&blockquote&&b&最小平方法是十九世纪统计学的主题曲。 &/b&&br&&b&从许多方面来看, 它之于统计学就相当于十八世纪的微积分之于数学。&/b&&br&&br&----乔治·斯蒂格勒的《The History of Statistics》&/blockquote&&p&&b&1 日用而不知&/b&&/p&&p&来看一个生活中的例子。比如说，有五把尺子：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-23ab34d444d996fb9d6c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&377& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-23ab34d444d996fb9d6c_r.jpg&&&/figure&&p&用它们来分别测量一线段的长度，得到的数值分别为（颜色指不同的尺子）：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7Cc%7D%5Cqquad%5Cqquad%26%5Cqquad%E9%95%BF%E5%BA%A6%5Cqquad%5C%5C%5Chline%5Ccolor%7Bred%7D%E7%BA%A2%26+10.2+%5C%5C%5Chline+%5Ccolor%7Bblue%7D%E8%93%9D%26+10.3+%5C%5C%5Chline+%5Ccolor%7Borange%7D%E6%A9%99%269.8%5C%5C%5Chline+%5Ccolor%7BGoldenrod%7D%E9%BB%84%269.9%5C%5C%5Chline+%5Ccolor%7Bgreen%7D%E7%BB%BF%269.8%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5C%5C& alt=&\begin{array}{c|c}\qquad\qquad&\qquad长度\qquad\\\hline\color{red}红& 10.2 \\\hline \color{blue}蓝& 10.3 \\\hline \color{orange}橙&9.8\\\hline \color{Goldenrod}黄&9.9\\\hline \color{green}绿&9.8\\\end{array}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&之所以出现不同的值可能因为：&/p&&ul&&li&不同厂家的尺子的生产精度不同&/li&&li&尺子材质不同，热胀冷缩不一样&/li&&li&测量的时候心情起伏不定&/li&&li&......&/li&&/ul&&p&&br&&/p&&p&总之就是有误差，这种情况下，一般取平均值来作为线段的长度：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Coverline%7Bx%7D%3D%5Cfrac%7B10.2%2B10.3%2B9.8%2B9.9%2B9.8%7D%7B5%7D%3D10%5C%5C& alt=&\overline{x}=\frac{10.2+10.3+9.8+9.9+9.8}{5}=10\\& eeimg=&1&&&/p&&p&日常中就是这么使用的。可是作为很事'er的数学爱好者，自然要想下：&/p&&ul&&li&这样做有道理吗？&/li&&li&用调和平均数行不行？&/li&&li&用中位数行不行？&/li&&li&用几何平均数行不行？&/li&&/ul&&p&&br&&/p&&p&&b&2 最小二乘法&/b&&/p&&p&换一种思路来思考刚才的问题。&/p&&p&首先，把测试得到的值画在笛卡尔坐标系中，分别记作&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y_i& alt=&y_i& eeimg=&1&& ：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-74cba09e0c95a2fa1e2e56c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&547& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&547& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-74cba09e0c95a2fa1e2e56c_r.jpg&&&/figure&&p&其次，把要猜测的线段长度的真实值用平行于横轴的直线来表示（因为是猜测的，所以用虚线来画），记作&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& ：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-ad89e38844a30_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&548& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&548& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-ad89e38844a30_r.jpg&&&/figure&&p&每个点都向&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 做垂线，垂线的长度就是&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%7Cy-y_i%7C& alt=&|y-y_i|& eeimg=&1&& ，也可以理解为测量值和真实值之间的误差：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-68fd43daeeb_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&570& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&570& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-68fd43daeeb_r.jpg&&&/figure&&p&因为误差是长度，还要取绝对值，计算起来麻烦，就干脆用平方来代表误差：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%7Cy-y_i%7C%5Cto+%28y-y_i%29%5E2%5C%5C& alt=&|y-y_i|\to (y-y_i)^2\\& eeimg=&1&&&/p&&p&误差的平方和就是（&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon& alt=&\epsilon& eeimg=&1&& 代表误差）：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B%5Cepsilon%5E2%7D%3D%5Csum+%28y-y_i%29%5E2%5C%5C& alt=&S_{\epsilon^2}=\sum (y-y_i)^2\\& eeimg=&1&&&/p&&p&因为&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 是猜测的，所以可以不断变换：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-0bbff14fcd84ea5de78beb4_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&698& data-rawheight=&445& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&698& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-0bbff14fcd84ea5de78beb4_r.jpg&&&/figure&&p&自然，误差的平方和&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B%5Cepsilon%5E2%7D& alt=&S_{\epsilon^2}& eeimg=&1&& 在不断变化的。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-79ffabe73276_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&440& data-rawheight=&550& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&440& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-79ffabe73276_r.jpg&&&/figure&&p&法国数学家，阿德里安-马里·勒让德（，这个头像有点抽象）提出让总的误差的平方最小的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=y& alt=&y& eeimg=&1&& 就是真值，这是基于，如果误差是随机的，应该围绕真值上下波动（关于这点可以看下“&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.matongxue.com/madocs/808.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&如何理解无偏估计？&/a&”）。&/p&&p&勒让德的想法变成代数式就是：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B%5Cepsilon%5E2%7D%3D%5Csum+%28y-y_i%29%5E2%E6%9C%80%E5%B0%8F%5Cimplies+%E7%9C%9F%E5%80%BCy%5C%5C& alt=&S_{\epsilon^2}=\sum (y-y_i)^2最小\implies 真值y\\& eeimg=&1&&&/p&&p&这个猜想也蛮符合直觉的，来算一下。&/p&&p&这是一个二次函数，对其求导，导数为0的时候取得最小值：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D+%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdy%7DS_%7B%5Cepsilon%5E2%7D%26%3D%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdy%7D%5Csum+%28y-y_i%29%5E2%3D2%5Csum+%28y-y_i%29%5C%5C+%5Cquad%5C%5C%26%3D2%28%28y-y_1%29%2B%28y-y_2%29%2B%28y-y_3%29%2B%28y-y_4%29%2B%28y-y_5%29%29%3D0+%5Cquad%5C%5C%5Cend%7Baligned%7D%5C%5C& alt=&\begin{aligned} \frac{d}{dy}S_{\epsilon^2}&=\frac{d}{dy}\sum (y-y_i)^2=2\sum (y-y_i)\\ \quad\\&=2((y-y_1)+(y-y_2)+(y-y_3)+(y-y_4)+(y-y_5))=0 \quad\\\end{aligned}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&进而：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=+5y%3Dy_1%2By_2%2By_3%2By_4%2By_5%5Cimplies+y%3D%5Cfrac%7By_1%2By_2%2By_3%2By_4%2By_5%7D%7B5%7D%5C%5C& alt=& 5y=y_1+y_2+y_3+y_4+y_5\implies y=\frac{y_1+y_2+y_3+y_4+y_5}{5}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&正好是算术平均数。&/p&&p&原来算术平均数可以让误差最小啊，这下看来选用它显得讲道理了。&/p&&p&以下这种方法：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B%5Cepsilon%5E2%7D%3D%5Csum+%28y-y_i%29%5E2%E6%9C%80%E5%B0%8F%5Cimplies+%E7%9C%9F%E5%80%BCy%5C%5C& alt=&S_{\epsilon^2}=\sum (y-y_i)^2最小\implies 真值y\\& eeimg=&1&&&/p&&p&就是&b&最小二乘法&/b&，所谓“二乘”就是平方的意思，台湾直接翻译为最小平方法。&/p&&p&&b&3 推广&/b&&/p&&p&算术平均数只是最小二乘法的特例，适用范围比较狭窄。而最小二乘法用途就广泛。