0

• 记得对a分情况讨论哦！
0
• $0$$\frac{{}^{}}{}0\frac{{}^{}}{}\frac{}{}$∣∣∣?n!an??0∣∣∣?=n!∣a∣n?=1?2?...?k?...?n∣a∣?∣a∣?...?∣a∣?...?∣a∣? $\frac{}{}$
0 0

0

• $$
• $$$$an1??1≤?na?1?所以对任意$0\frac{}{}$ε>0只要让N=εa?1?，则对所有$$

0 $$

0

0 n→∞lim?n!an?=0于是对任意正数$$

这个题乍一看方法觉得有点技巧性太强其实是可以有思路的：要证$\frac{\text{exception 25:}}{}$

• $\underset{}{}\frac{}{}\frac{}{}\frac{}{}$
• $\underset{}{}\frac{\underset{}{\overset{}{}}}{}$
• $\underset{}{}{}^{}{}^{}0$
• $\underset{}{}{}^{}{{}^{}}^{}$

0 0

• • $\underset{}{\overset{}{}}$$$
• • ${}^{}{}^{}{}^{}$
  0 0
• • 啊！这个题第一次没做出来，其实仔细观察一下就得到了这些都是+,看着是不是想给它都消了，这种全是＋而且还是平方和的加应该首先就要想到平方差公式了，之后会发现这个像多米诺骨牌一样铨倒了！$\underset{}{}{}^{}{{}^{}}^{}\underset{}{}\frac{{{}^{}}^{}}{}\frac{}{}$
0 0
0 0 ${}_{}\frac{}{}\frac{}{}{}_{}\frac{}{}$
• 两边加个根号并求极限问题例题就出来了！

如果用单调有界定理这个题关键在于怎么放缩得到${}_{}$an?的界？这个方法也是让人意想鈈到措手不及

• 递增是肯定的了，接下来放缩找的是${}_{}$a2n?来放！！奇奇怪怪又有点意思${}_{}\frac{{}^{}}{}\frac{{}^{}}{}$$\frac{{}^{}}{}\frac{{}^{}}{}\frac{{}^{}}{}\frac{{}^{}}{}$$\frac{{}_{}}{{}^{}}\frac{{}_{}}{{}^{}}{}_{}$
• $$
• 证明：存在严格递增数列${}_{}$$\underset{}{}{}_{}$
a是S的上确界，因此对任意$0$ε1?=1,则存在x1?∈S满足${}_{}{}_{}$
• 按上述方法一直取啊取得到${}_{}$${}_{}{}_{}$${}_{}{}_{}$
{xn?}?S，它是一个严格递增数列且满足${}_{}{}_{}{}_{}$
• 用单调有界，先证明其单调
  • 书上是通过将式子展開再放缩的很麻烦，周老师说用基本不等式就可以做我试了一下发现确实很简单——${}_{}\frac{}{}{}^{}\frac{\frac{}{}}{}{}^{}$$\frac{}{}{}^{}{}_{}$
  • 但是后面求有界我没想到简便的方法，还是只能將式子展开即$\frac{}{}{}^{}\frac{}{}\frac{{}^{}}{}\frac{}{}\frac{{}^{}}{}\frac{{}^{}}{}$$\frac{}{}\frac{}{}\frac{}{}\frac{}{}\frac{}{}\frac{}{}$
• $0{}_{}\sqrt{}{}_{}\sqrt{{}_{}}$
limxn?存在并求它

这类一个套一个的题，用单调有界就能解决它一般思路是：

• 直接在递推式两边求极限问题例题，根据极限問题例题设置上下界
• 求数列的增减性（注意数学归纳法在这类题中的应用）
{xn?}是单调递增的当$$