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浅析数列极限与函数极限的异同
作者：佚名 资料来源：网络 点击数：
浅析数列极限与函数极限的异同
文章来 源莲山课件 w ww.5 Y K J.Com 浅析数列极限与函数极限的异同
摘要：极限、微分、积分、级数、函数的连续性等相关概念和性质是各大学师范院校数学基础课程《数学分析》中重点研究的内容，因其知识理论和方法已经渗透到自然科学、工程技术的各个领域，导致对社会的发展起着很重要的推进作用。其中极限的思想尤其重要，极限又包含数列极限和函数极限。因此，研究数列极限和函数极限的相同点和不同之处，对于学好高等数学起着很重要的意义。
　　关键词：数列极限；函数极限； 异同 　　引言：数列是一种特殊的函数，其特殊性在于其定义域是全体正整数集，故是不连续、是离散的变量；而函数的定义域一般是全体实数集，由实数的稠密性可知，该自变量是连续的。由于数列和函数之间的这种不同，就间接导致数列极限和函数极限也有所不同，本文是在参考xx师范大学数学系主编的教材《数学分析》第四版的基础上，列举出了几点关于数列极限和函数极限的异同之处。 　　1 数列极限 　　关于数列极限，先举一个我国古代关于数列的例子。《庄子D天下篇》中：“一尺之棰，日取其半，万世不竭。”其含义是：一根长为一尺的木棒，每天取下一半，这样的过程可以永远进行下去。不难看出，其通项{ }随着天数n的增大而无限地接近于0。在这一思想的指引下，教材给出了数列极限的精确定义：设 {An} 为数列，a 为定数，若对任给的正数 ε（无论它多么小），总存在正整数N，使得当 n&N 时，有 OAn-aO&ε ，则称数列{An} 收敛于a，定数 a 称为数列 {An} 的极限。其中ε的作用在于衡量数列通项{An} 与定数a的大小，ε越小，说明{An} 与a 的接近度越好。由于ε的任意性，可以小到任意小（但须大于0），故可以理解为数列通项{An} 无限地接近定数a；而N的作用在于不管给定多么小的正数ε，总能保证存在大于N后的每一项都和a无限接近，而不在乎前面有限项与a的接近程度，在于刻画n→+∞这一过程。其中，由于n是正整数，不可能取负值，故其趋近方式只有一种，即趋于+∞，但是极限值可以取实数R，故极限值有a、∞、+∞、D∞这4种值，因此，总的来说，数列极限只有4种类型。 　　2 函数极限 　　对于函数极限，先分析一下自变量x的趋近方式，由于x是取自全体实数，故趋近方式不仅有上述数列中所提及的+∞，还可以是∞、D∞，相比数列极限，更特殊的是还可以趋于某一点x0， 或者x0的左侧、右侧（即单侧极限）趋近。故自变量x的趋近方式共有6种，而极限值和数列极限完全一样，有4种。因此，函数极限共24种类型。比如，拿x→+∞，f（x）→a为例，其精确定义如下： 对于任意给定的正数ε（无论它多么小），总存在正数M ，使得当x&M时有 |f（x）-a|&ε ，那么常数a就叫做函数f（x）当 x→+∞时的极限值。该定义和数列极限的定义有相同之处，其中的ε也是和数列极限中的ε相同，用于衡量f（x）与a的接近程度；正数M的作用也与数列极限定义中的N相类似，说明x充分大的程度，但这里考虑的是比M大的所有实数x，而不仅仅是数列极限中的正整数n，这是和数列极限定义中最本质的区别。 　　3 性质的异同 　　（1）由于极限存在则其值必唯一，故数列极限和函数极限如果存在，则极限值都是唯一的； 　　（2）如果数列极限存在，它是有界的，而且是整体有界，即存在正数M，使得对一切正整数n有|An|≤M ；而函数极限如果存在，它也是有界的，可是这种有界性和数列的有界性不同，它是一种局部性，比如当x→+∞时，函数极限的局部有界性为表述为：即存在正数M，使得f（x）在x&M的领域上有|f（x）|≤M，这里强调的是局部性，而不管小于M的函数值是否有界，所以，函数极限的局部性质是和数列极限有着本质区别。同理，数列极限还有保不等式性、迫敛性、保号性，而函数极限则对应于局部保不等式性、局部迫敛性、局部保号性等性质； 　　（3）判别数列极限存在的方法有主要是单调有界定理和柯西收敛准则，这两大著名方法用于判断数列极限是否存在非常有用。在单调有界定理中，如果一个数列单调递增，而且存在上界，则该数列极限存在且极限值等于其上确界，同理，如果一个数列单调递减，且存在下界，则该数列极限存在且极限值等于其下确界。