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一个函数在某区间内有没有原函數（也即它是不是另一个函数的导函数）其实与它可不可积是两码事，完全有可能存在原函数但不可积也可以可积但不存在原函数……

设函数 在区间 上可微，在点 右连续导函数 在点 存在右侧极限函数 ，则 在点 也一定存在右侧导数 并且

则对于任意给定的 ，存在

这样便證明了 在点 处的右侧导数存在

同理还能证明 在 上点 附近的情况即左侧导数的极限函数定理

考虑函数 在点 的某个邻域 内连续，在点 的去心鄰域 内可微.

导函数 在点 存在极限函数 则函数 在点 也可微，并且导函数 在点 连续.

有了导数极限函数定理即可证明：

函数 在区间 上可微，則导函数

假设点 是 的第一类间断点

则 在点 存在两个单侧极限函数

这样 在点 左连续且右连续

根据之前单侧导数极限函数定理，必然有

在点 鈳微则左右导数必相等，即

这样恰恰表明 在点 连续

从而导函数 不含有第一类间断点

至于导函数含有第二类间断点的例子是有不少的举絀这种例子即可，我举两个例子：

处不存在极限函数所以是 的第二类间断点

这个例子是被用的最多的反例

（2）再看个类似的例子

的间断點，由于在该点附近 无界所以这显然是第二类间断点

注意到 在 近旁无界，所以 不仅可能不是连续的甚至可能并非是Riemann可积的

这说明了可微函数的导函数也未必可积