&/p&&p&比如温度与冰淇淋的销量：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7Cc%7D+%5Cqquad%5Cqquad%26%5Cqquad%E9%94%80%E9%87%8F%5Cqquad%5C%5C%5Chline%5Ccolor%7Bred%7D%7B25%5E%5Ccirc%7D%26+110+%5C%5C%5Chline%5Ccolor%7Bblue%7D%7B27%5E%5Ccirc%7D%26+115+%5C%5C%5Chline%5Ccolor%7Borange%7D%7B31%5E%5Ccirc%7D%C%5Chline+%5Ccolor%7BGoldenrod%7D%7B33%5E%5Ccirc%7D%C%5Chline%5Ccolor%7Bgreen%7D%7B35%5E%5Ccirc%7D%C%5Cend%7Barray%7D%5C%5C& alt=&\begin{array}{c|c} \qquad\qquad&\qquad销量\qquad\\\hline\color{red}{25^\circ}& 110 \\\hline\color{blue}{27^\circ}& 115 \\\hline\color{orange}{31^\circ}&155\\\hline \color{Goldenrod}{33^\circ}&160\\\hline\color{green}{35^\circ}&180\\\end{array}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&看上去像是某种线性关系：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-dcc861af2de0c946a241cfb3710a2ded_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&701& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&701& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-dcc861af2de0c946a241cfb3710a2ded_r.jpg&&&/figure&&p&可以假设这种线性关系为：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dax%2Bb%5C%5C& alt=&f(x)=ax+b\\& eeimg=&1&&&/p&&p&通过最小二乘法的思想：&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-89eb746dfa213a547c26f78afcde0884_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&592& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&592& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-89eb746dfa213a547c26f78afcde0884_r.jpg&&&/figure&&p&上图的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=i%2Cx%2Cy& alt=&i,x,y& eeimg=&1&& 分别为：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7Cc%7Cc%7D%5Cqquad+i%5Cqquad%26%5Cqquad+x%5Cqquad%26%5Cqquad+y%5Cqquad%5C%5C%5Chline+1%+%5C%5C%5Chline2%+%5C%5C%5Chline3%%5C%5C%5Chline+4%%5C%5C%5Chline+5%%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5C%5C& alt=&\begin{array}{c|c|c}\qquad i\qquad&\qquad x\qquad&\qquad y\qquad\\\hline 1&25& 110 \\\hline2&27& 115 \\\hline3&31&155\\\hline 4&33&160\\\hline 5&35&180\\\end{array}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&总误差的平方为：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B%5Cepsilon%5E2%7D%3D%5Csum+%28f%28x_i%29-y_i%29%5E2%3D%5Csum+%28ax_i%2Bb-y_i%29%5E2%5C%5C& alt=&S_{\epsilon^2}=\sum (f(x_i)-y_i)^2=\sum (ax_i+b-y_i)^2\\& eeimg=&1&&&/p&&p&不同的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a%2Cb& alt=&a,b& eeimg=&1&& 会导致不同的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B%5Cepsilon%5E2%7D& alt=&S_{\epsilon^2}& eeimg=&1&& ，根据多元微积分的知识，当：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Bcases%7D+%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+a%7DS_%7B%5Cepsilon%5E2%7D%3D2%5Csum+%28ax_i%2Bb-y_i%29x_i%3D0%5C%5C%5Cquad%5C%5C%5Cfrac%7B%5Cpartial%7D%7B%5Cpartial+b%7DS_%7B%5Cepsilon%5E2%7D%3D2%5Csum+%28ax_i%2Bb-y_i%29%3D0%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C& alt=&\begin{cases} \frac{\partial}{\partial a}S_{\epsilon^2}=2\sum (ax_i+b-y_i)x_i=0\\\quad\\\frac{\partial}{\partial b}S_{\epsilon^2}=2\sum (ax_i+b-y_i)=0\end{cases}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&这个时候&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=S_%7B%5Cepsilon%5E2%7D& alt=&S_{\epsilon^2}& eeimg=&1&& 取最小值。&/p&&p&对于&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a%2Cb& alt=&a,b& eeimg=&1&& 而言，上述方程组为线性方程组，用之前的数据解出来：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Bcases%7D+a%5Capprox+7.2%5C%5C%5Cquad%5C%5C+b%5Capprox+-73%5Cend%7Bcases%7D%5C%5C& alt=&\begin{cases} a\approx 7.2\\\quad\\ b\approx -73\end{cases}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&也就是这根直线：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-cd1db316aa0_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&592& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&592& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-cd1db316aa0_r.jpg&&&/figure&&p&其实，还可以假设：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29%3Dax%5E2%2Bbx%2Bc%5C%5C& alt=&f(x)=ax^2+bx+c\\& eeimg=&1&&&/p&&p&在这个假设下，可以根据最小二乘法，算出&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=a%2Cb%2Cc& alt=&a,b,c& eeimg=&1&& ，得到下面这根红色的二次曲线：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-edfa144d52c34dcec9fb71_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&755& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&755& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-edfa144d52c34dcec9fb71_r.jpg&&&/figure&&p&同一组数据，选择不同的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& ，通过最小二乘法可以得到不一样的拟合曲线（&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//de.wikipedia.org/wiki/Methode_der_kleinsten_Quadrate& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&出处&/a&）：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-aa9eaced870_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&450& data-rawheight=&350& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&450& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-aa9eaced870_r.jpg&&&/figure&&p&不同的数据，更可以选择不同的&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& ，通过最小二乘法可以得到不一样的拟合曲线：&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-db5a0af10f452a877e89_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&500& data-rawheight=&319& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&500& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-db5a0af10f452a877e89_r.jpg&&&/figure&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=f%28x%29& alt=&f(x)& eeimg=&1&& 也不能选择任意的函数，还是有一些讲究的，这里就不介绍了。&/p&&p&&b&4 最小二乘法与正态分布&/b&&/p&&p&我们对勒让德的猜测，即最小二乘法，仍然抱有怀疑，万一这个猜测是错误的怎么办？&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-4cb58a4fd4dc265e344a7fef_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&373& data-rawheight=&479& class=&content_image& width=&373&&&/figure&&p&数学王子高斯（）也像我们一样心存怀疑。&/p&&p&高斯换了一个思考框架，通过概率统计那一套来思考。&/p&&p&让我们回到最初测量线段长度的问题。高斯想，通过测量得到了这些值：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Barray%7D%7Bc%7Cc%7D%5Cqquad%5Cqquad%26%5Cqquad%E9%95%BF%E5%BA%A6%5Cqquad%5C%5C%5Chline%5Ccolor%7Bred%7D%E7%BA%A2%26+10.2+%5C%5C%5Chline%5Ccolor%7Bblue%7D%E8%93%9D%26+10.3+%5C%5C%5Chline%5Ccolor%7Borange%7D%E6%A9%99%269.8%5C%5C%5Chline%5Ccolor%7BGoldenrod%7D%E9%BB%84%269.9%5C%5C%5Chline+%5Ccolor%7Bgreen%7D%E7%BB%BF%269.8%5C%5C%5Cend%7Barray%7D%5C%5C& alt=&\begin{array}{c|c}\qquad\qquad&\qquad长度\qquad\\\hline\color{red}红& 10.2 \\\hline\color{blue}蓝& 10.3 \\\hline\color{orange}橙&9.8\\\hline\color{Goldenrod}黄&9.9\\\hline \color{green}绿&9.8\\\end{array}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&每次的测量值&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x_i& alt=&x_i& eeimg=&1&& 都和线段长度的真值&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 之间存在一个误差：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cepsilon_i%3Dx-x_i%5C%5C& alt=&\epsilon_i=x-x_i\\& eeimg=&1&&&/p&&p&这些误差最终会形成一个概率分布，只是现在不知道误差的概率分布是什么。假设概率密度函数为：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=p%28%5Cepsilon%29%5C%5C& alt=&p(\epsilon)\\& eeimg=&1&&&/p&&p&再假设一个联合概率，这样方便把所有的测量数据利用起来：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cbegin%7Baligned%7D+L%28x%29+%26%3Dp%28%5Cepsilon_1%29p%28%5Cepsilon_2%29%5Ccdots+p%28%5Cepsilon_5%29%5C%5C%5Cquad%5C%5C%26%3Dp%28x-x_i%29p%28x-x_2%29%5Ccdots+p%28x-x_5%29%5Cend%7Baligned%7D%5C%5C& alt=&\begin{aligned} L(x) &=p(\epsilon_1)p(\epsilon_2)\cdots p(\epsilon_5)\\\quad\\&=p(x-x_i)p(x-x_2)\cdots p(x-x_5)\end{aligned}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&把&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x& alt=&x& eeimg=&1&& 作为变量的时候，上面就是似然函数了（关于似然函数以及马上要讲到的极大似然估计，可以参考“&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.matongxue.com/madocs/447.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&如何理解极大似然估计法？&/a&”）。