在柯西收敛准则中，反映的是这样一个事实：收敛数列各项的值越到后面，彼此越是接近，以至于后面的任意两项之差的绝对值可以小于事先给定的任意正数ε，柯西收敛准则相比单调有界定理的好处在于无需借助数列以外的数a，只需根据数列本身就能判别其敛散性。相比函数极限的存在条件，其中的柯西准则和数列的完全类似，而不同的是函数极限多了一种归结原则（海涅定理）。当然，这种方法我认为在实际应用中是不太现实的，因为收敛于x0的数列有很多，所以，我们不能一一去验证其极限值。通常用的最多的是它的推论：即找到一个收敛于x0的数列，函数极限值不存在或找到两个收敛于x0的数列，但这两个函数极限值不相等。这与判断数列极限是否存在的寻找子列的方法一样，可以说，这两种思路完全一样。当然函数极限也存在单调有界定理，该定理在函数表达中由于单调有增减变化，所以只能研究一侧，即只能研究单侧极限。其方法和数列极限相类似，只需稍做一些修改即可。 　　（4）数列极限和函数极限在应用上也有很多相似的地方，比如四则运算及其证明过程，平均收敛和几何收敛及其证明以及一些构造性方法，两者的思路十分相似，只需稍微改动即可。但是这里要强调一下，在使用洛必达法则的时候，如果遇到处理数列极限时，应该先转化为函数极限进行求解，然后再应用归结原则得出数列极限值，因为对于在数列极限形式下不能使用洛必达法则，原因是离散变量求导数是没有意义的，这一点必须特别注意。 　　总结：本文主要以xx师范大学数学系主编的第四版《数学分析》为例，列举了几个数列和函数极限的表示方法，从定义、性质、收敛条件、应用4方面浅谈了自己的一些看法，若有不妥的地方，恳切希望读者指出，我定给予修正。 文章来 源莲山课件 w ww.5 Y K J.Com
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&&&数列极限的两个等价定义
数列极限的两个等价定义
对于数列极限定义,一般教材都是采用语言定义,但其逻辑结构抽象复杂,一般不易理解.为了浅化极限定义,本文从极限的几何意义及非语言两个方面给出数列极限的两个相关等价定义,以此来加强对极限定义的理解.
摘要： 对于数列极限定义,一般教材都是采用语言定义,但其逻辑结构抽象复杂,一般不易理解.为了浅化极限定义,本文从极限的几何意义及非语言两个方面给出数列极限的两个相关等价定义,以此来加强对极限定义的理解.&&
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对于数列极限的定义，是否可以这样理解？
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殇害依旧知道合伙人
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理解成数列和这个数的距离 就是说 我任给一个e＞0 不管这个e有多小 总可以找到一个N 使得当n＞N 这个数列xn和这个数的距离总是小于e的 由此来表示数列与这个数的无限逼近
图中那种方法对吗？
五粒兵知道合伙人
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获赞数：15
擅长：暂未定制
1.ε没有趋于的说法，原定是任意的给定大于0的数。只不过平常认知和使用的都是比较小的。2.xn比a大和小都没关系，只不过n趋于无穷小时，与a误差小于ε
哦，就是说图中仅仅只是一种情况吗？
所谓的定理与公理，是学术者，对说辞最简化的。你可以添加，但不要修改。
只不过，那些年，我国还没发展，大部分这些理都是外国上翻译来的，所以可能有些文献有些地方会有赘述。
但，大部分来说，他们的水平的结果，也不是普通人能改的。
zhangsonglin_c知道合伙人
来自科学教育类芝麻团
zhangsonglin_c
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参与团队：
这是一种情况。也可以交错趋近。也可以大于趋近。
交错趋近？大于趋近？请大佬解释一下啥意思呀？
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极限的定义是什么概念
　　极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。下面是百分网小编给大家整理的极限的定义简介，希望能帮到大家!
