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高中数学经典50题(附答案).doc 49页
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高中数学题库
求下列函数的值域：
令t＝sinx，则f(t)＝－t2＋t＋1，∵ |sinx|≤1,
∴ |t|≤1.问题转化为求关于t的二次函数f(t)在闭区间[－1,1]上的最值．
本例题(2)解法2通过换元，将求三角函数的最值问题转化为求二次函数在闭区间上的最值问题，从而达到解决问题的目的，这就是转换的思想．善于从不同角度去观察问题，沟通数学各学科之间的内在联系，是实现转换的关键，转换的目的是将数学问题由陌生化熟悉，由复杂化简单，一句话：由难化易．可见化归是转换的目的，而转换是实现化归段手段。
设有一颗慧星沿一椭圆轨道绕地球运行，地球恰好位于椭圆轨道的焦点处，当此慧星离地球相距万千米和万千米时，经过地球和慧星的直线与椭圆的长轴夹角分别为，求该慧星与地球的最近距离。
解：建立如下图所示直角坐标系，设地球位于焦点处，椭圆的方程为（图见教材P132页例1）。
当过地球和彗星的直线与椭圆的长轴夹角为时，由椭圆的几何意义可知，彗星A只能满足。作
故由椭圆第二定义可知得
两式相减得
答：彗星与地球的最近距离为万千米。
说明：（1）在天体运行中，彗星绕恒星运行的轨道一般都是椭圆，而恒星正是它的一个焦点，该椭圆的两个焦点，一个是近地点，另一个则是远地点，这两点到恒星的距离一个是，另一个是
（2）以上给出的解答是建立在椭圆的概念和几何意义之上的，以数学概念为根基充分体现了数形结合的思想。另外，数学应用问题的解决在数学化的过程中也要时刻不忘审题，善于挖掘隐含条件，有意识地训练数学思维的品质。
A，B，C是我方三个炮兵阵地，A在B正东6，C在B正北偏西，相距4，P为敌炮阵地，某时刻A处发现敌炮阵地的某种信号，由于B，C两地比A距P地远，因此4后，B，C才同时发现这一信号，此信号的传播速度为1，A若炮击P地，求炮击的方位角。（图见优化设计教师用书P249例2）
解：如图，以直线BA为轴，线段BA的中垂线为轴建立坐标系，则，因为，所以点P在线段BC的垂直平分线上。
因为，BC中点，所以直线PD的方程为　　（1）
又故P在以A，B为焦点的双曲线右支上。设，则双曲线方程为　　　（2）。联立（1）（2），得，
所以因此，故炮击的方位角北偏东。
说明：本题的关键是确定P点的位置，另外还要求学生掌握方位角的基本概念。
河上有抛物线型拱桥，当水面距拱顶5米时，水面宽度为8米，一小船宽4米，高2米，载货后船露出水面的部分高0.75米，问水面上涨到与抛物线拱顶距多少时，小船开始不能通行？
解：建立平面直角坐标系,设拱桥型抛物线方程为。将B（4,-5）代入得P=1.6
船两侧与抛物线接触时不能通过
则A(2,yA)，由22=-3.2 yA得yA = - 1.25
因为船露出水面的部分高0.75米
所以h=︱yA︱+0.75=2米
答：水面上涨到与抛物线拱顶距2米时，小船开始不能通行
[思维点拔]　注意点与曲线的关系的正确应用和用建立抛物线方程解决实际问题的技巧。．
如图所示，直线和相交于点M，，点，以A、B为端点的曲线段C上任一点到的距离与到点N的距离相等。若为锐角三角形，，建立适当的坐标系，求曲线段C的方程。
解：以直线为x轴，线段MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系，由条件可知，曲线段C是以点N为焦点，以为准线的抛物线的一段，其中A、B分别为曲线段C的端点。
　　设曲线段C的方程为，其中为A、B的横坐标，，所以，由，得　　（1）
　　　（2），（1）（2）联立解得，代入（1）式，并由
解得，因为为锐角三角形，所以，故舍去，所以
由点B在曲线段C上，得，综上，曲线段C的方程为
[思维点拔]本题体现了坐标法的基本思路，考查了定义法，待定系数法求曲线方程的步骤，综合考查了学生分析问题、解决问题的能力。
设抛物线的焦点为A,以B(a+4,0)点为圆心，︱AB︱为半径，在x轴上方画半圆，设抛物线与半圆相交与不同的两点M，N。点P是MN的中点。
（1）求︱AM︱+︱AN︱的值
（2）是否存在实数a，恰使︱AM︱︱AP︱︱AN︱成等差数列？若存在，求出a，不存在，说明理由。
解：(1)设M,N,P在抛物线准线上的射影分别为M′,N′,P′.