&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=L%28x%29& alt=&L(x)& eeimg=&1&& 的图像可能是这样的（随便画的）：&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-26710caadf821ddab473a23f500bba34_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&467& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&467& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-26710caadf821ddab473a23f500bba34_r.jpg&&&/figure&&p&根据极大似然估计的思想，联合概率最大的最应该出现（既然都出现了，而我又不是“天选之子”，那么自然不会是发生了小概率事件），也就是应该取到下面这点：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-54e1cf7c49cfdbd09f6b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&467& data-rawheight=&402& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&467& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-54e1cf7c49cfdbd09f6b_r.jpg&&&/figure&&p&当下面这个式子成立时，取得最大值：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7DL%28x%29%3D0%5C%5C& alt=&\frac{d}{dx}L(x)=0\\& eeimg=&1&&&/p&&p&然后高斯想，最小二乘法给出的答案是：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D%5Coverline%7Bx%7D%3D%5Cfrac%7Bx_1%2Bx_2%2Bx_3%2Bx_4%2Bx_5%7D%7B5%7D%5C%5C& alt=&x=\overline{x}=\frac{x_1+x_2+x_3+x_4+x_5}{5}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&如果最小二乘法是对的，那么&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D%5Coverline%7Bx%7D& alt=&x=\overline{x}& eeimg=&1&& 时应该取得最大值，即：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=%5Cfrac%7Bd%7D%7Bdx%7DL%28x%29%7C_%7Bx%3D%5Coverline%7Bx%7D%7D%3D0%5C%5C& alt=&\frac{d}{dx}L(x)|_{x=\overline{x}}=0\\& eeimg=&1&&&/p&&p&好，现在可以来解这个微分方程了。最终得到：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=p%28%5Cepsilon%29%3D%7B1+%5Cover+%5Csigma%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D+%7D%5C%2Ce%5E%7B-+%7B%7B%5Cepsilon%5E2+%5Cover+2%5Csigma%5E2%7D%7D%7D%5C%5C& alt=&p(\epsilon)={1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{- {{\epsilon^2 \over 2\sigma^2}}}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&这是什么？这就是正态分布啊。&/p&&p&并且这还是一个充要条件：&/p&&p&&img src=&//www.zhihu.com/equation?tex=x%3D%5Coverline%7Bx%7D%5Ciff+p%28%5Cepsilon%29%3D%7B1+%5Cover+%5Csigma%5Csqrt%7B2%5Cpi%7D+%7D%5C%2Ce%5E%7B-+%7B%7B%5Cepsilon%5E2+%5Cover+2%5Csigma%5E2%7D%7D%7D%5C%5C& alt=&x=\overline{x}\iff p(\epsilon)={1 \over \sigma\sqrt{2\pi} }\,e^{- {{\epsilon^2 \over 2\sigma^2}}}\\& eeimg=&1&&&/p&&p&也就是说，如果误差的分布是正态分布，那么最小二乘法得到的就是最有可能的值。&/p&&p&那么误差的分布是正态分布吗？&/p&&p&如果误差是由于随机的、无数的、独立的、多个因素造成的，比如之前提到的：&/p&&ul&&li&不同厂家的尺子的生产精度不同&/li&&li&尺子材质不同，热胀冷缩不一样&/li&&li&测量的时候心情起伏不定&/li&&li&......&/li&&/ul&&p&&br&&/p&&p&那么根据中心极限定理（参考“&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.matongxue.com/madocs/589.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&为什么正态分布如此常见？&/a&”），误差的分布就应该是正态分布。&/p&&p&虽然勒让德提出了最小二乘法（高斯说他最早提出最小二乘法，只是没有发表），但是高斯的努力，才真正奠定了最小二乘法的重要地位。&/p&&p&文章最新版本在（有可能会有后续更新）：&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.matongxue.com/madocs/818.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&如何理解最小二乘法？&/a&&/p&
最小平方法是十九世纪统计学的主题曲。
从许多方面来看, 它之于统计学就相当于十八世纪的微积分之于数学。 ----乔治·斯蒂格勒的《The History of Statistics》1 日用而不知来看一个生活中的例子。比如说，有五把尺子：用它们来分别测量一线段的长度，得到…
在N1内置eMMC中刷入Linux armbian，不需要外置USB设备启动，除了没有GPIO外和各种Pi功能完全一样，内置千兆以太网/2.4+5GWiFi/Bluetooth/USB2.0*2/HDMI，硬件配置为Amlogic S905D 1.5GHz*4 Cortex-A53+2GB RAM+8GB eMMC（Linux可用5GB）&/p&&p&
在二手平台收购全新已激活的N1仅需80-90元，未激活的900多元，三个月返现1099（此处注意风险）可以说是很超值了。&/p&&p&
更新：&/p&&p&
之前忘了说：默认加载wifi的方法：在USB或者已经写入emmc的第一分区，fat16格式卷标名为BOOT的分区，根目录下有个文件 hdmi.sh ，在末尾 exit 0 这一行之前加一句：&br&&/p&&div class=&highlight&&&pre&&code class=&language-text&&&span&&/span&modprobe dhd
&/code&&/pre&&/div&&p&注意这个sh脚本是linux文本格式，如果在windows上要用Editplus之类的文本编辑工具进行操作。&/p&&p&重启后用armbian-config或nmtui直接配置无线网络即可。&/p&&hr&&p&一，拿到盒子，首先降级Bootloader，刷入第三方固件；&/p&&p&参考资料：&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//www.right.com.cn/forum/thread--1.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&[N1盒子] []斐讯天天链N1 官改v2.0线刷包, 补丁patch1&/a&&/p&&p&二，然后按照说明，制作好Linux启动盘，插入N1正常启动，并配置好用户名密码，网络连接等，请使用8G以上，质量可靠的U盘；&/p&&p&参考资料：&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//www.right.com.cn/forum/thread--1.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&[N1盒子] 应广大人民群众要求,搞个N1通过U盘跑LINUX(armbian)的教程&/a&&/p&&blockquote&6.打开n1的adb&br&7.通过adb连接n1(adb connect ip)&br&8.输入adb shell reboot update&br&9.喝口茶等待启动&/blockquote&&p&注：原文中以上操作可改为在N1盒子内部的终端模拟器输入su回车然后reboot update&/p&&p&三，将配置好的U盘中的armbian系统写入到内置eMMC，并修改引导，直接从内置emmc启动，不再需要插入U盘。&/p&&p&参考资料：&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//www.right.com.cn/forum/thread--1.html& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&[N1盒子] 成功！把Armbian 安装到 emmc并直接从 emmc 启动&/a&&/p&&p&安装步骤为：&/p&&ol&&li&下载原文中附件install.gz脚本，上传释放到N1的/root目录下，名称为install.sh，并赋予执行权限；&/li&&li&以root用户执行（第二行操作时间较长请耐心等待执行完成）:&/li&&/ol&&p&&code&cat /proc/cmdline&/code&&br&&code&nand-sata-install&/code&&br&&code&## 取消U盘上第二分区的 ROOTFS 标签，并给 emmc 上的data分区打上ROOTFS的标签&/code&&br&&code&e2label /dev/sda2 &&&/code&&br&&code&e2label /dev/data &ROOTFS&&/code&&/p&&p&3.关机并拔下U盘，重新上电，正常情况下可启动到Linux。&/p&&p&&br&&/p&&blockquote&原理说明：&br&基本原理：uboot 命令中支持读取 ext4 文件系统，所以：&br&1，在把root系统安装到 emmc&br&2，设置uboot 里面的环境变量，让系统先尝试从U盘启动，如果没有U盘的话，再尝试 emmc 的data分区上的armbian 相关文件&br&3，如果都没有，再尝试启动盒子上的 android 系统。&br&风险：&br&不会破坏系统上原先的android 系统，但是安装了 armbian 系统之后，没有一定的linux 基础知识，你可以回不去 android 系统。&br&基于某些测试，ext4load 命令偶尔会读取不了文件，所以想尝试的同学，需要一个大心脏，有一定的机率失败。&br&系统是直接启动到 armbian 了，想回到 android 怎么办？android 和 armbian 可以自由切换&br&很简单，启动到 armbian 系统后，只需要把 /boot/s905_autoscript 改个名字，重新启动就会跑到 android 系统去了。如果想回到armbian 系统，只需要在 android 系统里面，把 /data/boot/下面 s905_autoscript 名字改回来就行了。&/blockquote&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-e6ef63b4e81aaee24968e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&675& data-rawheight=&591& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&675& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-e6ef63b4e81aaee24968e_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-f71bae911fda5faad4177e2b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&452& data-rawheight=&208& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&452& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-f71bae911fda5faad4177e2b_r.jpg&&&/figure&&p&内置eMMC读取速度，比采用SD卡做根文件系统的Pi不知高到哪里去了。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-60d0b7a909ce458ac45de1_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&637& data-rawheight=&376& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&637& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-60d0b7a909ce458ac45de1_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-ac692bc86c5f58d1a868b80_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&622& data-rawheight=&469& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&622& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-ac692bc86c5f58d1a868b80_r.jpg&&&/figure&&h2&补充：N1刷入Linux后可以删除掉的原分区及内容&/h2&&p&以下操作会完全破坏掉Android系统，只能用Linux，不过随时可以线刷回来，不要动emmc的分区结构：&/p&&p&1./dev/data里面的内容：先cd到/下，删除以下目录中内容，占用空间比较多。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-54f30e447c40dca97b2e4_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&443& data-rawheight=&588& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&443& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-54f30e447c40dca97b2e4_r.jpg&&&/figure&&p&2.格式化掉android的system分区，记得先挂载上看看内容对不对再mkfs，为了安全起见：&/p&&div class=&highlight&&&pre&&code class=&language-text&&&span&&/span&sudo mkfs.ext4 /dev/system