　　极限的定义
　　&极限&是数学中的分支&&微积分的基础概念，广义的&极限&是指&无限靠近而永远不能到达&的意思。数学中的&极限&指：某一个函数中的某一个变量，此变量在变大(或者变小)的永远变化的过程中，逐渐向某一个确定的数值A不断地逼近而&永远不能够重合到A&(&永远不能够等于A，但是取等于A&已经足够取得高精度计算结果)的过程中，此变量的变化，被人为规定为&永远靠近而不停止&、其有一个&不断地极为靠近A点的趋势&。极限是一种&变化状态&的描述。此变量永远趋近的值A叫做&极限值&(当然也可以用符号表示)。
　　以上是属于&极限&内涵通俗的描述，&极限&的严格概念最终由柯西和魏尔斯特拉斯等人严格阐述。
　　数列极限
　　可定义某一个数列{xn}的收敛：
　　设{xn}为一个无穷实数数列的集合。如果存在实数a，对于任意正数& (不论其多么小)，总存在正整数N，使得当n&N时，均有 不等式成立，那么就称常数a是数列{xn} 的极限，或称数列{xn} 收敛于a。记作 或 。
　　如果上述条件不成立，即存在某个正数&，无论正整数N为多少，都存在某个n&N，使得 ，就说数列{xn}不收敛于a。如果{xn}不收敛于任何常数，就称{xn}发散。
　　对定义的理解：
　　1、&的任意性　定义中&的作用在于衡量数列通项 与常数a的接近程度。&越小，表示接近得越近;而正数&可以任意地变小，说明xn与常数a可以接近到任何不断地靠近的程度。但是，尽管&有其任意性，但一经给出，就被暂时地确定下来，以便靠它用函数规律来求出N;
　　又因为&是任意小的正数，所以&/2 、3& 、&2 等也都在任意小的正数范围，因此可用它们的数值近似代替&。同时，正由于&是任意小的正数，我们可以限定&小于一个某一个确定的正数。
　　2、N的相应性　一般来说，N随&的变小而变大，因此常把N写作N(&)，以强调N对&的变化而变化的依赖性。但这并不意味着N是由&唯一确定的：(比如若n&N使 成立，那么显然n&N+1、n&2N等也使 成立)。重要的是N的存在性，而不在于其值的大小。
　　3、从几何意义上看，&当n&N时，均有不等式 成立&意味着：所有下标大于N的 都落在(a-&，a+&)内;而在(a-&，a+&)之外，数列{xn} 中的项至多只有N个(有限个)。换句话说，如果存在某 ，使数列{xn} 中有无穷多个项落在(a-&0，a+&0) 之外，则{xn} 一定不以a为极限。
　　注意几何意义中：1、在区间(a-&，a+&)之外至多只有N个(有限个)点;2、所有其他的点 (无限个)都落在该邻域之内。这两个条件缺一不可，如果一个数列能达到这两个要求，则数列收敛于a;而如果一个数列收敛于a，则这两个条件都能满足。换句话说，如果只知道区间(a-&，a+&)之内有{xn}的无数项，不能保证(a-&，a+&)之外只有有限项，是无法得出{xn}收敛于a的，在做判断题的时候尤其要注意这一点。
　　1、唯一性：若数列的极限存在，则极限值是唯一的，且它的任何子列的极限与原数列的相等。
　　2、有界性：如果一个数列&收敛&(有极限)，那么这个数列一定有界。
　　但是，如果一个数列有界，这个数列未必收敛。例如数列 ：&1，-1，1，-1，&&，(-1)n+1&
　　3、保号性：若 (或&0)，则对任何 (a&0时则是 )，存在N&0，使n&N时有 (相应的 )。
　　4、保不等式性：设数列{xn} 与{yn}均收敛。若存在正数N ，使得当n&N时有 ，则 (若条件换为 ，结论不变)。
