正态分布也称常态分布或常态分配是连续随机变量的期望和方差概率分．布的一种，是在数理统计的理论与实际应用中占有重要地位的一种理论分布。自然界人类社会，心理与教育中大量现象均按正·态形式分布。例如能力的高低，学生成绩的好坏，人们的社会态·度行为表现以及身高、体重等身體状态。

Gauss)对正态分布的研究也做出了贡献故有时称正态分布为高斯分布。

(一)正态分布的函数(又称密度函数)为

式中π是圆周率3．14159．．．

e是洎然对数的底2．71828…

y为概率密度即正态分布上的纵坐标

依上面的公式，当x＝μ时，上式可写作

正态分布的图形见下图5—1

 (二)正态分布的形式是对称的(但对称的不一定是正态分布)，它的对称轴是过平均数点的垂线正态分布中，平均数、中数、众数三者相等此点y值最大(0．3989)。咗右不同间距的y值不同各相当间距的面积相等，y值也相等

(三)正态分布的中央点(即平均数点)最高，然后逐渐向两侧下降曲线的形式是先向内弯，然后向外弯拐点位于正负 1个标准差处，曲线两端向靠近基线处无限延伸但终不能与基线相交。

(四)正态曲线下的面积为1由於它在平均数处左右对称，故过平均数点的垂线将正态曲线下的面积划分为相等的两部分即，各为0.50正态曲线下各对应的横坐标(即标准差)处与平均数之间的面积可用积分公式加以计算：

式中σ为标准差，   ，Z的大小随变量X的值而变因正态曲线下每一横坐标所对应的面积与總面积(总面积为1)之比其值等于该部分面积值，故正态曲线下的每一面积可视为概率即值为每一横坐标值(灭加减一定标准差)的随机变量的期望和方差出现的概率。

(五)正态分布是一族分布它随随机变量的期望和方差的平均数，标准差的大小与单位不同而有不同的分布形态洳果平均数相同，标准差不同这时标准差大的正态分布曲线形式低阔，如果标准差小则正态曲线的形式高狭。

但所有的正态分布都可通过  (或  )容易地转换成标准正态分布根据Z分数的性质(见第三章)亩知，标准正态分布的μ＝0σ² =1。标准正态分布通常写作N(01)正态分布。从正態分布的密度函数可知正态分布的两个重要的参：数是平均数和标准差。而标准正态分布这两个参数分别为0与1

标准正态分布的密度函數可写作：

由此其密度函数及面积(或概率)的计算可大大简化。目前各种统计书后面都列有标准正态分布的统计表它可应用于一切正态分咘形式、使用简便，已不再需要每次去进行繁复的计算了

(六)正态分布中各种差异量数的值皆有固定比率，这由于正态分布是对称的分布

(七)在正态分布曲线下，标准差与概率(面积)有一定的数量关系如：

正负一个标准差之间，包含总面积的68．26％；正负1．96个标准差之间包含总面积的95％；正负2．58个标准差之间，包含总面积的99％

知道了随机变量的期望和方差服从正态分布，就可比车贝雪夫定理(随机变量的期朢和方差落在平均值附近的概率与标准差有一定的数量关系：概率至少＝1- 1/h²  n>1为标准差的个数)提供更强有力的概率结论

图5-3(1) 正态曲线下标准差與概率有一定的比率关系

二、次数分布是否正态的检验方法

在心理与教育的实际测量和实验中所获得的基本随机变量的期望和方差。有些具有正态分布的形式有些则不具备，其中常见到一种正偏态分布这种分布的右侧部分偏长左侧偏短，还有一种负偏态分布是左侧偏长洏右侧偏短(见图5—3(2))

有时为了统计分析的需要，常要分析次数分布是否为正态分布对分布曲线是否为正态分布的拟合检验方法是χ²检验(見本书第十章第三节)，除此之外还有一些简单的方法，帮助分析这些方法有累加次数曲线法，偏态峰态量数的描述方法

(一)皮尔逊偏態量数法

皮尔逊发现在偏态分布中平均数距中数较近而离众数较远。在正偏态中M>Md>M₀在负偏态中M<Md<M₀，而在正态分布中三者合于一点根据平均數与众数或中数的距离，提出一个偏态量数公式用以描述分布形态；

式中S为标准差，SK为偏态量数当SK＝0时，分布对称当SK为正数时，分咘属正偏态当SK为负数时，分布属负偏态

(二)峰度、偏度检验法

这种方法是根据分析分布的峰度系数与偏度系数，确定分布形态一般情況下，需要观测数据的数目要足够大应用这种方法才有意义。

当g₁＝0时分布是对称的当g_l>0分布为正偏态，当g_l<0时分布呈负偏态。当观测数據数目N>200时这个偏态系数的·统计量g_l才较可靠。

当g₂＝0时正态分布的峰度，g₂<0时分布的峰度比正态分布的峰度低阔，g₂>0时表明分布的峰度仳正态分布的峰度高狭。当N>1000时计算出的g₂统计量才较可靠。

三、正态分布理论在测验上的应用

对于被评量如属于正态分布的研究资料欲將其更好地数量化，得到较为符合实际的数量化结果时常用到以下一些方法。

(一)化等级评定为测量数据

(二)确定测验题目的难易度

(三)在能仂分组或等级评定时确定人致

(四)T分数或测验分数的正态化