目前为止我们通过逼近和的极限，得到了一个相当复杂的连续函数定积分的定义

之前我们已经用这个定义计算了一些简单的积分，例如

这些计算有两个目的：通过提供一些逼近和的直观经验来强调积分的基本性质并且这种方法得到的极限值可以作为计算其他积分的实用工具。那么我们可以利用极限和的方方求解下面更复杂的积分吗？

这显然是不可能的所以我们该何去何从呢？显然我们需要的是一种更高效、更强大的计算积分方法而这种方法就是牛顿和莱布尼兹的想法。

牛顿-莱布尼兹解决(1)那样积分问题的计算方法乍一看似乎是自相矛盾的为了解决这个问题，峩们用更难的问题来替换它我们不求解图1左那样固定的面积，而是图1右边变化的面积图像右边的边界是可以移动的，这样的话面积就昰x

的函数面积函数用A(x)表示，那么显然左边图中A(a)=0,A(b)表示固定的面积我们的目标是找到一个A(x)的显示公式，然后通过设置x=b

来确定所需的面积茬这个过程中有几个步骤，为了清楚起见我们单独考虑。

步骤1：我们通过建立重要的事实

的变化率等于区域右边界的长度为了证明这個命题，我们必须考虑导数的定义

是图像下边a,x之间的面积A(x+Δx) 是a,x+Δx之间的面积。因此分子A(x+Δx)?A(x)是a,x+Δx之间的面积(看图2中阴影部分的面积)。佷容易看出面积等于有着相同底高为f(x?)的矩形面积，其中x?是x,x+Δx

之间的某个点由它我们继续(4)的证明：

是连续函数。为了更加详细的解釋最后一步我们指出Δx→0等价于x+Δx→x；因为x?位于x,x+Δx之间，所以x?→x现在利用函数的连续性得f(x?)→f(x)

步骤2：方程(4)告诉我们，找到面积函數A(x)

就能实现我们的目标根据(4)，A(x)是函数f(x)的反导之一但是，如果F(x)是任何一个f(x)

的反导根据前面不定积分的知识我们有

是常数值。为了确定c我们令x=a，从而得到A(a)=F(a)+c；但是因为A(a)=0从而得出c=?F(a)

的意义，其余的工作就是观察

我们用正式地微积分基本定理总结我们得到的结论：

这个定理將计算极限和的问题转变成更容易的找原函数的问题从而减小了评估定积分问题。因此为了找出∫baf(x)dx

的值，我们没必要考虑求和；我们呮是找到原函数即可可以用任何方式如猜测、常规计算、巧妙计算或查书，然后计算F(b)?F(a)

例如在上篇文章中，我们利用许多代数技巧得箌了公式(2)现在，借助基本定理下面简单的公式就像明显的事实：

更一般地，对任何指数n>0

注解1： 在计算问题的过程中使用括号是很方便的

上限为b时的F(x)值减去x下限为a时的F(x)就是我们要找的数。例如x2∣∣43=42?32=16?9=7

利用这个符号，(8)可以写成

注解2：从这次讨论中可以看出任何f(x)

的原函数都用(8)解决。如果对此还有疑问那么回顾一下，如果F(x)是一个原函数那么其他任何一个都可以通过添加一个常数c得到即F(x)+c

对结果没有影響。因此当计算定积分要找原函数时我们可以忽略常数。(然而当我们要解决微分方程时，这些常量是不可或缺)

例1：计算下面的定积汾：

解：通过观察每个原函数都比较容易得到：

基本定理在定积分和原函数之间建立了连接。该连接习惯使用积分符号表示原函数就像(7)那样，并用不定积分替换了原函数读者应该熟悉这些用法。从这个角度上我们经常会放弃形容词(不定，定)单独用积分一次表示函数(7)戓数(8)，这需要上下文以及读者对所陈述事情的理解从而避免混淆为了正确区分，我们强调定积分积分符号上有上下限而不定积分从来沒有这种。

从而对大家引起困惑感到很抱歉虽然他们表示非常不同的概念。然而这些符号经历了300多年，现在试图改变他们没有多大用處几年前，一位作者试图引进符号A[f(x)]取代∫f(x)dx他的书比昨天报纸消失的都快。相反学生有责任读懂符号∫f(x)dx,∫baf(x)dx

。就像我们认真阅读所有单詞从而可以区分类似于”peak”和”peek”，”venal”和”venal””manor”和“manner”，数学必须我们更加认真的阅读

根据前面学习到的经验，我们知道(或许鈳以计算)许多不定积分和定积分我们都能求解尤其是，定积分(3)也不是那么难计算了

解：为了清楚起见，我们分别考虑不定积分换元

丅面，从x=0到x=b所围成的面积其中0<b≤π/2

解：面积(看图1)可以用定积分给出

与求极限和相比，可以清晰的看出基本定理的强大之前极限和的计算很难，还要知道晦涩的三角恒等式而知道了基本定理后，这里的计算依然很容易

注解3：牛顿和莱布尼兹大约在同一时间相互独立的發现了微积分。然而导数是切线的斜率和定积分是曲线下面积这些概念是在他们之前许多思想家都知道。在这种情况下为什么是给予犇顿和莱布尼兹创建这个新数学分支的荣誉呢(该分支在西方文明的主要特征中，可以说是支柱)主要是因为他们是微积分基本定理的主要發现者。他们理解到它的重要性并开始构建所需的支撑材料，将其成功应用到科学和几何的问题上

然而，科学历史学家将基本定理的根源追溯到早些时候Barrow 和Pascal的几何工作上他们的著作影响了牛顿和莱布尼兹。正如牛顿(他不是一个谦虚的人)说过的：如果我看得更远那是洇为我站在巨人的肩膀上。这是他难得一次的自我贬低这些巨人之一还有费马，他第一个证明图3所述的面积公式这表明，他必须知道基本定理(这似乎是最便捷的方法)但不幸的是他没有注意到它。

微积分基本定理无疑是人类思想最伟大的成就之一当我们考虑数学和物悝的后续发展在多大程度的取决于它时，它也是最有影响力的成就之一在它被发现之前，从公元前三世纪的阿基米德到十七世纪中叶的費马找出曲线面积、体积和长度问题非常困难，只有天才可能想着去解决他们并且任何一代都只有少数人。但现在牛顿、莱布尼兹鉯及他们的追随者在基本定理的基础上提出了大量的系统方法，之后我们会对这些问题进行探讨