︱AM︱+︱AN︱=︱MM′︱+︱NN′︱=xM+xN+2a
得︱AM︱+︱AN︱=8
(2)假设存在a
因为︱AM︱+︱AN︱=︱MM′︱+︱NN′︱=2︱PP′︱
所以︱AP︱=︱PP′︱
，P点在抛物线上，这与P点是MN的中点矛盾。故a不存在。
抛物线上有两动点A，B及一个定点M，F为焦点，若成等差数列
求证线段AB的垂直平分线过定点Q
若（O为坐标原点），求抛物线的方程。
对于（2）中的抛物线，求△AQB面积的最大值。
解：（1）设，则，，
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高考关键词高中数学精选习题集_百度百科
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高中数学精选习题集
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很多同学跟小数老师说，数学题不会做考试很紧张，导致现在数学成绩很大，有没有什么得分的技巧，小数老师吐血整理
高中数学所有题型得分技巧，不会做一样多得分！！！必须收藏！！！
1.带个量角器进考场，遇见解析几何马上可以知道是多少度，小题求角基本马上解了，要是求别的也可以代换，关系。大题角度是个很重要的结论，然后你可以乱吹些上去，最后写出结论。分数get!
2.圆锥曲线中最后题往往联立起来很复杂导致k算不出，这时你可以取特殊值法强行算出k过程就是先联立，后算代尔塔，用下伟达定理，列出题目要求解的表达式，get!
3.空间几何证明过程中有一步实在想不出把没用过的条件直接写上然后得出想不出的那个结论即可。如果第一题真心不会做直接写结论成立则第二题可以直接用！用常规法的同学建议先随便建立个空间坐标系，做错了还有2分可以得！
4.立体几何中，求二面角B-OA-C的新方法。利用三面角余弦定理，设二面角B-OA-C是∠OA，∠AOB是α，∠BOC是β，∠AOC是γ，这个定理就是：cos∠OA=(cosβ-cosαcosγ)/sinαsinγ。知道这个定理，如果考试中遇到立体几何求二面角的题，套一下公式就出来了，还来得及，试试？
5.数学（理）线性规划题，不用画图直接解方程更快
6.数学最后一大题第三问往往用第一问的结论
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9.超越函数的导数选择题，可以用满足条件常函数代替，不行用一次函数。如果条件过多，用图像法秒杀～不等式也是特值法图像法～
10.选择题中如果有算锥体体积和表面积的话，直接看选项面积找到差2倍的小的就是答案，体积找到差3倍的小的就是答案，屡试不爽！
11.三角函数第二题，如求a（cosB+cosC）/（b+c）coA之类的先边化角然后把第一题算的比如角A等于60度直接假设B和C都等于60°带入求解。省时省力！
12.空间几何证明过程中有一步实在想不出把没用过的条件直接写上然后得出想不出的那个结论即可。如果第一题真心不会做直接写结论成立则第二题可以直接用！用常规法的同学建议先随便建立个空间坐标系，做错了还有2分可以得！
13.立体几何中第二问叫你求余弦值啥的一般都用坐标法！如果求角度则常规法简单！
14.选择题中考线面关系的可以先从D项看起，前面都是来浪费你时间的
15.选择题中求取值范围的直接观察答案从每个选项中取与其他选项不同的特殊点带入能成立的就是答案
16.线性规划题目直接求交点带入比较大小即可
17.遇到这样的选项 A.1/2 B.1 C.3/2 D.5/2 这样的话答案一般是D因为B可以看作是2/2 前面三个都是出题者凑出来的 如果答案在前面3个的话 D应该是2（4/2）
以上只是一些小技巧，数学想在不会的情况下再多拿一些分，还需要在大题上多拿分。
大题文科第一题一般是三角函数题，第一步一般都是需要将三角函数化简成标准形式Asin（wx+fai）+c，
接下来按题做就行了，注意二倍角的降幂作用以及辅助角（合一）公式，周期公式，对称轴、对称中心、单调区间、最大值、最小值都是用整体法求解。求最值时通过自变量的范围推到里面整体u=wx+fai的范围，然后可以直接画sinu的图像，避免画平移的图像。
这部分题还有一种就是解三角形的问题，运用正弦定理、余弦定理、面积公式，通常有两个方向，即角化成边和边化成角，得根据具体问题具体分析哪个方便一些，遇到复杂的题就把未知量列成未知数，根据定理列方程组，然后解方程组即可。