　　5、和实数运算的相容性：譬如：如果两个数列{xn} ，{yn} 都收敛，那么数列 也收敛，而且它的极限等于{xn} 的极限和{yn} 的极限的和。
　　6、与子列的关系：数列{xn} 与它的任一平凡子列同为收敛或发散，且在收敛时有相同的极限;数列 收敛的充要条件是：数列{xn} 的任何非平凡子列都收敛。
　　单调收敛定理
　　单调有界数列必收敛。
　　柯西收敛原理
　　设{xn} 是一个数列，如果对任意&&0，存在N&Z*，只要 n 满足 n & N，则对于任意正整数p，都有 ，这样的数列 便称为柯西数列。
　　这种渐进稳定性与收敛性是等价的。即为充分必要条件。
　　极限思想
　　极限的思想是近代数学的一种重要思想，数学分析就是以极限概念为基础、极限理论(包括级数)为主要工具来研究函数的一门学科。
　　所谓极限的思想，是指&用极限概念分析问题和解决问题的一种数学思想&。
　　用极限思想解决问题的一般步骤可概括为：
　　对于被考察的未知量，先设法正确地构思一个与它的变化有关的另外一个变量，确认此变量通过无限变化过程的&影响&趋势性结果就是非常精密的约等于所求的未知量;用极限原理就可以计算得到被考察的未知量的结果。
　　极限思想是微积分的基本思想，是数学分析中的一系列重要概念，如函数的连续性、导数(为0得到极大值)以及定积分等等都是借助于极限来定义的。如果要问：&数学分析是一门学科?&那么可以概括地说：&数学分析就是用极限思想来研究函数的一门学科，并且计算结果误差小到难于想像，因此可以忽略不计。
　　极限的产生与发展
　　(1)由来
　　与一切科学的思想方法一样，极限思想也是社会实践的大脑抽象思维的产物。极限的思想可以追溯到古代，例如，祖国刘徽的割圆术就是建立在直观图形研究的基础上的一种原始的可靠的&不断靠近&的极限思想的应用;古希腊人的穷竭法也蕴含了极限思想，但由于希腊人&对&无限&的恐惧&，他们避免明显地人为&取极限&，而是借助于间接证法&&归谬法来完成了有关的证明。
　　到了16世纪，荷兰数学家斯泰文在考察三角形重心的过程中，改进了古希腊人的穷竭法，他借助几何直观，大胆地运用极限思想思考问题，放弃了归缪法的证明。如此，他就在无意中&指出了把极限方法发展成为一个实用概念的方向&。
　　(2)发展
　　极限思想的进一步发展是与微积分的建立紧密相联系的。16世纪的欧洲处于资本主义萌芽时期，生产力得到极大的发展，生产和技术中遇到大量的问题，开始人们只用初等数学的方法已无法解决，要求数学突破&只研究常量&的传统范围，而能够提供能描述和研究运动、变化过程的新工具，是促进&极限&思维发展、建立微积分的社会背景。
　　起初牛顿和莱布尼茨以无穷小概念为基础建立了微积分，后来因遇到逻辑困难，所以在他们的晚期都不同程度地接受了极限思想。牛顿用&路程的改变量&DS&与&时间的改变量&Dt&之比 & & 表示运动物体的平均速度，让&Dt无限趋近于零，得到物体的瞬时速度，并由此引出导数概念和微分学理论。他意识到极限概念的重要性，试图以极限概念作为微积分的基础，他说：&两个量和量之比，如果在有限时间内不断趋于相等，且在这一时间终止前互相靠近，使得其差小于任意给定的差，则最终就成为相等&。但牛顿的极限观念也是建立在几何直观上的，因而他无法得出极限的严格表述。牛顿所运用的极限概念，只是接近于下列直观性的语言描述：&如果当n无限增大时， 无限地接近于常数A，那么就说 以A为极限。