&/code&&/pre&&/div&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-84b3f881ada8d452e20234_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1010& data-rawheight=&548& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1010& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-84b3f881ada8d452e20234_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&然后把/dev/system随便挂载到什么地方就可以用了。&/p&&p&不知道哪些分区还能干掉，目前不敢动别的，希望各位补充。&/p&&p&最终容量如图所示：&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-9ba7e84fd4fa646ae2fef9_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&560& data-rawheight=&219& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&560& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-9ba7e84fd4fa646ae2fef9_r.jpg&&&/figure&&p&转载请标明来源：&a href=&http://link.zhihu.com/?target=https%3A//wiki.wenyinos.org/index.php//phicomm-n1-install-armbian-linux/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&在斐讯N1盒子上刷入armbian Linux系统 - 玟茵开源社区知识库&/a&&/p&
在N1内置eMMC中刷入Linux armbian，不需要外置USB设备启动，除了没有GPIO外和各种Pi功能完全一样，内置千兆以太网/2.4+5GWiFi/Bluetooth/USB2.0*2/HDMI，硬件配置为Amlogic S905D 1.5GHz*4 Cortex-A53+2GB RAM+8GB eMMC（Linux可用5GB） 在二手平台收购全新…
&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.learnopengl.com/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Learn OpenGL, extensive tutorial resource for learning Modern OpenGL&/a&&br&&br&并且这个教程有对应的中文版：&br&&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//learnopengl-cn.readthedocs.org/zh/latest/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&LearnOpenGL-CN&/a&或者&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//bullteacher.com/category/zh_learnopengl_com& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&LearnOpenGL简体中文版&/a&&br&&br&&ol&&li&手把手教modern OpenGL，完全去除固定管线内容&/li&&li&相对于&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//open.gl/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&OpenGL - Introduction&/a&，讲解更细致，对初学者更友好&/li&&/ol&
并且这个教程有对应的中文版： 或者 手把手教modern OpenGL，完全去除固定管线内容相对于，讲解更细致，对初学者更友好
&p&&b&更新：经过评论区各位的测试，由于这个网站是调用的谷歌翻译，然而谷歌在国内的访问很不稳定，所以建议各位搭个梯子，科学上网。&/b&&/p&&p&看到这个问题忍不住来安利一个网站，堪称留学生考试季的神器&/p&&p&网址：&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.onlinedoctranslator.com/zh-CN/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&免费的在线文档翻译器——保留原文档的排版（Word、PDF、Excel、Powerpoint、OpenOffice、文本）&/a&&/p&&p&无法从知乎跳转链接打开的朋友试一下&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.xn--onlinedoctranslator-uf55ao30kz53elnwk.com/zh-CN/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&www.删除汉字onlinedoctranslator.com/zh-CN/&/a& 复制到浏览器。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-7cd8a587118_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1855& data-rawheight=&865& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1855& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-7cd8a587118_r.jpg&&&/figure&&p&这个网站可以在线把PPT或者PDF转换成104种语言，最关键的是可以保留原有文档的排版和格式。&/p&&p&举个例子：&/p&&p&这是我上的AWI课程的德文pdf课件，大多数人不懂德语什么都看不懂对不对？&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-8fd8efbc50b47edacc48f_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2470& data-rawheight=&1332& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2470& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/v2-8fd8efbc50b47edacc48f_r.jpg&&&/figure&&p&再来看看这是经过网站翻译的中文版课件，翻译质量还是可以接受的，至少能字面理解这门课的学习目标是什么了。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-210e32b1bba02fcd4ea354c9c6bcb388_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2478& data-rawheight=&1336& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2478& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-210e32b1bba02fcd4ea354c9c6bcb388_r.jpg&&&/figure&&p&翻译质量能让一个完全不懂这门语言的人短时间内了解一份文档的主旨，想要精准理解每一个细节不太现实。&/p&&p&这网站对我而言，一般就是用来新课程材料下发后，花半小时就能了解这个学期这门课都有哪些知识点。至于进一步去学习和理解这些知识点，网站用的google翻译怕是不行了。&/p&&p&特意录了一个视频，视频里就是上文提到的AWI的pdf课件（共49页德文）。前后翻译时间不超过两分钟。&/p&&p&但是之前一次翻译也等了十分钟不到，可能和当前访问网站的人数有关？我凌晨做的测试，翻译过程本身不超过30秒（右上角有时钟显示）&/p&&a class=&video-box& href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//www.zhihu.com/video/354688& target=&_blank& data-video-id=&& data-video-playable=&true& data-name=&& data-poster=&https://pic1.zhimg.com/80/v2-6c4da83d8c_b.jpg& data-lens-id=&354688&&
&img class=&thumbnail& src=&https://pic1.zhimg.com/80/v2-6c4da83d8c_b.jpg&&&span class=&content&&
&span class=&title&&&span class=&z-ico-extern-gray&&&/span&&span class=&z-ico-extern-blue&&&/span&&/span&
&span class=&url&&&span class=&z-ico-video&&&/span&https://www.zhihu.com/video/354688&/span&
&/a&&p&&b&翻译等待时间过长的朋友建议把pdf先转换成ppt再导入翻译，这样时间会短很多。pdf转ppt的网站&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//smallpdf.com/cn/pdf-to-ppt& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&PDF转PPT转换器 - 免费服务&/a&。回答的举例中那个49页的pdf大概用时5-10分钟，期间干点别的事就好了。&/b&&/p&
更新：经过评论区各位的测试，由于这个网站是调用的谷歌翻译，然而谷歌在国内的访问很不稳定，所以建议各位搭个梯子，科学上网。看到这个问题忍不住来安利一个网站，堪称留学生考试季的神器网址：
先不要脸的推荐一下我自己写的几个PyQt玩意儿&br&1.模仿Mac虾米的客户端，还没有写完，PyQt4，Python2&br&&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//github.com/harry159821/XiamiForLinuxProject& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&GitHub - harry159821/XiamiForLinuxProject: Xiami For Linux Project&/a&&br&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/6bee6705546_b.jpg& data-rawwidth=&1029& data-rawheight=&689& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1029& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/6bee6705546_r.jpg&&&/figure&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/de1b1a4be160aaf35426e_b.jpg& data-rawwidth=&1025& data-rawheight=&687& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1025& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/de1b1a4be160aaf35426e_r.jpg&&&/figure&后面两个布局就没这个强度了&br&2.给Drrr的简单客户端，PyQt5, Python2&br&&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//github.com/harry159821/DrrrClient& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&GitHub - harry159821/DrrrClient: DrrrClient For PC&/a&&br&B站展示视频 &a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.bilibili.com/video/av2790951/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&无头骑士Drrr网页电脑版客户端&/a&&br&网页介绍 &a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//harry159821.github.io/DrrrClient/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Drrr PC Client&/a&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/cdb07ed59fe332daaa2e5_b.jpg& data-rawwidth=&1365& data-rawheight=&767& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1365& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/cdb07ed59fe332daaa2e5_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/038f67f226bfcea9c5ec91f10d3e81d1_b.jpg& data-rawwidth=&1365& data-rawheight=&767& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1365& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/038f67f226bfcea9c5ec91f10d3e81d1_r.jpg&&&/figure&其实只是个浏览器，里面都是 网页&br&3.