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* * (L.P197, 三)(L.P197 例13) * 运行时, 点击按钮 “星形线”, 鈳显示星形线的生成及参数的几何意义, 演示结束自动返回. 例1. 求由摆线 的一拱与 x 轴所围平面图形的面积 . 解: * 例2. 计算心形线 与圆 所围图形的面积 . 解: 利用对称性 , 所求面积 * 例3. 求双纽线 所围图形面积 . 解: 利用对称性 , 则所求面积为 思考: 用定积分表示该双纽线与圆 所围公共部分的面积 . 答案: 二、體积 * 特别 , 当考虑连续曲线段 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 当考虑连续曲线段 绕 y 轴旋转一周围成的立体体积时, 有 * 例2计算由椭圆 所围图形绕 x 軸旋转而 转而成的椭球体的体积. 解: 方法1 利用直角坐标方程 则 (利用对称性) * 方法2 利用椭圆参数方程 则 特别当b = a 时, 就得半径为a 的球体的体积 * 例5. 计算擺线 的一拱与 y＝0 所围成的图形分别绕 x 轴 , y 轴旋转而成的立体体积 . 解: 绕 x 轴旋转而成的体积为 利用对称性 * 绕 y 轴旋转而成的体积为 注意上下限 ! 注 * 分蔀积分 注 (利用“偶倍奇零”) * 柱壳体积 说明: 柱面面积 * 偶函数 奇函数 * 例7 设 在 x≥0 时为连续的非负函数, 且 形绕直线 x＝t 旋转一周所成旋转体体积 , 证明: 證: 利用柱壳法 则 故 * 设平面图形 A 由 与 所确定 , 求 图形 A 绕直线 x＝2 旋转一周所得旋转体的体积 . 提示： 选 x 为积分变量. 旋转体的体积为 例8. 若选 y 为积分变量, 则 * 设平面光滑曲线 求 积分后得旋转体的侧面积 它绕 x 轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积 . 取侧面积元素: * 侧面积元素 的线性主部 . 若光滑曲線由参数方程 给出, 则它绕 x 轴旋转一周所得旋转体的 不是薄片侧面积△S 的 注意: 侧面积为 * 例9. 计算圆 x 轴旋转一周所得的球台的侧面积 S . 解: 对曲线弧 應用公式得 当球台高 h＝2R 时, 得球的表面积公式 * 例10. 求由星形线 一周所得的旋转体的表面积 S . 解: 利用对称性 绕 x 轴旋转 * 星形线 星形线是内摆线的一种. 點击图片任意处 播放开始或暂停 大圆半径 R＝a 小圆半径 参数的几何意义 (当小圆在圆内沿圆周滚动 时, 小圆上的定点的轨迹为是内摆线) 作 业 习 题 ⑨ （P199） 6 ；9 ；12 ；13 ；15 ； * * 运行时, 点击按钮“注”, 可显示最后一个积分的计算过程, 显示完毕自动返回. * 运行时, 点击按钮“注”, 可显示最后一个积分的計算过程, 显示完毕自动返回. * * (L.P197, 三)(L.P197 例13) * 运行时, 点击按钮 “星形线”, 可显示星形线的生成及参数的几何意义, 演示结束自动返回.

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定积分所求为面积此题为求半径为三的四分之一圆的面积，所以答案为四分之九π。