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首先你要懂得导数的运算公式，求不定积分是求导的逆过程∫x/(1+x²)dx=∫1/(1+x²)•(xdx)=∫1/(1+x²)d(x²/2)这里其实是对x求积分的，即xdx~∫xdx=x²/2+C~d(x²/2+C)=d(x²
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不定积分的第二换元法
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第一换元法的具体理解
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都是在不定积分里提到的解决不定积分的办法 第一类换元积分法也称凑微分法，适用于两个式子相乘的形式，是复合函数求导的逆运算 第二类换元积分法是变量代换法，主要有三角代换，根式代换和倒代换，适用于积分式中有根式的 第二换元法
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微积分课“不定积分第一类换元法”分类总结
　　摘 要：本文分类总结了不定积分第一类换元积分法的常见类型，并给出典型的例题讲解。 中国论文网 /9/view-5982170.htm　　关键词：不定积分；第一类换元积分法；分类 　　 　　第一类换元积分法是求不定积分重要的、基础的方法，本文将第一类换元积分法（凑微分法）常见的类型进行分类总结。 　　定理：设（1）■f(u)du=F(u)+C，（2）函数u=?渍(x)可微，则成立第一类换元积分方法： 　　■f[?渍(x)]?渍′(x)dx=■f[?渍(x)]d?渍(x)=■f(u)du■ 　　=[F(u)+C]u=?渍(x)=F[?渍(x)]+C 　　类型Ⅰ■f(ax+b)dx=■■f(ax+b)d(ax+b)(a≠0) 　　例1■■=■■(3x-1)■d(3x-1)=■■+C 　　例2①■■②■■ 　　分析：①中被积函数分母x2+2x+5的△0，通过对分母因式分解，做变换■■=■■。 　　解：①■■dx=■■dx 　　=■■d(x+1)=■arctan■+C 　　②■■=■■=ln■+C 　　类型Ⅱ■x?琢-1f(x?琢+b)dx=■■f(x?琢+b)d(x?琢+b)(?琢≠0) 　　例3■x■dx=■■(x2-3)■d(x2-3)=■?■(x2-3)■+C=■(x2-3)■+C 　　例4■■sec2■dx=-■sec2■d(■)=-tan■+C 　　类型Ⅲ■■f(lnx)dx=■f(lnx)d(lnx)或■■f(ln|x|)dx=■f(ln|x|)d(ln|x|) 　　例5■■=■■=■(1+lnx)-2d(1+lnx) 　　=-■+C 　　类型Ⅳ■exf(ex)dx=■f(ex)d(ex)或■f(ex)dx=■■d(ex) 　　例6■■dx=■■dex=■arcan■+C 　　类型Ⅴ关于被积函数中含有sinx和cosx的不定积分 　　?■cosxf(sinx)dx=■f(sinx)d(sinx)和■sinxf(cosx)dx 　　=-■f(cosc)d(cosx) 　　例7■esinxcosxdx=■esinxd(sinx)=esinx+C 　　?对于形如■sinmxcosnxdx，■sinmxsinnxdx和■cosmxcosnxdx的积分(m,n∈N)，可首先利用积化和差公式对被积函数进行变形。 　　例8■sin5xcos3xdx=■■[sin(5x+3x)]+sin(5x-3x)dx 　　 =■[■sin8xdx+■sin2xdx] 　　=■■sin8xd(8x)+■■sin2xd(2x) 　　=-■cos8x-■cos4x+C 　　?对于形如■sinmxcosnxdx的积分(m,n∈N)，可按如下方法处理： 　　（1）m,n中至少有一个为奇数时，不妨设n=2k+1， 　　■sinmxcos2k+1xdx=■sinmx(1-sin2x)kd(sinx)=■um(1-u2)kdu，化成u的多项式积分，求出后以u=sinx代回； 　　（2）m,n都为偶数时，可用倍角公式，sin2x=■(1-cos2x),cos2x=■(1+cos2x)降低三角函数幂次。 　　例9■sin2xcos3xdx=■sin2x(1-sin2x)d(sinx) 　　=■(sin2x-sin4x)d(sinx) 　　=■sin3x-■sin5x+C 　　例10■sin2xcos2xdx=■■■dx 　　=■■(1-cos22x)dx=■■(1-■)dx=■■(1-cos4x)dx 　　=■■dx-■■cos4xd(4x)=■-■sin4x+C 　　类型Ⅵ■sec2xf(tanx)dx=■f(tanx)d(tanx)■cos2xf(cotx)dx=-■f(cotx)d(cotx) 　　和■f(secx)secxtanxdx=■f(secx)d(secx)■f(cscx)cscxcotxdx=-■f(cscx)d(cscx) 　　例11■tanxsec4xdx=■tanxsec2x?sec2xdx 　　=■tanx(1+tan2x)d(tanx) 　　=■tan2x+■tan4x+C 　　或者用下面解法： 　　■tanxsec4xdx=■tanxsec2x?sec2xdx 　　=■sec3xd(secx)=■sec4x+C 　　类型Ⅶ■■dx=■■df(x)=ln|f(x)|+C 　　例12■■dx=■■d(x2-x+3)=ln|x2-x+3|+C 　　类型Ⅷ■■dx=■f(arcsinx)d(arcsinx) 　　和■■dx=■f(arctanx)d(arctanx) 　　例13■■dx=■arcsinxd(arcsinx)=■(arcsinx)2+C 　　例14■■dx=■earctanxd(arctanx)=earctanx+C 　　不定积分计算方法多样灵活，作为对逆向思维的一种考察，难度较大。三本院校偏文科类的学生，数学基础薄弱，因此要降低理论推导要求，加强知识分类、识别的介绍和方法总结，多举例，注意培养学生的计算应用能力。结合实践教学过程中的经验，本文对第一类换元积分法做分类总结，教会学生识别不同的被积函数，进而采用相应合适的积分方法。 　　 　　参考文献： 　　[1]同济大学应用数学系.高等数学（本科少学时类型）[M].北京：高等教育出版社，2008. 　　[2]赵树?.微积分（第三版）[M].北京：中国人民大学出版社，2007.
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发布时间：07月31日
文章来源：江苏成教网
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