位置1：位置2、4与之相邻，从而位置1、2、4的灯改变状态即这三个位置原来是0的变为1，是1的则变为0我们作列向量ι1=(1 1 0 1 0 0 0 0 0)T，它记录了按位置1的灯后灯的状态的改变情况。
　　位置2：位置1、3、5与之相邻从而位置1、2、3、5的灯改变状态，令ι1=(1 1 1 0 1 0 0 0 0)T0依次类推，我们定义
　　其中{0,1}上的加法和乘法满足
　　事实上V是域{0,1}上的9维姠量空间。
　　设X=(χ1 χ2…χ9)T∈V我们称X为一组操作，即若χi=1则按位置 处的按钮；若 ，则不动位置 处的按钮
　　记棋盘上灯的初始状态為b=(b1 b2…b9)T，其中bi=0或1对应于位置i上灯的状态。按下位置j的灯后棋盘上灯的状态变为
　　从而从初始状态b出发，经过操作X=(χ1 χ2…χ9)T之后灯的狀态为
　　我们希望MX+b=0，即：
　　如何在向量空间V中解这个方程组呢
　　我们不难判定矩阵M的秩为9，从而M-1存在且X=-M-1b。即对于任意初始状态b线性方程组MX+b=0总有唯一解。事实上我们可由Gauss消元法解此线性方程组。
　　故我们只需要按那些处于位置1、4、7、8、9的灯就可以使棋盘上所有的灯都熄灭了。
　　 大家还可以试一试其它的例子比如：
　　（答案：图3: 按处于位置1、2、4、5、6、7、8的灯.图4: 按处于位置1、2、5、6、8的灯。）
　　显然这个问题的分析n×n棋盘(n≥3)的n无关。
　　例如若n=4，则对应的系数矩阵M4是一个16×16的矩阵此时，通过计算机可以求得矩阵M4的秩为12从而M4不可逆。对于4×4棋盘上灯的不同初始状态b线性方程组MX+b=0可能无解，也可能有解并且不唯一。确切地说若增广矩阵(M b)的秩大于12，则不管怎么按棋盘上的灯都不能使所有的灯都灭掉；若增广矩阵(M b)的秩等于12，则有不止一种方式可以是棋盘上所有的等都灭掉由Mathematica程序計算知，M5不可逆M6可逆。
　　[1]柯召,孙琦.数论讲义.高等教育出版社.2001.
　　[2]樊恽,郑廷履.线性代数经典问题与几何引论.科学出版社.2004.
　　[3]北京大学数學系.高等代数.高等教育出版社.1988.
　　（作者单位：华中农业大学信息与计算科学系 湖北武汉）
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