给一个电表写的显示，PyQt4，Python2&br&&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//github.com/harry159821/TDM1001UpMachine& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&GitHub - harry159821/TDM1001UpMachine: TDM1001UpMachine&/a&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/a18c53485e0ffba03b334a484f1ef5eb_b.jpg& data-rawwidth=&1366& data-rawheight=&768& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1366& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/a18c53485e0ffba03b334a484f1ef5eb_r.jpg&&&/figure&&br&其他作品&br&1.网易云音乐 ubuntu 第三方客户端，PyQt5 Python3&br&&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//github.com/cosven/FeelUOwn& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&GitHub - cosven/FeelUOwn: nothing but the alternate&/a&&br&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/7a578b0d419dba6aae6c11f_b.jpg& data-rawwidth=&2560& data-rawheight=&1600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2560& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/7a578b0d419dba6aae6c11f_r.jpg&&&/figure&2.Windows虾米客户端 Qt4，C++&br&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/3d72a9d49d69ae3d10bd4e_b.jpg& data-rawwidth=&1045& data-rawheight=&623& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1045& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/3d72a9d49d69ae3d10bd4e_r.jpg&&&/figure&&br&&br&第一次答，有不正请见谅，有再见好项目再更&br&好的设计确实很重要
先不要脸的推荐一下我自己写的几个PyQt玩意儿 1.模仿Mac虾米的客户端，还没有写完，PyQt4，Python2
后面两个布局就没这个强度了 2.给Drrr的简单客户端，PyQt5, Python2
&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-ca629e3baa8a45f800c24f7a65c39e76_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&2929& data-rawheight=&1072& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2929& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-ca629e3baa8a45f800c24f7a65c39e76_r.jpg&&&/figure&&p&机器学习和 AI 现在有多热门热门不用多说了，作为全球最大的科技公司之一，全球头号 AI 巨头谷歌今天推出了一个超大福利——「&b&Learn with Google AI&/b&」。&/p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//ai.google/education/& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&ai.google/education/&/span&&span class=&invisible&&&/span&&/a&&p&谷歌在其以往介绍 AI 产品和研究成果的网站 &a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//ai.google/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&ai.Google&/a& 上线了一个新版块 Learn with Google AI，汇集了各种 AI 学习资源，目的是帮助广大学者、研究人员、开发者、学生等学习和掌握 AI 基础知识、模型搭建技术、开源工具使用等方面的 AI 技术应用能力。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-7dddceaeec92c5a148990ccd_b.jpg& data-size=&normal& data-rawwidth=&1002& data-rawheight=&771& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1002& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-7dddceaeec92c5a148990ccd_r.jpg&&&figcaption&ai.Google上丰富的学习资源&/figcaption&&/figure&&p&&br&&/p&&p&而在这其中最引人瞩目的一个资源就是免费课程《&b&机器学习速成课程&/b&》（MLCC），谷歌将其定义为“机器学习热爱者的自学指南”。这门课程不仅有指导性课程视频，还有练习题以及交互性可视化内容，将学习和实践融为一体。&/p&&p&&br&&/p&&p&&b&当然，最最重要的是，这套课程有中文版！有中文版！有中文版！&/b&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-181c12fb8eb64caded9b486_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&300& data-rawheight=&300& class=&content_image& width=&300&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&课程目前包含 25 节课程、40 多项练习、实际案例研究、谷歌研究人员讲座等内容，课程总耗时大约 15 小时。从理论上讲，完成课程学习即可具有相当的机器学习开发水平。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-b232a46f4bc1fc77d24b055b1cd54540_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1302& data-rawheight=&491& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1302& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-b232a46f4bc1fc77d24b055b1cd54540_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&本门课程会解答以下几个问题：&/p&&ul&&li&机器学习与传统编程的不同之处&/li&&li&什么是损失，如何衡量损失&/li&&li&梯度下降法的运作方式&/li&&li&如何确定搭建的模型是否有效&/li&&li&怎样为机器学习提供数据&/li&&li&怎样构建深度神经网络&/li&&/ul&&p&&br&&/p&&p&其实最开始这种速成式课程是谷歌内部使用的教程，用来培训员工学习基础的机器学习知识。前后有1万8千名谷歌员工参与学习，取得良好的效果，MLCC 课程的成功也促使谷歌决定向大众公开这些学习资源。&/p&&p&&br&&/p&&p&那么我们就来瞧瞧《机器学习速成课》这门中文版的“谷歌独门秘籍”长啥样。&/p&&p&&br&&/p&&p&这门课一共有&b&英、中、法、西、韩&/b&五个语言版本，你在中国区打开后默认为中文版。&/p&&p&从“汉化版”这方面讲，这门课做的可以说是很彻底了，从画面内容到课程声音再到字幕，全都有中文。没错，虽然视频画面中讲课的人是老外，但声音仍为中文，只是听起来不那么自然，&b&因为课程中的声音都是谷歌用机器学习技术生成的&/b&。（不用才怪了）&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-af7ed6cf24013c_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&876& data-rawheight=&672& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&876& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-af7ed6cf24013c_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&点击视频左下角，就会出现相应的字幕。如果你对中文版字幕有些地方表示疑问，还可以从视频下方工具栏中切换到英语原文。当然也可以调节声音语速，我们试了下2倍语速，嗯，打开了新世界的大门。（真当Googler不上b站？）&/p&&p&&br&&/p&&p&在课程视频里讲解代码的时候，连解释都是中文的，可以说相当贴心了：&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-182ee1ee37aa6ae659bb35a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&859& data-rawheight=&603& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&859& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-182ee1ee37aa6ae659bb35a_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&而且每个视频讲座后面，还附有相应的知识点总结：&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-c345e6d4cf0ce195ce94a0e_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&888& data-rawheight=&712& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&888& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-c345e6d4cf0ce195ce94a0e_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&看到这里是不是心动了，想直奔课程而去，但是等等，先得提醒你一下，虽然这门课是面向大众的机器学习入门课，但要想学习下去&b&得有点基础知识和准备工作&/b&，哪些呢？&/p&&p&&br&&/p&&ul&&li&&b&掌握入门级的代数知识&/b&。你应该了解变量和系数、线性方程式、函数图和直方图（熟悉对数和导数等更高级的数学概念会有帮助，但不是必需条件）等。线性代数中的矩阵乘法、张量和张量等级等概念也要掌握。（这个集智有对应课程：&/li&&/ul&&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//jizhi.im/course/pt_ms& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic1.zhimg.com/v2-128f133f71c9d0f5d4bf170_180x120.jpg& data-image-width=&1920& data-image-height=&1271& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&概率论与数理统计 - 集智课堂&/a&&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//jizhi.im/course/dl_la& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic3.zhimg.com/v2-6f11ec58db321c68c8ce_180x120.jpg& data-image-width=&1080& data-image-height=&675& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&深度学习所需的线性代数 - 集智课堂&/a&&ul&&li&&b&具有基础的Python编程技能&/b&。本门课中的编程练习是通过 TensorFlow 并使用 Python 进行编码，虽然无需拥有使用 TensorFlow 的任何经验，但你应该能够熟练阅读和编写包含基础编程结构（例如，函数定义/调用、列表和字典、循环和条件表达式）的 Python 代码。（这个集智也有对应课程：&/li&&/ul&&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//jizhi.im/course/dl_python& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&深度学习所需的 Python 基础 - 集智课堂&/a&&ul&&li&&b&最好事先了解一些工具。&/b&一些第三方 Python 库如 Matplotlib，Pandas，Seaborn，NumPy 和 Scikit-learn 等可以学习课程前了解一下。（这个集智有对应的专栏：&/li&&/ul&&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//jizhi.im/blog/post/10min2pandas01& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic1.zhimg.com/v2-f8978acdf0c_180x120.jpg& data-image-width=&580& data-image-height=&363& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&[Pandas] 10分钟Pandas之旅 01 - 集智专栏&/a&&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//jizhi.im/blog/post/sklearntutorial01& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& data-image=&https://pic2.zhimg.com/v2-f636e137d_180x120.jpg& data-image-width=&1830& data-image-height=&1144& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&[Scikit-learn教程] 01 快速入门 - 集智专栏&/a&&p&&br&&/p&&p&当然对于你需要补充的知识，比如数学概念和编程教程，谷歌自己也分享了资源链接，但有相当一部分都是英文资源，想看中文版的同学可以先在上面几个集智的帖子里研读一番。