要求证明定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.
问题描述：
要求证明定理：对角线互相垂直的平行四边形是菱形.写出已知、求证、证明.
问题解答：
已知：平行四边形ABCD对角线AC⊥BD求证：ABCD是菱形证明：设AC和BD的交点为O,则在△ABO和△BOC中∵AO=CO,BO=BO,∠AOB=∠COB=90°∴△AOB≌△COB∴AB=BC同理可证：BC=CD=DA∴平行四边形ABCD是菱形 再问： 这好像不是运用对角线互相垂直来证明吧？ 再答： 在证明相邻的两个三角形全等时，用到了垂直。实际上，如果没有对角线互相垂直这一条件，相邻的三角形不可能全等。
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“对角线互相垂直的平行四边形是菱形”------------( 错 ) 对角线互相垂直且平分的平行四边形是菱形
如果没有告诉这个四边形是平行四边形,则应先证明它是平行四边形,然后再根据对角线互相垂直的条件,得出它是一个菱形的结论.&EG:例1、如图,已知□ABCD的对角线AC的垂直平分线与边AD、BC分别交于E、F,求证：四边形AFCE是菱形．&&&证明：∵四边形ABCD是平行四边形,∴A
利用三角形全等,对应边相等,再根据有一组邻边相等的平行四边形是菱形.
中垂线得邻边相等,平行四边形+一组邻边相等得菱形
证明：设平行四边形四个顶点分别为A、B、C、D,中心为O.（1）因为BO垂直于AC,所以叫BOC垂直于BOA（2）因为平行四边形对角线互相平分,AO=CO.（3）BO=BO.所以三角形BOC全等于BOA,推出AB=CB.所以可以得到AB=BC=CD=DA,所以平行四边形为菱形.
1连接两条对角线!由于这个四边形首先是平行四边形!故对角线相互平分!又由于两条对角线互相垂直!所以由两条对角线分成的四个直角三角形全等!于是该平行四边形四条边相等!所以命题得证!2由于四条边相等!用向量方法可证明对角线相互垂直!由上题结论可得证!
已知：平行四边形ABCD,且AC⊥BD,AC,BD交点为O求证：ABCD是菱形.证明：∵ABCD是平行四边形∴OA=OC（平行四边形对角线互相平分）∵AC⊥BD（已知）∴AD=CD,AB=BC（线段垂直平分线上的点到线段两端的距离相等）∵AB=CD,AD=BC（平行四边形对边相等）∴AB=BC=CD=AD∴ABCD是菱
平行四边形对角线互相平分对角线相互垂直则平行四边形被对角线分割出的四个三角形全等（边角边）所以平行四边形四边相等所以是菱形
（1）因为在平行四边形ABCD中,O点位AD的中点&&&&&且AD与BC垂直&&&&&所以,线段AB=线段BD&&&&&&&&所以线段AB=
因为平等四边形的对角线相互平分,现又因为对角线互相垂直,可由勾股定理得各边的边长相等.即此平行四边形是四条边相等的四边形,也就是菱形.
（1） 根据平行四边形ABCD的对角线相互平分,设焦点为O根据边角边可以的得出三角形AOB,BOC,COD,DOA两两全等于是得到AB=BC=CD=DA于是该平行四边形为菱形（2）菱形的定义很高兴为你解答,祝你学习进步!如果有疑问请点【评论】或者【追问】如果你认可我的回答,请点击下面的【选为满意回答】按钮,谢谢~~如果
1.对角线垂直且相等 2.四边形平行且临边相等
证明：连接EF∵四边形ABCD是平行四边形∴AB=DC,AB//DC∵E是AB的中点,F是DC的中点∴AE=BE=DF∴四边形BEDF和四边形AEFD都是平行四边形（有一组对边平行且相等的四边形是平行四边形）∴EF//AD∵AD⊥BD∴EF⊥BD∴四边形BEDF是菱形（对角线互相垂直的平行四边形是菱形）
平行四边形ABCD,对角线AC平分角A,∠BAC=∠CAD,因为,BC平行AD,所以,∠CAD=∠BCA 所以,AB=BC 又BC=AD 所以 平行四边形ABCD是菱形
B,相互垂直不一定是菱形
正确的是:四条边都相等且都有一个角是直角的四边形是正方形 再问： d为什么不对 再答： 如：直角梯形就有两个内角相等；必须是：同一底上两个底角相等的梯形是等腰梯形
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证明此命题为伪命题：一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形．
证明此命题为伪命题：一组对边相等且一组对角相等的四边形是平行四边形．
科目:最佳答案见解析解析
