转自，中国大学MOOC，走进数学——数学建模篇，2016国赛B题讲解 国防科学技术大学，吴孟达主讲。讲解2016国赛B题。

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俗话说，要想成为高手，必须要先战胜自己，而战胜自己之前要先学会如何打败电脑。这也是为什么武林高手要先和自己过招，然后不断地挑战风格各异的对手，以不变应万变。

当然，还要熟悉各种战术，攻其不备出其不意。

那么如何才能打败电脑呢？下面的数学模型可以告诉你答案。

星际争霸是暴雪公司的经典作品，它的故事发生于26世纪，主要讲述了银河系边缘三个种族：虫族(Zerg)、人族(Terran)和神族(Protoss)（还有一个极其神秘的种族叫Xel'Naga，虫族和神族都是由这个种族创造出来的，不过这属于星际争霸2的故事，本文不涉及）之间明争暗斗，争夺霸权的故事。在游戏中，玩家可以选择操控这三个种族之一，并创建一支军队打败对手或完成指定任务。每个种族都有自己的特点，却又很好地保持了游戏的平衡性。这是星际争霸能成为经典的原因之一。在本章中，我们用U(t)来表示玩家的部队总数（U是依赖于时间t的函数）。

星际争霸的上手难度较高。新手玩家通常把大量的注意力放在华丽的战争场面，或对单个单位的操控上，而忽视了建立军队的过程和资源的采集。比如在不知不觉中，你的资源已经达到了这个数字：

妥妥的万元户！然而总军力只有44个人口，远远不到200的人口上限。可见，这时大部分操作都是浪费了的。很多新手从头到尾只会建造一个兵工厂，因此部队的生产过程是单线程的，而不是多线程并行（多个兵工厂同时生产部队)的。下图大致表明了多个兵工厂和单个兵工厂在相同U值（生产部队总数量，用横轴表示，横轴的数字只起到参照物的作用，并不代表真正的U值）下的效率（纵轴）对比。注意，U较小时，多个兵工厂和单个兵工厂效率差异并不大，但它们的效率都是呈对数（回忆一下log函数的图像）增长的；随着U的增大，所有兵工厂逐渐处于饱和状态，故生产效率不再随着U的增加而增加。

所以在职业对战中，我们可以看到双方几乎都建有大量兵工厂。

三、高手的单机策略——逻辑增长模型(Logistic Model)

高手和新手最大的区别在于，他们更加善于整体地看待这个游戏，因而把整个游戏的节奏。例如在什么时候建造新的兵工厂，什么时候开采新的资源，都有整体的规划。尽管每个高手都有自己的作战风格（这在数学上可以用随机项或误差项来表示，用以描述个体差异），但这种整体性的节奏（可以用趋势项来表示，用以描述整体形势）却是惊人的相似。

如果我们先暂时忽略掉个体差异（随机项），可以想象，U(t)（部队总数）其实就是生态学中单一种群的人口数(Population)，而单一种群的总数满足以下微分方程：

在星际争霸中，我们只需考虑部队的出生率（生产率）和死亡率（死于电脑之手）。在单机情形下，电脑以固定的频率对玩家发动攻击，因而玩家部队的死亡率可近似看做种群的自然死亡。在1836年，比利时数学家/starcraft//watch?v=3LdR2sJQ6pA.

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