&/p&&p&&br&&/p&&p&除了机器学习速成课程，「&b&Learn with Google AI&/b&」目前还包括了机器学习词汇表、TensorFlow API MLCC 课程、TensorFlow 动手实验室、谷歌云机器学习开发课程和样例等丰富的内容，谷歌 AI 教育团队表示还会继续扩充更多的课程和文档资源。&/p&&p&&br&&/p&&p&谷歌在致力于 AI 教育的推广上已经有一些时日了，像 TensorFlow 等先进的项目、cat doodles 等富有趣味性的项目都在试图用一种更实际的方式向大众展示 AI。这次公开 Learn with Google AI，特别是《机器学习速成课程》，迈出了实质性的一大步，充分显示了谷歌让AI技术触手可及的初衷。&/p&&p&&br&&/p&&p&AI 已经展示出了解决复杂问题的能力和变革整个工业界的潜力，这也要求 AI 多样化展现人类观念和需求。谷歌开放这些 AI 教育资源让 AI 技术本身、让 AI 技术的好处对每个人都有机会接触，尤其让感兴趣的人明白如何用 AI 解决有难度的问题。&/p&&p&&br&&/p&&p&如果你对 AI 有浓厚的兴趣，也有足够的知识基础，那就快去学习体验吧：&/p&&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//ai.google/education/& data-draft-node=&block& data-draft-type=&link-card& class=& external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&ai.google/education/&/span&&span class=&invisible&&&/span&&/a&&hr&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-6c91d938237aaf7e7daa_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1200& data-rawheight=&1000& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-6c91d938237aaf7e7daa_r.jpg&&&/figure&
机器学习和 AI 现在有多热门热门不用多说了，作为全球最大的科技公司之一，全球头号 AI 巨头谷歌今天推出了一个超大福利——「Learn with Google AI」。谷歌在其以往介绍 AI 产品和研究成果的网站
上线了一个新版块 Learn wi…
&p&18年1月15日更新:&/p&&p&新修改的软件的下载链接已经放在文章里，欢迎下载啦(??▽?)?&/p&&p&&a href=&https://zhuanlan.zhihu.com/p/?iam=97a4bc37aeb&utm_source=com.example.android.notepad&utm_medium=social& class=&internal&&&span class=&invisible&&https://&/span&&span class=&visible&&zhuanlan.zhihu.com/p/32&/span&&span class=&invisible&&937252?iam=97a4bc37aeb&utm_source=com.example.android.notepad&utm_medium=social&/span&&span class=&ellipsis&&&/span&&/a&&/p&&p&=============================&/p&&p&原答案:&/p&&p&以前专门写了个程序输出随机的手写体文字..（软件截图在最后）&/p&&p&------------------------------------------------------------&/p&&p&高中的时候，有次寒假
老师布置了量非常大的古文抄写，对我这种极其不喜欢抄东西的人简直是暴击...&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-5ac7782faee50fb4e7bf40edeb88437a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&363& data-rawheight=&192& class=&content_image& width=&363&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&当时灵机一动，写了一个程序，可以将我的手写体矢量录入电脑(用数位板)&br&在用这套程序输出手写体的文字时，程序会对每个字进行随机的变换，也就是说，每两个字的在输出后的样子都是不一样的，这样就能达到完全模拟我的手写体的效果了(??▽?)?&/p&&p&程序写起来很快，就是录入各种常用汉字用了好几天....&br&但到最后打印出的效果还是超棒的&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-a8deab7ddf90dcb64ef23_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1140& data-rawheight=&640& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1140& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-a8deab7ddf90dcb64ef23_r.jpg&&&/figure&&p&目前只能找到这张膜糊的皂片↑&/p&&p&最主要的的是，到最后 ，顺利地通过了老师的检查&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/v2-b9e8db74ec655d1685df2a_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&70& data-rawheight=&74& class=&content_image& width=&70&&&/figure&&p&-----------------------------------------------------------&/p&&p&有这么多人要看截图，我就放出来吧&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-afed66bbe954eaa6bec43c9b_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&1229& data-rawheight=&566& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1229& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-afed66bbe954eaa6bec43c9b_r.jpg&&&/figure&&p&不要吐槽字丑.. 当时用画板录入时就写的这样的字.._(:зゝ∠)_&/p&&p&&br&&/p&&p&楼上&a class=&member_mention& href=&//www.zhihu.com/people/51c35da0f609c15d3e15e8f971c2ca61& data-hash=&51c35da0f609c15d3e15e8f971c2ca61& data-hovercard=&p$b$51c35da0f609c15d3e15e8f971c2ca61&&@UncleSugar&/a&聚聚给的方法非常棒，打算有空搞成软件试试... &/p&&p&==============================&/p&&p&总结了一下，评论里大体有这么几类问题..&br&&br&1. 看不出来是打印的字吗? 笔印怎么办?&/p&&p&
是这样的，因为字形本身就已经非常像手写的字了，通常不会被一下子怀疑是机打的。(除非用了很烂的打印机或者碰到了警惕性极高的老师..)&/p&&p&
我当时在打印后找了个用完的笔芯，花了几分钟随便描了一下(肯定不是很仔细地全描完)，然后就完美了..&br&&br&2. 没有涂改的痕迹啊..&br&&/p&&p&
我打印后故意用笔仿造了不少涂改的地方。不过我觉得涂改痕迹可以作为一个功能加到下一个版本里..&/p&&p&3. 字不都一样的吗？&/p&&p&
emm 谁说都一样了 ?!
∑(°口°?)
每个字输出后都会在原有字形的基础上进行随机变换的，所以任何时候输出的每个字都是不一样的，软件截图左边的偏移权重就是控制随机变换的，权重越大，随机变换的力度也就越大&/p&&p&4. 要打印到专门的作业本上怎么办？&/p&&p&
打算加入可以直接把作业纸的线条绘制在输出的图象里的功能，这样打印出来就直接是作业纸的效果了.(??▽?)?&/p&&p&5. 只有我本人的字体吗？/为什么不试试机器学习拟合每个人自己的字体？&/p&&p&
没错，目前只有我当时录入的我自己的手写体...&/p&&p&
机器学习什么的... 我当时确实也想到过，但对于一名高中生来说，根本办不到啊....
不过我现在就是学机器学习这一方面的，希望以后能用到里面吧..&/p&&p&6. 不怕被hexie吗&/p&&p&
┑(￣Д ￣)┍&/p&&p&7. 什么时候发分享链接啊..&/p&&p&
不知道..最近忙着各种备考....所以等做好可能是下个月了吧(根据我拖延的尿性到明年也说不准..)&/p&&p& 到时候我会专门写一篇文章介绍新版本的 _(:зゝ∠)_&/p&&p&&br&&/p&&p&还有其他问题的话请直接私信告诉我..
(?▽｀)ノ?&br&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-082a98794bfefd71e0a2bf9_b.jpg& data-caption=&& data-size=&normal& data-rawwidth=&198& data-rawheight=&198& class=&content_image& width=&198&&&/figure&
18年1月15日更新:新修改的软件的下载链接已经放在文章里，欢迎下载啦(??▽?)?=============================原答案:以前专门写了个程序输出随机的手写体文字..（软件截图在最后）----------------------------------------…
&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-216cff0eeb6f0bd01c4598a_b.jpg& data-rawwidth=&1200& data-rawheight=&750& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-216cff0eeb6f0bd01c4598a_r.jpg&&&/figure&&p&之前 AppSo（微信公众号 AppSo）介绍了 Windows 笔记本的触控板调试教程，遗憾的是，囿于软硬件等方面的不足，Windows 笔记本的触控体验和 MacBook 相比似乎总是差那么一截。&br&&/p&&p&所幸在平板领域，Win 平板在触控上较之于 iPad 终于扬眉吐气了一回。&/p&&blockquote&虽然拿电脑系统和大屏幕的 iOS 比一点都不厚道 &/blockquote&&p&搭载着桌面级 Windows 的平板具有高度可定义性，你可以通过安装各种软件来实现功能上的巨大延伸，比如今天要介绍的 GestureSign 就能让你的 Win 板触控效率提高好几倍。&/p&&p&GestureSign 是一款开源的 Win 板手势增强软件，支持添加丰富的多指手势，包括但不限于调节屏幕亮度，调节音量，关闭窗口等，从而实现全局或自定义程序的触控操作，习惯了你就再也离不开它。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/v2-f9de2a3afceaa6fb4f30aa_b.jpg& data-rawwidth=&1000& data-rawheight=&562& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1000& data-original=&https://pic3.zhimg.com/v2-f9de2a3afceaa6fb4f30aa_r.jpg&&&/figure&&p&GestureSign 发布在 Windows 自带商店中，经过微软审核通过，较之于传统 EXE 程序有&strong&安全无捆绑、资源占用小、下载安装便利&/strong&等优点，你也可以访问&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//transposony.coding.me/GestureSign/& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&官网&/a&下载 EXE 版。&/p&&p&安装完成后打开，任务栏会出现「G」的软件图标，手势操作就被激活了。&/p&&p&如果你想暂时禁用手势，可以双击「G」图标使之变红，反之同理。&/p&&p&GestureSign 的主界面带着浓浓的 WP 风，以便触摸操作。&/p&&p&而设置项非常简单，从左到右依次对应&strong&手势动作设置、已设手势预览、忽略程序名单、轨迹外观及其他设置&/strong&这几个页面。&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/v2-5fd69f2d80aa0a2641089bacaae1d4a1_b.jpg& data-rawwidth=&1000& data-rawheight=&562& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1000& data-original=&https://pic2.zhimg.com/v2-5fd69f2d80aa0a2641089bacaae1d4a1_r.jpg&&&/figure&&p&在「动作」页面，你可以添加编辑手势，&strong&手势的添加分为两个步骤，一个是「设置命令」，另一个是「录制手势」&/strong&。&/p&&p&GestureSign 支持丰富的内置命令，比如放大窗口、调节亮度等，还有效用以一敌百的「&strong&发送快捷键&/strong&」，意味着类似于 Alt + F4 一类的常用快捷键都能通过一个手势来完成——毕竟平板以触摸为主，硬生生配个键盘是要干什么呢？&/p&&p&进一步讲，当找不到想要的命令时，不妨换个思路从键盘快捷键入手，你会茅舍顿开。