多元函数微分学中极限概念的教学--《南化科技》1994年04期
多元函数微分学中极限概念的教学
【摘要】：正 在一元函数微分学中,极限概念的建立是较为困难的问题之一,到了多元函数,情况就更加复杂。现以二元函数作为多元函数的代表,讨论其极限问题。 1 二重极限一元函数的极限概念是:对于任给的ε0,如果存在一实数δ0,[δ=δ(ε)],使当0|x—a|δ时,|f(x)—A|ε成立,则称A为函数f(x)当z→a时的极限,换句话说,当x与a的距离充分小时,对应的函数值f(x)与数A之差的绝对值可以任意小。对二元函数,若将(x,y)看成平面上的一个点P,这样二元函数z=f(x,y)便可写成z=f(P),再用平面上点的距离来代替绝对值|x—a|,就将一元函数的极限概念推广到了二元函数的情形。即当P(x,y)趋近于P_0(x_0,y_0)时,函数f(P)以数l为极限是指:对于任给的ε0,必存在一实数δ=δ(ε)0,使当0p(P,P_0)δ时,有|f(P)—l|ε,则记f(P)=l……(1),这里ρ(P,P_0)δ是指
【作者单位】：
【分类号】：O172
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400-819-9993第五章 多元函数微积分学
xxx,yxy(x,y)
函数的偏导数、全微分及二重积分，是多元函数的微积分学学习的基本要求之一。
2P路线趋于f(x,y)Pf(x,y)f(x,y)
3f(x,y)f(x,y)
1z=f(x,y)xyf(x,y)
2用公式求偏导数，而只能用定义去做。
3函数在这一点的可微性时，也需要根据全微分的定义进行考察。
2函数的偏导数时，一定要将等式改写成F(x,y,z)=0Fx,y,zx,y,zzx,y
1 极值的定义进行讨论。
2积分的计算：化二重积分为累次积分。其关键是确定积分限，而积分限又是由积分区域D
6坐标系下二重积分的计算同样要化二重积分为累次积分，要做以下三件事：
D, , r. r,多元函数的概念、极限、连续与微分_百度文库
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多元函数的概念、极限、连续与微分
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多元微积分
在中，多元微积分（也称为多变量微积分，英语：Multivariable calculus，multivariate calculus）是涉及的微积分学的统称。相较于只有单个变量的一元微积分，多元微积分在函数的求导和积分等运算中含有至少两个变量。例如微分多元函数时，就引申出偏微分、，对多元函数进行积分计算时，又会涉及。
多元微积分历史
多元函数的概念很早就出现在物理学中，因为人们常常要研究取决于多个其他变量的物理量。例如托马斯·布拉德华曾试图寻找运动物体的速度、动力和阻力之间的关系。不过从十七世纪开始，这个概念有了长足发展。1667年，詹姆斯·格雷果里在Vera circuli et hyperbolae quadratura一文中给出了多元函数最早的定义之一：“（多元）函数是由几个量经过一系列代数运算或别的可以想象的运算得到的量。
”十八世纪，人们发展了基于无穷小量的微积分，，并研究了常微分方程和偏微分方程的解法。那时多元函数的运算与一元函数类似。直到十九世纪末和二十世纪，人们才严格建立起（包括二阶偏导数）的计算法则。
多元微积分多元函数
多元函数是指定义域为
或其一部分，值域为
的函数。第二种情况可归结为第一种情况，因为它实际上可看成m个定义在
上，值域是
的坐标函数。这样的函数让定义域中的每个元素（即n元组）对应唯一一个值域中的元素，记为f(x)或，如下所示：
上赋有范数，就可以研究这种多元函数的连续性和可微性。如果固定除一个变量外的其他变量，多元函数的研究就可归结为值域是
的函数。如果分别考虑坐标函数的话，甚至可归结为值域是
的函数。比如，这种函数的导数存在的话，就称为原来多元函数的偏导数。
多元微积分多元函数分析
中的经典概念可以推广到多元函数，但也要引入中的概念。
多元微积分极限与连续性
中的一个，f是定义在E上的函数。给赋予一个范数之后，就可以这样定义连续性：对E中的每个点a，f在a处连续当且仅当
在多元微积分领域，对函数极限和连续性的研究可导致许多违反直觉的结果。例如，一些二元，当x,y沿不同路径（例如直线与抛物线）趋近于极限点时，函数的值不同。例如，函数
沿任何直线 y=kx 趋近于原点 (0,0) 时，f趋近于0。然而，当变量x，y沿 y=x2趋近于原点时，f趋近于0.5。由于沿不同路径取极限时函数值不同，故该函数在原点的极限不存在。
每一个变量的连续不是多元函数连续的充分条件:例如, 含有两个变量的实数函数f(x,y)，对于每一个固定的y，f关于x的函数在其定义域内连续。同样的，对于每一个固定的x，f关于y的函数在其定义域也内连续，但这不能说明原函数连续。
举一个例子，考虑函数
很容易验证，在实数域中，定义函数：
，则对于每一个固定的y ，
上连续。同理，函数
也是关于 y 的连续函数。然而，函数f在原点是不连续的。 考虑序列
(n为)，若在原点连续其结果应为 f(0,0)=0。然而，通过计算知其在原点的极限为
。 因此，f在原点不连续。
多元微积分偏导数
偏导数将导数的概念推广到更高维度。一个多变量函数的偏导数是一个相对于一个变量的导数，所有其他变量视作常数，保持不变。
偏导数可以组合起来，创造出形式更复杂的导数。在向量分析中，Nabla算子(
)依据偏导数被用于定义这些概念：梯度，散度，旋度。在含有偏导数的矩阵中，雅可比矩阵可以用来表示任意维空间之间的函数的导数。因此，导数可理解为从函数定义域到函数值域的逐点变化的。
含有偏导数的称为或“PDE”。这些方程较只含有一个变量的更难解出。
多元微积分重积分
重积分将积分的概念拓展至任意数量的变量。二重积分和三重积分可用于计算平面和空间中区域的面积和体积。给出了使用逐次积分的方法计算二重积分的条件。
可以用曲面积分和曲线积分在曲面和曲线等上进行积分。
多元微积分基本定理
在一元微积分中，微积分基本定理建立了导数与积分的联系。多元微积分中导数与积分之间的联系，体现为矢量微积分的积分定理：
斯托克斯定理
高斯散度定理
在对多元微积分更深层次的研究中，可以认为以上四条定理是一个更一般的定理的具体表现，即广义斯托克斯定理，后者适用于在流形上对微分形式进行积分。
多元微积分向量分析
向量分析研究中足够光滑的和，即欧式空间E中的一个开集到
和 E的可微函数。因此向量分析是多元微积分的一个分支里的内容。
不过，向量分析的重要性源自它在物理学和工程科学中的广泛应用，所以上面的 E常限制为
，即通常的三维空间。在这种语境下，矢量场给空间中的每个点赋予一个带有三个实数分量的矢量，而标量场给每个点赋予一个实数。以湖水为例，湖水各处的温度形成一标量场，而各处的速度则形成一矢量场。因此，矢量分析是流体力学、气象学、静电学、电动力学和的基本工具。
Richard C Fritz John. Introduction to Calculus and Analysis Volume II/2. Springer Science & Business Media. 14 December 1999. ISBN 978-3-540-66570-0.
Amy Dahan-Dalmedico, Jeanne Peiffer. Une histoire des mathématiques – Routes et dédales. 1986. ISBN 978-2-02-.
Goffman C, 史济怀. 多元微积分[J]. 1978.
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