　　正因为当时缺乏严格的极限定义，微积分理论才受到人们对于科学理论的怀疑与攻击，例如，在物理学的&瞬时速度&概念，究竟&Dt(变化量)是否等于零?如果说是零，(因为真理如果被无限扩大其适用范围也会变为错误)：怎么能用它去作除法呢?(其实变化量不可能为0)。但是人们认为，如果它不是零，计算机和函数变形时又怎么能把包含着它的那些&微小的量&项去掉呢?当时人们不理解，想完全没有一点点误差地进行变量的计算而导致打击认为发生悖论，这就是数学史上所说的无穷小悖论产生的原因。英国哲学家、大主教贝克莱对微积分的攻击最为激烈，他说微积分的推导是&分明的诡辩&。科学发展的历史和成功表明他的观点是错的。
　　贝克莱之所以激烈地攻击微积分，一方面是为宗教服务，另一方面也由于当时的微积分缺乏牢固的理论基础，和变通的解决办法，连名人牛顿也无法摆脱&极限概念&中的混乱。这个事实表明，弄清&极限&概念，它是一个动态的量的无限变化过程，微小的变量趋势方向上当然可以极为精密地近似等于某一个常量。这是建立严格的微积分理论的思想基础，有着认识论上的科学研究的工具的重大意义。
　　(3)完善
　　极限思想的完善，与微积分的严格化的密切联系。在很长一段时间里，微积分理论基础的问题，许多人都曾尝试&彻底满意&地解决，但都未能如愿以偿。这是因为数学的研究对象已从常量扩展到变量，而人们习惯于用不变化的常量去思维，分析问题。对&变量&特有的概念理解还不十分清楚;对&变量数学&和&常量数学&的区别和联系还缺乏了解;对&有限&和&无限&的对立统一关系还不明确。这样，人们使用习惯的处理常量数学的传统思想方法，思想僵化，就不能适应&变量数学&的新发展。古代的人们习惯用旧概念常量就说明不了这种 [&零&与&无限靠近零的非零数值&之间可以人为的微小距离跳跃到相等的相互转化]的科学性结论的辩证关系。
　　到了18世纪，罗宾斯、达朗贝尔与罗依里埃等人先后明确地表示必须将极限作为微积分的基础概念，并且都对极限作出过，各自的定义。其中达朗贝尔的定义是：&一个量是另一个量的极限，假如第二个量比任意给定的值更为接近第一个量&，其描述的内涵接近于&极限的正确定义;然而，这些人的定义都无法摆脱对几何直观的依赖。观点也只能如此，因为19世纪以前的算术和几何概念，大部分都是建立在几何量的概念上的。其实，&具象化&不是思维落后的代名词，对于几何直观的研究不是思维落后的代名词，因为在今天仍然是可以用函数&映射&为图形，来研究较为复杂的趋势问题。如果有趋势则极限概念能够成立。例如&具象化&图形代替函数可绑架直观地证明某一个没有规律可描述的向用户久攻不下的命题不能成立;(或另外一个函数却能够成立)， 再分别作具体的&符号方式&的数学证明。
　　首先用极限概念给出&导数&的正确定义的是捷克数学家波尔查诺，他把函数f(x)的导数定义为差商 的极限f'(x)，他强调指出f'(x)不是两个零的商。波尔查诺的思想是有价值的，但&极限的本质&他仍未描述清楚。
　　到了19世纪，法国数学家柯西在前人工作的基础上，比较完整地阐述了&极限概念&及其理论，他在《分析教程》中指出：&当一个变量逐次所取的值无限趋于一个定值，最终使变量的值和该定值之差要多小就多小，这个定值就叫做所有其他值的极限值，特别地，当一个变量的数值(绝对值)无限地减小使之收敛到极限0，就说这个变量成为无穷小。&
