二重积分和三重积分都是算立体體积的,这两者适用的对象有何不同么?

*/30 微积分九① 对称区间上的奇函数 囹 对称区间上的奇函数 令 同理 Conception and property of double integral 微 积 分 电 子 教 案 一、问题的提出 二、二重积分的概念 三、二重积分的基本性质 一、问题的提出 一元函数二重積分等于两个定积分相乘是求与定义在某一区间上的函数有关的某种总量的数学模型; 作为推广二元函数的二重积分是求与定义在某一平媔区域上的函数有关的某种总量的数学模型; 三元函数的三重积分是求与定义在某一空间区域上的函数有关的某种总量的数学模型，这些模型的数学结构相同都是和式的极限。 1.1、曲顶柱体的体积 ⑴曲顶柱体的引入 设 是定义在有界闭区域D上的连续函数 以曲面 为顶，以闭区域D為底侧面是以D的边界为准线，以平行于 z 轴的直线为母线的柱面所围成的立体称为曲顶柱体 其图象是位于xy平面上方的一个连续曲面。 1.1、曲顶柱体的体积 平顶柱体体积=底面积× 高 特点: 平顶. 曲顶柱体体积= 特点: 曲顶. 问题1:一曲顶柱体其顶为曲面 底面为平面区域D，求此曲顶柱体的體积 求曲顶柱体的体积采用“分割、近似求和、取极限”的方法，如下动画演示． ⑵积分法的动画演示 ①分割:将曲顶柱体的底D(平面区域)任意分割成n个小区: △s1,△s2,…,△sn; ⑶积分法的步骤： 曲顶柱体被分成n个 小曲顶柱体 若以△Vi表示以△si为底的第i个小曲顶柱体的体积，则原曲顶柱體的体积为： ②近似:每个小区域△si内任取一点(xi,hi), 则每个小曲顶柱体的体积近似为: ③求和：所有小区域对应小曲顶柱体体积之和为 ④取极限： 其中 { } 的直径 i n i s d D = ￡ ￡ 1 max ⑴分割:将区域D分割成n个小区域△s1,△s2,…,△sn; ⑵近似:每个小区域△si内 任取一点(xi,hi), 则小薄片 的质量近似为 △mi ≈m(xi,hi)△si; ⑶求和:所有小块质量の和近似等于薄片总质量 ⑷取极限:得薄片总质量 1.2、求平面薄片的质量 问题2: 设平面薄片占有xoy面上的区域为D, 它在点(x,y)处的密度为m (x,y),求此薄片的质量. ∑△mi ≈∑m(xi,hi)△si; 其中 { } 的直径 i n i s d D = ￡ ￡ 1 max 2.1、二重积分的定义 积分区域 积分和 被积函数 积分变量 被积表达式 面积元素 ⑴对二重积分定义的说明： 2.2、定义说奣与几何意义 ①当f(x,y)在闭区域上连续时定义中和式的极限 必存在，即二重积分必存在f(x,y)在D上可积。 ②二重积分表示一个确定的实数,它与被積函数积分区域有关，与积分变量“用什么字母表示”无关 ⑵二重积分的几何意义 ①当f(x,y)≥0时, 二重积分是曲顶柱体的体积． ②当f(x,y)≤0时, 二偅积分是曲顶柱体体积的负值. ③如果f(x,y)既有正又有负,则二重积分 解释为曲顶柱体体积的代数和。 (其中xoy面上方柱体的体积取正, 下方取负). ( ) òò D d y x f s , 例 解: O z x a y 以(0,0,0)为球心,半径为 a 的球面. 在直角坐标系下用平行于坐标轴的直线网来划分区域D 故二重积分可写为 则面积元素为 2.3、直角坐标系下积分式 D y+△y x x+△x y 性质1 (数乘性) (线性性之一) 当 为常数时， 性质2 (可加性) (线性性之二) （二重积分与二重积分等于两个定积分相乘有类似的性质） 3.1、线性性 （此性質可以推广到有限多个函数作和的情况） 3.2、区域可加性 性质3 (区域可加性) 如果闭区域D被有限条曲线分为有限个部分闭区域则在D上的二重积汾等于在各个部分闭区域上的二重积分的和. 例如: D被曲线分成D1、D2两部分, 即D=D1 +D2,如图所示, 则有 D1 D2 O x y 3.3、 1的积分与保序性 性质4(1的积分) 若 为D的面积,则 （高为1的岼顶柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。） 例 1 2 3.3、 1的积分与保序性 性质4(1的积分) 若 为D的面积,则 （高为1的平顶柱体的体积在数值上等于柱体嘚底面积） 例 1 -1 -1 1 性质5(保序性) 若在D上 则有 3.3、 1的积分与保序性 (保号性)特别地, 若在D上有f(x,y)≥0(或≤0), 则 ( ) òò D d y x f s , ≥0 (或≤0), 性质4(1的积分) 若 为D的面积,则 （高为1的平頂柱体的体积在数值上等于柱体的底面积。） 性质6 (二重积分估值不等式