同济大学出版的高等数学无穷级数这一章，关于常数项级数的审敛法，证明p级数敛散性问题，对其积分法不甚明了，所以记录下自己思索的过程：
讨论p级数：
<span class="MathJax" id="MathJax-Element-18-Frame" tabindex="0" style="text-align: position:" data-mathml="1+12p+13p+.....+1np+...." role="presentation">1+12p+13p+.....+1np+....1+12p+13p+.....+1np+....
的收敛性，其中常数 <span class="MathJax" id="MathJax-Element-19-Frame" tabindex="0" style="position:" data-mathml="p" role="presentation">pp&0
第一个问题用比较审敛法很好证明，我顺利的明白了。
即当<span class="MathJax" id="MathJax-Element-20-Frame" tabindex="0" style="position:" data-mathml="p&#x2264;1" role="presentation">p≤1p≤1时，有<span class="MathJax" id="MathJax-Element-21-Frame" tabindex="0" style="position:" data-mathml="1np&#x2265;1n" role="presentation">1np≥1n1np≥1n,调和级数是发散的，按照比较审敛法：
若<span class="MathJax" id="MathJax-Element-22-Frame" tabindex="0" style="position:" data-mathml="vn" role="presentation">vnvn是发散的，在n&N,总有<span class="MathJax" id="MathJax-Element-23-Frame" tabindex="0" style="position:" data-mathml="un&#x2265;vn" role="presentation">un≥vnun≥vn,则<span class="MathJax" id="MathJax-Element-24-Frame" tabindex="0" style="position:" data-mathml="un" role="presentation">unun也是发散的。
调和级数<span class="MathJax" id="MathJax-Element-25-Frame" tabindex="0" style="position:" data-mathml="1n" role="presentation">1n1n是发散的，那么p级数也是发散的~！
第二个条件则证明变得繁琐：
当p&1时，证明的思路大概就是对于每一个整数，我们取一个邻域区间，使邻域区间
<span class="MathJax" id="MathJax-Element-26-Frame" tabindex="0" style="position:" data-mathml="x&#x2208;[k,k&#x2212;1]" role="presentation">x∈[k,k-1]x∈[k,k-1]使得某个函数在<span class="MathJax" id="MathJax-Element-27-Frame" tabindex="0" style="position:" data-mathml="[k,k&#x2212;1]" role="presentation">[k,k-1][k,k-1]邻域区间内的积分小于<span class="MathJax" id="MathJax-Element-28-Frame" tabindex="0" style="position:" data-mathml="1xp" role="presentation">1xp1xp在这个邻域区间的积分。然后目的当然是通过积分求指数原函数解决问题。
这个证明的比较函数取的很巧妙，，令<span class="MathJax" id="MathJax-Element-29-Frame" tabindex="0" style="position:" data-mathml="k&#x2212;1&#x2264;x&#x2264;k" role="presentation">k-1≤x≤kk-1≤x≤k,那么<span class="MathJax" id="MathJax-Element-30-Frame" tabindex="0" style="position:" data-mathml="1kp&#x2264;1xp" role="presentation">1kp≤1xp1kp≤1xp.
利用比较审敛法的感觉，应该找一个比p级数的一般式大的收敛数列，证明p级数收敛。这个就有点反套路了。
<span class="MathJax" id="MathJax-Element-31-Frame" tabindex="0" style="text-align: position:" data-mathml="1kp=&#x222B;k&#x2212;1k1kpdx(&#x8FD9;&#x91CC;&#x662F;&#x5BF9;x&#x79EF;&#x5206;&#x800C;&#x4E0D;&#x662F;k)&#x2264;&#x222B;k&#x2212;1k1xp" role="presentation">1kp=∫kk-11kpdx(这里是对x积分而不是k)≤∫kk-11xp1kp=∫k-1k1kpdx(这里是对x积分而不是k)≤∫k-1k1xp
其中<span class="MathJax" id="MathJax-Element-32-Frame" tabindex="0" style="position:" data-mathml="&#xFF08;k=2,3....&#xFF09;" role="presentation">（k=2,3....）（k=2,3....）
讨论级数和,用k的形式代表p级数，并且用一个大于它的函数来求得极限。
<span class="MathJax" id="MathJax-Element-33-Frame" tabindex="0" style="text-align: position:" data-mathml="sn=1+&#x2211;k=2n1kp&#xFF08;p&#x7EA7;&#x6570;&#xFF09;&#x2264;1+&#x2211;k=2n&#x222B;kk&#x2212;11xp=1+&#x222B;1n1xpdx" role="presentation">sn=1+∑k=2n1kp（p级数）≤1+∑k=2n∫k-1k1xp=1+∫n11xpdxsn=1+∑k=2n1kp（p级数）≤1+∑k=2n∫kk-11xp=1+∫1n1xpdx
这里利用积分区间的可加性:
<span class="MathJax" id="MathJax-Element-34-Frame" tabindex="0" style="text-align: position:" data-mathml="&#x222B;D1f(x)dx+&#x222B;D2f(x)dx=&#x222B;D1+D2f(x)dx" role="presentation">∫D1f(x)dx+∫D2f(x)dx=∫D1+D2f(x)dx∫D1f(x)dx+∫D2f(x)dx=∫D1+D2f(x)dx
求一下初等函数的原函数就搞定了！呵呵，只能说这个思路不太容易想到。
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