证明：如图所示：AB=CD，∠B=∠D，AC=AC，无法得出△ABC≌△ADC，∴BC不一定等于AD，∴四边形ABCD不一定是平行四边形，∴一组对边相等且一组对角相等的四边形不一定是平行四边形．
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特殊平行四边形--九年级数学试题(北师大版)
重庆外国语学校王习建3.2 特殊平行四边形 练一练1.菱形的四条边都______,两条对角线__________,每一条对角线平分一组_______ 对角线__________的四边形是菱形; 四条边_______的四边形是菱形; 一组邻边______ 的平行四边形是菱形. 2.矩形的对角线__________;四个角都是__________. 一内角是_______的平行四边形是矩形;对角线 ________的平行四边形是矩形;____ 个角是直角的四边形是矩形. 3.给出以下三个命题:①对角线相等的四边形是矩形;②对角线互相垂直的四边形 是菱形; ③对角线互相垂直的矩形是正方形; ④菱形对角线的平方和等于边长平方的 4 倍, 其中真命题的是( ) (A)③ (B)①② (C)②③ (D)③④A D O做一做4. 矩形 ABCD 的对角线相交于 O, 平分∠BAD 交 BC 于 E, AE ∠CAE=15°,则∠BOE=________°BEC5.菱形 ABCD 的对角线 AC,BD 相交于 O,△AOB 的周长为 3 + 3 ,∠ABC=60, 则菱形 ABCD 的面积为__________ 6.现有长度分别为 1,2,3,4,5,……,99 的 99 根小木棍,把它们连接起来做边 围,要求每根小木棍都要用到且不能折断,能否构造一个:①正方形 ②矩形 ,若不能, 请说明理由;若能,请给出具体的做法.7.△ABC 中,∠ACB=90°,CD⊥AB,AE 平分∠BAC 交 CD 于 F,EG⊥AB 于 G, 求证:四边形 CEGF 是菱形.A D F GCEB重庆外国语学校王习建想一想8. 用两个全等的直角三角形拼下列图形: ①平行四边形 ②矩形 ③菱形 ④正方形 ⑤ 等腰三角形 ⑥等边三角形,一定可以拼成的图形是( ) (A)①④⑤ (B)②⑤⑥ (C)①②③ (D)①②⑤9.如图,矩形 ABCD 长为 a,宽为 b,若 s1=s2= 则 s4 等于( )1 (s3+s4), 2D S2 S4CF S3 B3 (A) ab 83 (B) ab 42 (C) ab 31 (D) ab 2S1 A E则B EA10. 菱形 ABCD 中, ∠B=∠EAF=60°, ∠BAE=20°, ∠CEF=_________°D FC11.点 M,N 分别在正方形 ABCD 的边 CD,BC 上, ,已知△MCN 的周长等于正方 形 ABCD 周长的一半,求∠MAN 的度数. D M CNAB
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二次函数中的存在性问题(平行四边形)
一、已知三个定点，再找 已知三个定点， 一个定点构成平行四边形 平面内有三个点满足） （平面内有三个点满足）? 1．在平面直角坐标系内找点 ． ? 2. 在抛物线上找点一、已知三个定点，再找一个定点构成 已知三个定点， 平行四边形（平面内有三个点满足） 平行四边形（平面内有三个点满足）1．在平面直角坐标系内找点 ． 湖北十堰】 【08湖北十堰】已知抛物线与轴的一个交点为A(-1,0)，与 湖北十堰 y轴的正半轴交于点C． ⑴直接写出抛物线的对称轴，及抛物线与轴的另一个交点 B的坐标； ⑵当点C在以AB为直径的⊙P上时，求抛物线的解析式； ⑶坐标平面内是否存在点,使得以点M和⑵中抛物线上的三 点A、B、C为顶点的四边形是平行四边形？若存在,请求出 点的坐标；若不存在,请说明理由．yMCMN A O P BxM第25题题?? ??2.在抛物线上找点 在抛物线上找点 浙江湖州】 【09浙江湖州】已知抛物线y=x2-2x+a(a＜0)）与 浙江湖州 y轴相交于点A，顶点为M.直线y=2x-a分别与x轴， y轴相交于两B,C点，并且与直线AM相交于点N. (1)填空：试用含的代数式分别表示点M,N与的坐 标， (2)如图，将沿Y轴翻折，若点N的对应点N′A恰好 落在抛物线上，B′Y与轴交于点，连结，求a的值 和四边形ABCD的面积； (3)在抛物线Y=x2-2X+a上是否存在一点P，使得 以为P,A,C,N顶点的四边形是平行四边形？