&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/v2-122c4a4fb4fb4d4c759ea7c9c80679c3_b.jpg& data-rawwidth=&1000& data-rawheight=&562& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1000& data-original=&https://pic4.zhimg.com/v2-122c4a4fb4fb4d4c759ea7c9c80679c3_r.jpg&&&/figure&&p&手势直接录制是 GestureSign 最值得称道的地方，你不仅可以在录制时直接体会手势本身是否足够顺手，还可以通过&strong&多达十指触控配合「点、划、闭合、旋转」技巧玩出万千花样&/strong&。&/p&&p&如果习惯了 iPad 五指交合和四指上划手势，借助于 GestureSign ，你现在只要添加两个设置项就能实现相同的体验。&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/v2-9c861d640e886e4f1ba510ffa082b1a4_b.jpg& data-rawwidth=&1000& data-rawheight=&562& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1000& data-original=&https://pic1.zhimg.com/v2-9c861d640e886e4f1ba510ffa082b1a4_r.jpg&&&/figure&&p&值得一提的是，Windows 本身自带一些基础手势，比如新版本的 Win 10 支持左边缘滑动进入任务视图，右边缘滑动打开通知中心等，都是很方便的手势，值得保留。&/p&&p&GestureSign 可谓 Windows 平板必备软件，有了它的加持，即便是和 MacBook 比，Win 板也毫不逊色，谁叫 MacBook 没有触摸屏呢。&/p&&p&而使用桌面级&strong&非触屏设备&/strong&的 Windows 用户，也可以安装 GestureSign，而后在设置里打开「鼠标手势」，以鼠标代替手指操作，虽然体验会比触屏设备弱得多，但基本操作应该还是可以实现的。&/p&&p&如果你还有疑问， AppSo（微信公众号 AppSo）建议你访问&a href=&http://link.zhihu.com/?target=http%3A//transposony.coding.me/GestureSign/%23/guide& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&官网&/a&获取更详细的教程。&/p&&p&GestureSign 适用于 Windows 8.1 + 的平板设备，大小 2.6 MB，完全免费。&/p&&p&&b&关注微信公众号 AppSo，回复「高清优质」获取一款 Windows 壁纸软件，高清优质壁纸免费下。&/b&&/p&
之前 AppSo（微信公众号 AppSo）介绍了 Windows 笔记本的触控板调试教程，遗憾的是，囿于软硬件等方面的不足，Windows 笔记本的触控体验和 MacBook 相比似乎总是差那么一截。 所幸在平板领域，Win 平板在触控上较之于 iPad 终于扬眉吐气了一回。虽然拿电脑…
&p&首先来个思考题&/p&&p&小年轻会比较熟悉的例子。&/p&&p&我们知道以前微博每个条子只能140个字。&/p&&p&这个时候，你觉得靠发微博每条字数多，能成为大V吗？&/p&&br&&p&放在前面：&/p&&p&&b&一场考试如果比的是谁智商高，那么测一测智商就有结果了。&/b&&/p&&p&&b&不管录取几个，数字一排，轻轻松松。&/b&&/p&&p&&b&而如果一场考试比的是谁每天花的时间多，&/b&&/p&&p&&b&那么冠军一定是一群数量远超录取人数的24小时并列第一。&/b&&/p&&br&&p&&b&由于竞争胜利者必须具有稀缺属性，所以这个世界上所有真正有价值的竞争本质上来讲，&/b&&/p&&p&&b&永远不会比“谁每天花的时间多”，“哪个微博发言字数多”之类一下子就到达极限的项目。&/b&&/p&&p&&b&永远会比类似“谁的智商高”，“谁的微博更吸引眼球”之类绝大部分人不可能到达极限的项目。&/b&&/p&&br&&p&然后做思考题：&/p&&p&&b&当所有人都可以使用同一种方法，而这种方法最大效率很容易就达到的时候，你用什么去赢？&/b&&/p&&p&&b&你不能赢，所以你根本不应该把使用这种方法当作战略武器。&/b&&/p&&br&&p&然后思考：&/p&&p&假设两个人学习效率一样，A每天学习5个小时，B为了比A牛逼，最简单的办法是什么呢？&/p&&p&对，学习6个小时就行了。得到这个方案根本不用动脑子。&/p&&p&于是C每天花7个消失，D每天花8个小时，以此类推。&/p&&p&直到有一个人天生具有超能力每天不用睡觉，它可以花24个小时。&/p&&p&得到这些解决方案，不用思考，不用反省，不用死脑细胞，只要是个人都能想到。&/p&&p&这就叫“向下突破”。&/p&&br&&p&而另一种方案：在应付考试当中，提升练习题命中率，从练习题中归纳套路，从套路中获取“顿悟”，从“顿悟”中领悟更高级的学习方式，思考方式，从而极大提高自己的时间利用效率，则是只可意会不可言传的高端方案。这需要花费大量的脑细胞去思考：到底如何才能提升自己的学习投入/产出比。而这种提升，要死大量的脑细胞，大部分人做不到。&/p&&p&这就叫向上突破。&/p&&br&&p&向下突破因为极低的门槛，大部分人都能复制的模式和方法，决定了最终这种方法的靠谱程度一定很低。&/p&&p&&b&向上突破是没有极限的。所以，只有向上突破，才是笑到最后的唯一可行的方式。&/b&&/p&&br&&p&毛坦厂就是典型的“向下突破”模式：&/p&&p&我比你认真，我比你努力，我比你卖命，我比你虔诚。&/p&&p&然并卵，因为向下突破这个方案门槛足够低，低到随便阿猫阿狗都能模仿，在中国14亿人口面前，有无数人可以比你更认真，更努力，更卖命。而社会允许的赢家数量，远远小于这部分比你更认真，更努力，更卖命的人。&/p&&br&&p&&b&如果认真，努力，机械式卖命到极限就能成功的话，&/b&&/p&&p&&b&那么请问：为什么另一个一样努力，一样认真，一样卖命的人要失败呢？&/b&&/p&&p&&b&向下突破和向上突破比，最大的问题就在于：客观的物理世界决定了你在这个方向上无法通过主观能动性比他人做得更优秀。比如：拼熬夜做题，比如脑残加班。&/b&&/p&&p&&b&这就是为什么奋斗逼没有好下场，毛坦厂模式效率依旧很低的原因。&/b&&/p&
首先来个思考题小年轻会比较熟悉的例子。我们知道以前微博每个条子只能140个字。这个时候，你觉得靠发微博每条字数多，能成为大V吗？ 放在前面：一场考试如果比的是谁智商高，那么测一测智商就有结果了。不管录取几个，数字一排，轻轻松松。而如果一场考试…
&p&前两天突然发现“微软雅黑”字体的版权不完全归微软所有，如果未经授权商用属于侵权行为...之前一直用微软雅黑，现在得换了。网络上还没有非常完整的开源中文字体的总结，因为自己在搜集，所以就在这里记录一下，如果某位设计师看到了，能提供一点帮助，则最好不过;)&/p&&p&更新：&/p&&p&10.思源宋体&/p&&p&经过长达一点年半的研发，Adobe 联合 Google 于 2017 年 4 月 3 日发布了思源宋体（ Source Han Serif，Google 称 Noto Serif CJK）。和思源黑体一样，思源宋体以 “SIL 开放字体许可证” 开源发行，且同样含简繁日韩四种汉字写法和七种粗细字重给出。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-24da9e2e0e2c88a3ea9b9_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&1200& data-rawheight=&680& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1200& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/v2-24da9e2e0e2c88a3ea9b9_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&1.方正免费字体&/p&&p&&b&免费字体：&/b&包括四种字体：方正黑体、方正书宋、方正仿宋、方正楷体。针对“商业发布”这种使用方式免费。&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/ebc0fdc3de76f1f_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&454& data-rawheight=&355& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&454& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/ebc0fdc3de76f1f_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/6d1fb5cc9fe8e_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&454& data-rawheight=&355& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&454& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/6d1fb5cc9fe8e_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/18a07b19629eba8c66e2f123ce71326d_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&454& data-rawheight=&355& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&454& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/18a07b19629eba8c66e2f123ce71326d_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/b77dd532c6bf642aef7de4105adc8910_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&454& data-rawheight=&355& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&454& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/b77dd532c6bf642aef7de4105adc8910_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&2.王汉宗自由字形&/p&&p&由中原大學數學系王漢宗教授所研發、捐贈，採用GPL授權，免費使用。各位老師及網友，可以推廣使用。&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/fa06d6ee6d89a246cb6cbd_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3509& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/fa06d6ee6d89a246cb6cbd_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/7b08abdc11d761cbb677fb089fcf0d8e_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&2480& data-rawheight=&3509& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&2480& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/7b08abdc11d761cbb677fb089fcf0d8e_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&3.文鼎公众授权字体（经知友&a href=&https://www.zhihu.com/people/serenatian& class=&internal&&Serena T&/a&提示，此几款字体为非商业免费使用，知友给出了购买地址：&a href=&//link.zhihu.com/?target=http%3A//www.yestone.com/fonts& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Yestone邑石网_云字库_ifontcloud_文鼎字体战略合作伙伴&/a&，进行商业用途时须购买字体。）&/p&&p&文鼎科技非常熱心於開源軟體社群的公眾授權字型(Public License Font)提供，於2001年捐贈了四套字型予開源軟體社群：文鼎細上海宋（繁體 Big5碼）、文鼎中楷（繁體 Big5碼）、文鼎簡報宋（簡體 GB碼）、文鼎簡中楷（簡體 GB碼），作為Linux等開源軟體社群的&b&非商業免費使用&/b&，廣受開源軟體社群的好評。 &br&&br&2010年文鼎再提供2套新的中文公眾授權字型(Public