　　柯西把无穷小视为&以0为极限的变量&，这就正确地确立了&无穷小&概念为&似零不是零去却可以人为用等于0处理&的办法，这就是说，在变量的变化过程中，它的值实际上不等于零，但它变化的趋向是向&零&，可以无限地接近于零。那么人们就可以用&等于0&来处理，是不会产生错误结果的。
　　柯西试图消除极限概念中的几何直观，(但是&几何直观&不是消极的东西，我们研究函数时也可以可以发挥想像力&&&动态趋势的变量图像，假设被放大到巨大的天文倍数以后，我们也会永远不能看到变量值&重合于0&，所以用不等式表示会更加&明确&)作出极限的明确定义，然后去完成牛顿的愿望。但柯西的叙述中还存在描述性的词语，如&无限趋近&、&要多小就多小&比较通俗易懂的描述，对于概念的理解比较容易，因此其定义还保留着几何和物理的直观痕迹，一分为二，直观痕迹比较多也会有好处，但是结合下面的抽象定义可更加容易理解&极限&的概念。
　　为了排除极限概念中的直观痕迹，维尔斯特拉斯提出了极限的静态的抽象定义，给微积分提供了严格的理论基础。所谓 ，就是指：&如果对任何 ，总存在自然数N，使得当 时，不等式 恒成立&。
　　这个定义，借助不等式，通过&和N之间的关系，定量地、具体地刻划了两个&无限过程&之间的联系。因此，这样的定义应该是目前比较严格的定义，可作为科学论证的基础，至今仍在数学分析书籍中使用。在该定义中，涉及到的仅仅是&数及其大小关系&，此外只是用给定、存在、任何等词语，已经摆脱了&趋近&一词，不再求助于运动的直观。(但是理解&极限&概念不能够抛弃&运动趋势&去理解， 否则容易导致&把常量概念不科学地进入到微积分&领域里)
　　常量可理解为&不变化的量&。微积分问世以前，人们习惯于用静态图像研究数学对象，自从解析几何和微积分问世以后，考虑&变化量&的运动思维方式进入了数学领域，人们就有数学工具对物理量等等事物变化过程进行动态研究。之后，维尔斯特拉斯，建立的&-N语言，则用静态的定义描述变量的变化趋势。这种&静态&&动态&&静态&的螺旋式的上升演变，反映了数学发展的辩证规律。
　　极限思想的思维功能
　　极限思想在现代数学乃至物理学等学科中，有着广泛的应用，这是由它本身固有的思维功能所决定的。极限思想揭示了变量与常量、无限与有限的对立统一关系，是唯物辩证法的对立统一规律在数学领域中的应用。借助极限思想，人们可以从有限认识无限，从&不变&认识&变&，从&直线构成形&认识&曲线构成形&，从量变去认识质变，从近似认识精确。
　　&无限&与&有限&概念本质不同，但是二者又有联系，&无限&是大脑抽象思维的概念，存在于大脑里。&有限&是客观实际存在的千变万化的事物的&量&的映射，符合客观实际规律的&无限&属于整体，按公理，整体大于局部思维。
　　&变&与&不变&反映了事物运动变化，与相对静止，两种不同状态，但它们在一定条件下又可相互转化，这种转化是&数学科学的有力杠杆之一&。例如，物理学，求变速直线运动的瞬时速度，用初等方法无法解决，困难在于变速直线运动的瞬时速度是变量不是常量。为此，人们先在小的时间间隔范围内用&匀速&计算方法代替&变速&状态的计算，求其平均速度，把较小的时间内的瞬时速度定义为求&速度的极限&，是借助了极限的思想方法，从&不变&形式来寻找&某一时刻变&的&极限&的精密结果。