理科如果考数列题的话，注意等差、等比数列通项公式、前n项和公式；证明数列是等差或等比直接用定义法（后项减前项为常数/后项比前项为常数），求数列通项公式，如为等差或等比直接代公式即可，其它的一般注意类型采用不同的方法（已知Sn求an、已知Sn与an关系求an（前两种都是利用an=Sn-Sn-1，注意讨论n=1、n&；1），累加法、累乘法、构造法（所求数列本身不是等差或等比，需要将所求数列适当变形构造成新数列lamt，通过构造一个新数列使其为等差或等比，便可求其通项，再间接求出所求数列通项）；
数列的求和第一步要注意通项公式的形式，然后选择合适的方法（直接法、分组求和法、裂项相消法、错位相减法、倒序相加法等）进行求解。如有其它问题，注意放缩法证明，还有就是数列可以看成一个以n为自变量的函数。
第二题是立体几何题，证明题注意各种证明类型的方法（判定定理、性质定理），注意引辅助线，一般都是对角线、中点、成比例的点、等腰等边三角形中点等等，理科其实证明不出来直接用向量法也是可以的。计算题主要是体积，注意将字母换位（等体积法）；
线面距离用等体积法。理科还有求二面角、线面角等，用建立空间坐标系的方法（向量法）比较简单，注意各个点的坐标的计算，不要算错。
第三题是概率与统计题，主要有频率分布直方图，注意纵坐标（频率/组距）。求概率的问题，文科列举，然后数数，别数错、数少了啊，概率=满足条件的个数/所有可能的个数；
理科用排列组合算数。独立性检验根据公式算K方值，别算错数了，会查表，用1减查完的概率。回归分析，根据数据代入公式（公式中各项的意义）即可求出直线方程，注意（x平均，y平均）点满足直线方程。理科还有随机变量分布列问题，注意列表时把可能取到的所有值都列出，别少了，然后分别算概率，最后检查所有概率和是否是1，不是1说明要不你概率算错了，要不随机变量数少了。
第四题是函数题，第一步别忘了先看下定义域，一般都得求导，求单调区间时注意与定义域取交。看看题型，将题型转化一下，转化到你学过的内容（利用导数判断单调性（含参数时要利用分类讨论思想，一般求导完通分完分子是二次函数的比较多，讨论开口a=0、a&；0、a&；0和后两种情况下delt&；=0、delt&；0）
求极值（根据单调区间列表或画图像简图）、求最值（所有的极值点与两端点值比较）等），典型的有恒成立问题、存在问题（注意与恒成立问题的区别），不管是什么都要求函数的最大值或最小值，注意方法以及比较定义域端点值，注意函数图象（数形结合思想：求方程的根或解、曲线的交点个数）的运用。
证明有关的问题可以利用证明的各种方法（综合法、分析法、反证法、理科的数学归纳法）。多问的时候注意后面的问题一般需要用到前面小问的结论。抽象的证明问题别光用眼睛在那看，得设出里面的未知量，通过设而不求思想证明问题。
第五题是圆锥曲线题，第一问求曲线方程，注意方法（定义法、待定系数法、直接求轨迹法、反求法、参数方程法等等）。一定检查下第一问算的数对不，要不如果算错了第二问做出来了也白算了。
第二问有直线与圆锥曲线相交时，记住“联立完事用联立”，第一步联立，根据韦达定理得出两根之和、两根之差、因一般都是交于两点，注意验证判别式&；0，设直线时注意讨论斜率是否存在。
第二步也是最关键的就是用联立，关键是怎么用联立，即如何将题里的条件转化成你刚才联立完的x1+x2和x1x2，然后将结果代入即可，通常涉及的题型有
弦长问题（代入弦长公式）、
定比分点问题（根据比例关系建立三点坐标之间的一个关系式（横坐标或纵坐标），再根据根与系数的关系建立圆锥曲线上的两点坐标的两个关系式，从这三个关系式入手解决）、
点对称问题（利用两点关于直线对称的两个条件，即这两点的连线与对称轴垂直和这两点的中点在对称轴上）、
定点问题（直线y=kx+b过定点即找出k与b的关系，如b=5k+7，然后将b代入到直线方程y=kx+5k+7=k（x+5）+7即可找出定点（-5，7））、
定值问题（基本思想是函数思想，将要证明或要求解的量表示为某个合适变量（斜率、截距或坐标）的函数，通过适当化简，消去变量即得定值。）、
最值或范围问题（基本思想还是函数思想，将要求解的量表示为某个合适变量（斜率、截距或坐标）的函数，利用函数求值域的方法（首先要求变量的范围即定义域—别忘了delt&；0，然后运用求值域的各种方法—直接法、换元法、图像法、导数法、均值不等式法（注意验证“=”）等）求出最值（最大、最小），即范围也求出来了）。
抽象的证明问题别光用眼睛在那看，得设出里面的未知量，通过设而不求思想证明问题。
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