若存 在，求出点P的坐标；若不存在，试说明理由.y y P1C C N O x B D B P2 O x N′ NA AM M第（2）题备用图二、已知两个定点，再找 已知两个定点， 两个点构成平行四边形, 两个点构成平行四边形 其中有一个点在抛物线上? ①确定两定点连接的线段为一边， 确定两定点连接的线段为一边， 则两动点连接的线段应和已知边 平行且相等 ? ②两定点连接的线段没确定为平 行四边形的边时， 行四边形的边时，则这条线段可 能为平行四边形的边或对角线? ①确定两定点连接的线段为一边，则两动点连接 确定两定点连接的线段为一边， 的线段应和已知边平行且相等 ? 1．【09福建莆田】已知，如图抛物线与y轴交于 福建莆田】 福建莆田 C点，与x轴交于A、B两点，A点在B点左侧。点 B的坐标为(1，0),OC=30B． ? (1)求抛物线的解析式； ? (2)若点D是线段AC下方抛物线上的动点，求四 边形ABCD面积的最大值： ? (3)若点E在x轴上，点P在抛物线上。是否存在 以A、C、E、P为顶点且以AC为一边的平行四边 形?若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理 由．
? 2.【09福建南平】已知抛物线：（1）求 福建南平】 福建南平 抛物线的顶点坐标. ? （2）将抛物线向右平移2个单位，再向 上平移1个单位，得到抛物线，求抛物线 的解析式. ? （3）如下图，抛物线的顶点为P，轴上 有一动点M，在、这两条抛物线上是否 存在点N，使O（原点）、P、M、N四点 构成以OP为一边的平行四边形，若存在， 求出N点的坐标；若不存在，请说明理由.y5 4 3 2 1 -1 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 6 7 8 9y2 y1xy5 4 3 2 1 -1 -1 -2 -3 -4 1 2 3 4 5 6 7 8 9y2 y1x②两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时， 两定点连接的线段没确定为平行四边形的边时， 则这条线段可能为平行四边形的边或对角线? （2010陕西省）24．如图，在平面直角坐标系中， 陕西省） 陕西省 抛物线A（-1,0），B（3,0）C（0，-1）三点。 ? （1）求该抛物线的表达式；（2）点Q在y轴上， 点P在抛物线上，要使Q、P、A、B为顶点的四 边形是平行四边形求所有满足条件点P的坐标。
? 2．【09辽宁抚顺】已知：如图所示，关于的抛 辽宁抚顺】 辽宁抚顺 物线y=ax2+x+c与轴交于点A(-2,0)、点B(6,0)，与 Y轴交于点C． ? （1）求出此抛物线的解析式，并写出顶点坐标； ? （2）在抛物线上有一点D，使四边形为等腰梯 形ABCD，写出点D的坐标，并求出直线AD的解 析式； ? （3）在（2）中的直线AD交抛物线的对称轴于 点M，抛物线上有一动点P，x轴上有一动点 Q．是否存在以为A,M,P,Q顶点的平行四边形？ 如果存在，请直接写出点的坐标；如果不存在， 请说明理由．y CAOBxy D C P2 M Q1 Q2 A o Q3 B4QP1xP3P4? 1．【07浙江义乌】如图，抛物线与x轴交A、B 浙江义乌】 浙江义乌 两点（A点在B点左侧），直线与抛物线交于A、 C两点，其中C点的横坐标为2． ? （1）求A、B 两点的坐标及直线AC的函数表达 式； ? （2）P是线段AC上的一个动点，过P点作y轴的 平行线交抛物线于E点，求线段PE长度的最大值； ? （3）点G抛物线上的动点，在x轴上是否存在点 F，使A、C、F、G这样的四个点为顶点的四边 形是平行四边形？如果存在，求出所有满足条件 的F点坐标；如果不存在，请说明理由．, 0), F2 (?3, 0), F3 (4 + 7), F4 (4 ? 7) F2 (?3,0)（3）存在4个这样的点F，当AF为平行四边形的边时： 当AF为平行四边形的对角线时：? （2010河南）（11分）在平面直角坐标系中，已 河南） 河南 知抛物线经过A，B，C三点． ? （1）求抛物线的解析式； ? （2）若点M为第三象限内抛物线上一动点，点M 的横坐标为m，△AMB的面积为S．求S关于m的 函数关系式，并求出S的最大值． ? （3）若点P是抛物线上的动点，点Q是直线上的 动点，判断有几个位置能够使得点P、Q、B、O 为顶点的四边形为平行四边形，直接写出相应的 点Q的坐标．yAOCxMB
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