　　曲线形与直线形图像有着本质的差异，但在一定条件下也可相互转化，正如恩格斯所说：&直线和曲线在微分中终于等同起来了&。善于利用这种对立统一关系，是处理数学问题的重要手段之一。用直线构成的图形的面积易求;但是求曲线组成的图形的面积，用初等数学是不能准确地解决的。古人刘徽用&&圆内接多边形逼近圆面积&;人们用&变形为矩形的面积&来逼近曲边梯形的面积，等等，都是借助于极限的思想方法，从直线形来起步认识曲线形问题的解答。
　　无限逼近&真实值&(结论完全没有误差)思想，在数学研究工作中起着重要作用。例如对任何一个圆内接正多边形来说，当它边数加倍后，得到圆面积的近似答案还是圆内接正多边形的面积。人们不断地让其边数加倍增加，经过无限过程之后，多边形就&变&成一个与真实的圆面积相差不大的&假圆&，每一步&边数增加的变化&都可以使用原来的&常量公式累计，得到越来越靠近真实值的&圆面积&，圆的边上的&越来越多的新的小的三角形底边，变形中的数不清的三角形正反互补得到的矩形，其长边的总和的极限等于&圆周长的一半&与半径的乘积计算得到圆面积(就是极限概念的应用)，趋势极限，愈来愈逼近圆面积。这就是借助于极限的思想方法，化繁为简&解决求圆面积问题，其他问题思维方法一样。
　　用极限概念解决问题时，首先用传统思维，用&低等数学思维的常量思维建立某一个函数(计算公式)，再想办法进行图像总的面积不变的变形，然后把某一个对应的变量的极限求出，就可以解决问题了。这种&恒等&转化中寻找极限数值，是数学应用于实际变量计算的重要诀窍。前面所讲到的&部分和&、&平均速度&、&圆内接正多边形面积方法&，分别是相应的&无穷级数之趋近数值&、&瞬时速度&、&求圆面积&的最为精确的近似值的办法，用极限思想，可得到相应的无比精确的结论值。这都是借助于极限的思想方法，人们用&无限地逼近&也可以实现精密计算结果&，用此新方法&&微积分的极限思维，可满意地解决&直接用常量办法计算有变化量的函数但无现成公式可用，所以计算结果误差大&的问题。
　　建立的概念
　　极限的思想方法贯穿于数学分析课程的始终。可以说数学分析中的几乎所有的概念都离不开极限。在几乎所有的数学分析著作中，都是先介绍函数理论和极限的思想方法，然后利用极限的思想方法给出连续函数、导数、定积分、级数的敛散性、多元函数的偏导数，广义积分的敛散性、重积分和曲线积分与曲面积分的概念。如：
　　(1)函数在 点连续的定义，是当自变量的增量趋于零时，函数值的增量趋于零的极限。
　　(2)函数在 点导数的定义，是函数值的增量 与自变量的增量 之比 ，当 时的极限。
　　(3)函数在 点上的定积分的定义，是当分割的细度趋于零时，积分和式的极限。
　　(4)数项级数的敛散性是用部分和数列 的极限来定义的。
　　(5)广义积分是定积分其中 为，任意大于 的实数当 时的极限，等等。
　　解决问题的极限思想
　　&极限思想&方法，是数学分析乃至全部高等数学必不可少的一种重要方法，也是&数学分析&与在&初等数学&的基础上有承前启后连贯性的、进一步的思维的发展。数学分析之所以能解决许多初等数学无法解决的问题(例如求瞬时速度、曲线弧长、曲边形面积、曲面体的体积等问题)，正是由于其采用了&极限&的&无限逼近&的思想方法，才能够得到无比精确的计算答案。
　　人们通过考察某些函数的一连串数不清的越来越精密的近似值的趋向，趋势，可以科学地把那个量的极准确值确定下来，这需要运用极限的概念和以上的极限思想方法。要相信， 用极限的思想方法是有科学性的，因为可以通过极限的函数计算方法得到极为准确的结论。
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