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高等数学 数列的极限.ppt 36页
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第三节 一 、数列极限的定义 例如, 根据准则 2 可知数列 内容小结 例2. 已知 刘徽(约225 – 295年) 柯西(1789 – 1857) N e 越来越小，N越来越大！ ?????????例1??用定义证明 证明
对于任意给定的
注： 就会暂时确定下来, 一旦给定, 以此来确定相应的N. 证明数列 的极限为1.
欲使 即 只要 因此 ,
取 则当 时, 就有 故 N 与 ?
有关, 但不唯一. 不一定取最小的 N . 注：
我国古代魏末晋初的杰出数学家. 他撰写的《重
差》对《九章算术》中的方法和公式作了全面的评
注, 指出并纠正了其中的错误 , 在数学方法和数学
理论上作出了杰出的贡献 . 他的 “ 割圆术 ” 求圆周率
“ 割之弥细 , 所失弥小, 割之又割 , 以至于不可割 , 则与圆合体而无所失矣 ” 它包含了“用已知逼近未知 , 用近似逼近精确”的重要 极限思想 . ? 的方法 : 目录
二 、数列极限存在准则
一、数列极限的定义
数列的极限 三 、收敛数列的性质
对圆作内接正三角形、正四边形、正五边形、正六边形、··· 这样继续循此下去,所得正多边形的面积就无限接近于圆的面积.
割之弥细， 所失弥少，割 之又割，以至 于不可割，则 与圆合体而无 所失矣.
刘徽割圆术 引例. 设有半径为 r 的圆, 逼近圆面积 S . 如图所示 , 可知 当 n 无限增大时,
无限逼近 S .
用其内接正 n 边形的面积 刘徽
如果按照某一法则，对每个 ，对应着一个 确定的实数 ，这些实数 按照下标n从小到大排列 得到的一个序列 就叫做数列，简记为数列
. 数列中的每一个数叫做数列的项，第n项
叫做数列的一般项或通项。
1、数列 定义 例如 注意： (1).数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取 (2).数列是整标函数 观察下列数列当 n 无限增大时， L L , , 2
0 ? 从上面可以看出
: 当 ￥ ? n 时
无限地接近于 1 ,
数列(2)从原点的两侧无限地接近于0,
一般项 的变化趋势: 数列 (1) 从
的右侧 2.数列极限的定义
当n无限增大时, 如果数列{xn}的一般项xn无限接近 于一个确定的常数a, 则常数a称为数列{xn}的极限, 或称数列{xn}收敛于a, 记为 a x n n = ￥ ? lim ，
当n无限增大时,
xn无限接近于a . ?当n无限增大时, |xn-a|无限接近于0 . ?当n无限增大时, |xn-a|可以任意小, 要多小就能有多小. ?当n增大到一定程度以后, |xn-a|能小于事先给定的任意 小的正数. 或 如果数列没有极限,就说数列是发散的. 习惯上也说 趋势不定 收
散 ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● ● 目标不惟一！！！！！！！！！！！！ 1.夹逼准则 二、极限存在准则 注意: 例 证明 证明 满足 由定义知 利用夹逼准则得 (1)
数列的有界性 例如, 有界； 无界. 数列{xn}有上界,即存在M, 使xn≤M (n=1,2,…). 数列{xn}有下界,即存在m,使xn ≥m(n=1,2,…). 2.单调有界准则 单调增加 单调减少 单调数列 几何解释: (2)
数列的单调性
如数列 由准则Ⅱ知 及 分别是单调减少且下界 为1及单调增加且上界为1的数列, 存在. 实际上 例 证 证明数列 极限存在 .
证: 利用二项式公式 , 有 设 例. 大
正 又 比较可知 大
记此极限为 e ,
e 为无理数 , 其值为 即 有极限 . 又 内容小结
(1) 收敛的数列必定有界. 注意：有界性是数列收敛的必要条件. 推论
无界数列必定发散. 例如, 有界但不收敛 数列 三、
收敛数列的性质 (2).收敛数列的极限唯一. (3).收敛数列具有保号性. 若 且 有 则 推论: 若数列从某项起 子数列的收敛性 注： 例如，
所谓子数列是指：数列中任意抽取无限多项并保 持这些项在原数列{xn}中的先后次序，这样得到的一 个数列称为原数列{xn}的子数列（或子列）.
中，一般项
正在加载中，请稍后...高数：数列的极限高数：数列的极限科技重心百家号今天我们接着聊数学的极限。我们从这一章开始接触到一个全新的思想——极限思想。但是有很多的同学对此认识不到位，今天，我们就讲一个知识点，极限的定义。我以前写过一篇文章，就是教你如何做好思想准备的。就是说在小学学习如何求圆的面积的时候我们是在圆内画内接正多边形，逐渐增加多边形的边数，那么自然这个多边形的面积也就越来越接近于圆的面积。这就是极限的思想。画虚线的地方就是“误差”，可见，边数越多，误差就越少在这里，你看到极限有一个特征，就是说，是无限逼近，是我逼近这个数，但是我永远也达不到，举个例子，就是反比例函数，当x趋近于无穷大的时候，那么y的极限就是0了。但是当你趋近于某一个值的极限，它还包括一个特征：以y=x为例，当x趋近于1时，y 趋近于1，也就是说当x无限逼近于1的时候y也要无限逼近于1。你可能觉得，我不是说了，我永远也达不到这个值吗？那么y可以等于1呀。这个你就要自己琢磨一下，y等于1的条件不是x等于1吗？我都说了我研究的是x无限逼近于1，就是说我现在不让它是1。那么y就自然没法等于1了。最后，给大家讲一讲极限的定义。数学有一个很重要的特征吧，就是说，严谨。定义中肯定不能说我无限接近，得换个词，用什么好呢？ε-Ν语言，后面的那个字母，我一直读成“嗯”，到后来才发现其实应该读成“钮”，好了，我们一起来看看它的定义：无限逼近形容的就是距离无限小对吧，那好，我用a来表示极限的那个永远也达不到的值，定义中不是说距离无限小吗？就是说比所有的数都小，那么我不相信，我假设一个数字ε，我觉得它就比你说的那个距离小。你看看，我用x-a表示他们之间的距离，再把我假设的那个加进去：这个时候我就会发现，从n=7开始以后的每个距离都比我假设的“最小的”ε要小，那么我的说法就明显错了，那么我再换一个，可是我随意的去换，无论怎么换，这个数列都能让我遇到类似的情况：从某一项开始，每一个距离都比我假设的要小。这就是极限。按照书上的说法，就是：好了，今天就说这么多，谢谢大家的阅读，祝大家新年快乐！本文由百家号作者上传并发布，百家号仅提供信息发布平台。文章仅代表作者个人观点，不代表百度立场。未经作者许可，不得转载。科技重心百家号最近更新：简介:科技重心分享最新的科技信息作者最新文章相关文章豆丁微信公众号
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本文介绍了高等数学之数列的极限的一些知识和概念，可以作为教案来参考，配有例题的讲解。
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高等数学之数列的极限
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