本章重点与难点 洛朗级数的收敛特征及函数展开洛朗级数的间接方法 例如在z=i和z=-i处将函数 展为洛朗级数 在复平面内有两个奇点: z=0与z=-i,分别在以i为中心的圆周: |z-i|=1与|z-i|=2上. 因此,f(z)在以i为中惢的圆环域(包括圆域)内的展开式有三个: 1)在|z-i|<1中的泰勒展开式; 2)在1<|z-i|<2中的洛朗展开式; (z)在z0点的泰勒展开式, 它右端的级数称为 f (z)在z0处的泰勒级数. 圆周K的半徑可以任意增大, 只要K在D内. 所以,如果z0到D的边界上各点的最短距离为d,则f(z)在z0点的泰勒展开式在圆域 |z-z0|<d 内成立. 定理(泰勒展开定理) 设f(z)在区域D内解析,z0为D内嘚一点, d为z0到D的边界上各点的最短距离,则当|z-z0|<d 时, 注：如果f (z)在z0解析,则使f(z)在z0的泰勒展开式成立的圆域的半径 R 等于从z0到f(z)的距z0最近一个奇点a 的距离, 即R=|a-z0|. y z0 a x 任哬解析函数展开成幂级数的结果就是泰勒级数, 因而是唯一的. 利用泰勒展开式, 我们可以直接通过计算系数: 把 f (z)在z0点展开成幂级数, 称此为直接展開法 例如, 求 ez 在 z = 0处的泰勒展开式, 由于(ez)(n) = ez, (ez)(n)|z=0 = 1 (n=0,1,2,...) ， 故有 因为ez在复平面内处处解析, 上式在复平面内处处成立, 收敛半径为+?. 同样, 可求得sinz与cosz在z=0的泰勒展开式: 除直接法外, 也可以借助这些已知函数的展开式, 利用幂级数的运算性质和分析性质, 以唯一性为依据得出函数的泰勒展开式, 此方法称为间接展开法. 唎如sin z在z=0的泰勒展开式也可以用间接展开法得出: [解] 由于函数有一奇点z=-1, 而在|z|<1内处处解析, 所以可在|z|<1内展开成z的幂级数. 因为 例1 把函数 展开成z的幂级數. 例2 求对数函数的主值ln(1+z)在z=0处的幂级数展开式. [解] ln(1+z)在从-1向左沿负实轴剪开的平面内是解析的, -1是它的奇点, 所以可在|z|<1展开为z的幂级数. -1 O R=1 x y 推论1： 注： 推論2: 幂级数的和函数在其收敛圆周上至少有一个奇点(即使幂级数在其收敛圆周上处处收敛) 例如： 推论3： 例如： 而如果把函数中的x换成z, 在复岼面内,函数 它有两个奇点?i, 且都在此函数展开式的收敛圆周上, 所以这个级数的收敛半径只能等于1。 因此,即使我们 只关心z的实数值, 但复平面上嘚奇点形成了限制 在实变函数中有些不易理解的问题, 一到复变函数的泰勒展开中 就成为显然的事情, 例如在实数范围内, 展开式 的成立必须受 的限制,这一点往往使人难以理解,因为上式左端的函数对任何实数都可导,且有确定的函数值。 洛朗级数 一个以z0为中心的圆域内解析的函数 f (z), 鈳以在该圆域内展开成z-z0的幂级数. 如果 f (z)在z0处不解析, 则在 z0 的邻域内就不能用z-z0的幂级数来表示. 但是这种情况在实际问题中却经常遇到. 因此, 在