License Font)，給開源軟體社群在非商業上的免費使用，包含文鼎ＰＬ明體U20-L(繁體Unicode 2.0碼)、文鼎ＰＬ報宋2GBK(簡體GBK碼)。新的中文公眾授權字型，採用Unicode及GBK編碼，漢字字數分為20902字及21003字，較舊版本的公眾授權字型多出7000多字及14000多字。&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/a019cb4edeaccba_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&912& data-rawheight=&48& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&912& data-original=&https://pic2.zhimg.com/50/a019cb4edeaccba_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/00fe92d59b_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&912& data-rawheight=&48& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&912& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/00fe92d59b_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/d6aae7a96cd_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&912& data-rawheight=&48& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&912& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/d6aae7a96cd_r.jpg&&&/figure&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/0bd9d7fc6f4a0b60e6b2a_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&912& data-rawheight=&48& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&912& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/0bd9d7fc6f4a0b60e6b2a_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&4.思源黑体&/p&&p&&b&思源黑体&/b&（&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E8%258B%25B1%25E8%25AF%25AD& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&英语&/a&：Source Han Sans）是&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/Adobe& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Adobe&/a&与&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/Google& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Google&/a&所领导开发的&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E5%25BC%%25BA%2590& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&开源&/a&&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E5%25AD%%259E%258B& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&字体&/a&家族，1.001及更早版本以&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/Apache_2.0& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Apache 2.0&/a&许可证授权，而1.002及更新版本则使用&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/SIL%25E5%25BC%%25BA%%25AD%%25BD%%258E%%259D%2583& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&SIL开源字体授权&/a&，属于&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E7%%25E8%25A5%25AF%25E7%25B7%259A& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&无衬线&/a&&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E9%25BB%%25BD%E5%25AD%%25BD%2593%29& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&黑体&/a&。思源黑体于日首次发布，支持&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E7%25B9%%25AB%%25B8%25AD%25E6%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&繁体中文&/a&、&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E7%25B0%25A1%25E9%25AB%%25B8%25AD%25E6%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&简体中文&/a&、&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E6%%25E6%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&日文&/a&及&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E9%259F%%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&韩文&/a&，并且各有7种字体粗细。公开之时为当时涵盖&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E5%25AD%%& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&字元&/a&数量最多的字体，44,666个字元分属于65,535个字形中，此为&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/OpenType& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&OpenType&/a&字体技术的极限。&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/9ba29fbef0a5f3f713dd23_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&800& data-rawheight=&600& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&800& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/9ba29fbef0a5f3f713dd23_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&5.文泉驿字体&/p&&p&&b&文泉驿&/b&是一个开源汉字字体项目，由旅美学者房骞骞（FangQ）于2004年10月创建，集中力量解决GNU/Linux高质量中文字体匮乏的状况。目前，文泉驿已经开发并发布了第一个完整覆盖GB18030汉字（包含27000多个汉字）的多规格点阵汉字字库，第一个覆盖GBK字符集的开源矢量字库（&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/%25E6%E6%25B3%%25A9%25BF%25E6%25AD%25A3%25E9%25BB%2591& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&文泉驿正黑&/a&），并提供了目前包含字符数目最多的开源字体——&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/GNU_Unifont& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&GNU Unifont&/a&——中绝大多数中日韩文相关的符号。这些字库已经逐渐成为主流Linux/Unix发行版中文桌面的首选中文字体。目前&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/Ubuntu& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Ubuntu&/a&、&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/Fedora& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Fedora&/a&、&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/Slackware& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Slackware&/a&、&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/Magic_Linux& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Magic Linux&/a&、&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/w/index.php%3Ftitle%3DCDLinux%26action%3Dedit%26redlink%3D1& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&CDLinux&/a&使用文泉驿作为默认中文字体，&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/Debian& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Debian&/a&、&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/Gentoo& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Gentoo&/a&、&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/Mandriva& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Mandriva&/a&、&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/ArchLinux& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&ArchLinux&/a&、&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/w/index.php%3Ftitle%3DFrugalware%26action%3Dedit%26redlink%3D1& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Frugalware&/a&则提供了官方源支持，而FreeBSD则在其ports中有提供。文泉驿的网站（除了论坛）采用&a href=&//link.zhihu.com/?target=https%3A//zh.wikipedia.org/wiki/Wiki& class=& wrap external& target=&_blank& rel=&nofollow noreferrer&&Wiki&/a&搭建。&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/1a3d4ba572_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&500& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic4.zhimg.com/50/1a3d4ba572_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&&br&&/p&&p&6.濑户字体&/p&&p&字体为濑户制作的免费字体，字体包含中文繁体常用字及多国语言。&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic4.zhimg.com/50/2143bbda574e340abf4eca_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&250& data-rawheight=&55& class=&content_image& width=&250&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&7.书体坊免费字体&/p&&p&专注于古今书法名家计算机字体开发的书体坊提供的免费字体。&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic3.zhimg.com/50/e3a7f901f4eeb0b4fbd8_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&600& data-rawheight=&501& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&600& data-original=&https://pic3.zhimg.com/50/e3a7f901f4eeb0b4fbd8_r.jpg&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&8.站酷高端黑&/p&&p&“汉字百人舞”计划，由字体设计师胡晓波、刘兵克发起，在站酷网征集100位字体设计师共同完成一套字库创作，供所有人永久免费下载。&br&&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic1.zhimg.com/50/d67b1ddd482af_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&1075& data-rawheight=&251& class=&origin_image zh-lightbox-thumb& width=&1075& data-original=&https://pic1.zhimg.com/50/d67b1ddd482af_r.jpg&&&/figure&&p&9.站酷快乐体&/p&&p&【站酷快乐体】是由字体设计师刘兵克组织其字体设计学员进行的字体设计活动，由刘兵克提供字形框架和设计规范，由100多位学员朋友按照各自字体内容设计出基本字形，再由刘兵克字体设计工作室成员杨康和吴少杰进行设计修改和调整完成。发布于2015年9月。&/p&&p&【站酷快乐体2016修订版】，是在“站酷快乐体”基础上进行的大幅修改与提升， 本次修订工作的设计前期，由刘兵克学员团队和工作室团队共同完成，设计后期，由刘兵克进行了逐一修改与调整，经过多轮校审之后，于2016年6月正式对外公布和提供下载，整个工作耗时7个月。&/p&&p&&br&&/p&&figure&&img src=&https://pic2.zhimg.com/50/v2-cc17cabe42d6dd2e4194bb_b.jpg& data-caption=&& data-rawwidth=&278& data-rawheight=&175& class=&content_image& width=&278&&&/figure&&p&&br&&/p&&p&10.站酷酷黑体&/p&&p&［站酷酷黑体验版］在站酷十周年之际横空出世。字形笔画粗犷有力，用宽扁型的字面构建出厚重的字体形态，笔画细节上的修饰既增强了字体的设计感，又让字体多了一些小小的精致感，中宫的饱满使得}