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等比数列求和公式推导
1 等差数列求和公式：（1）Sn=n(a1+an)/2 (2) Sn=na1+n(n-1)d/22 等比数列求和公式：qn) a1(1(1-q (1) Sn= 1q 1-q a1-anq (2) Sn= q 11-q 当q=1时,Sn=na1 q≠1 q≠1练习: 求和 1. 1+2+3+ …… +n 1+2+3+…… ……+ 答案: Sn=n(n+1)/2 2. 2+4+8+ …… +2 n 2+4+8+…… ……+2 +2n 答案: Sn=2n+1-2方法：直接求和法例1 求数列 x, 2x2,3x3,　… nxn，… 的前n项和。 解： ⑴当x=0时 S =0 n ⑵当x=1时 Sn=1+2+3+ …+ n=n(n+1)/2 =1+2+3+… ⑶当x≠1时 Sn=x+ 2x2+3x3+ … + nxn xSn= xn +nxn +1 x2 +2x3+3x4… + (n-1) (n-1)x① ②①－②得：(1x) Sn=x+ x2+x3+ … +xn - nxn +1 (1-x) x)S 化简得： Sn =x(1- xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x)0 综合⑴⑵⑶得 Sn= n(n+1)/2(x=0) (x=1)x(1-xn )/(1-x) 2 - nxn +1 /(1-x) ≠1） (x小结 1:“错项相减法”求和,常应用于型如 {anbn}的数列求和,其中{an}为等差 数列, {bn} 为等比数列.练习 1求和: 1/2+2/4+3/8+ …… +n/2n 1/2+2/4+3/8+…… ……+ 方法: 可以将等式两边同时乘以 或 2 1/2, 然后利用“错位相减法”求和.1 1 1 1 例2：求和 Sn= + + + …+ 2×5 5×8 8×11 (3n-1) (3n+2)解：∵数列的通项公式为 1 1 1 1 a n = (3 n -1 ) (3 n + 2) = 3 ( 3 n-1 - 3 n +2 )1 ∴ S n= 31 1 1 1 1 1 1 ( - + - + - +…+ 2 5 5 8 8 11 3n-4 1 1 1 + ) 3n-1 3n-1 3n+2 1 1 1 1 = ( )= 3 2 3n+2 6n+4小结2：本题利用的是“裂项相消法”，此法 常用于形如{1/ f(n)g(n)}的数列求和， {1/f(n)g(n)} 其中f(n),g(n)是关于n（n∈N)的一次 函数。 方法：把数列中的每一项都拆成两项的 差，从而产生一些可以相消的 项，最后剩下有限的几项。 此方法应注意： 对裂项公式的分析，通俗地 说，裂项，裂什麽？裂通项。练习 2： 求和 1 1 + 1×4 4×7 1 (3n-2)×(3n+1) 分析： a=n1 + 7×10+…+1 1 1 1 = ( ) (3n-2)×(3n+1) 3 3n-2 3n+1接下来可用“裂项相消法” 来求和。例 3：求和 1 1 1 1 1 1+(1+ )+(1+ + )+…+(1+ + +…+ 2 4 2 2 4 1 1 ) 1×（1- n ） 2 n-1 1 1 1 2 1 =2- n-1 解：∵an=1+2 +4 +…+2n-1 = 1 212 1 1 1 1 ∴ Sn=(2-- 0 )+(2-- 1 )+(2-- 2 )+…+(2-- n-1 ) 2 2 2 2 1 1 1 1 =2n-( 0 + 1 + 2 +…+ n-1 ) 2 2 2 21 1×（1- 2n ） 1 =2n=2n+ n-1 C2 1 2 12小结 3： 本题利用的是“分解转化求和法” 方法： 把数列的通项分解成几项，从 而出现几个等差数列或等比数 列，再根据公式进行求和。练习 3求和：1+（1+2）+（1+2+22)+ …+(1+2+22 )+… +…+2n-1) 分析：利用“分解转化求和”总结：常见求和方法 直接求和 （公式法） 倒序求和 错项相减 裂项相消 分解转化法 适用范围及方法 等差、或等比数列用求和公 式，常数列直接运算。 等差数列的求和方法 数列{ anbn}的求和，其中 {an} 是等差数列， {bn}是等比数列。 f(n)g(n)}的求和，其中 数列{1/ {1/f(n)g(n)} f(n),g(n)是关于n的一次函数。 把通项分解成几项，从而出现 几个等差数列或等比数列进行 求和。
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高中数学《等差数列的前n项和》教案3 苏教版必修5
用心爱心专心1等差数列的前N项和教学目标1．掌握等差数列前N项和公式及其获取思路．2．会用等差数列的前N项和公式解决一些简单的与前N项和有关的问题教学重点等差数列N项和公式的理解、推导及应用教学难点灵活应用等差数列前N项公式解决一些简单的有关问题教学方法引导式教学教具准备投影片钢管堆放示意图教学过程I复习回顾师经过前面的学习，我们知道，在等差数列中1）DAN??1（N≥1），为常数2）若BA,为等差数列，则2BAA??3）若QPM?，则QPNM（Ⅱ）讲授新课师利用前面所学知识，今天我们来探讨一下等差数列的求和问题（放投影片）生看投影片（钢管堆放示意图），师我们已经知道，这各层的钢管数可看作一个首项7,141?NDA的等差数列，利用314??????NAN可以很快捷地求出每一层的钢管数。如果现在要问这一共有多少钢管呢这个问题又该如何解决生积极思考，解决问题得（或（410）（59）68）77（410）/2）师对于一般的等差数列，又该如何去求它的前N项和设等差数列??NA的前N项和为NS，即123121AAASNNNN????????????或∴①②可得2∴21NNS用心爱心专心2或利用定义可得???????111DNADASNN??两式相加可得21即1NNAS??将DN1?代入可得DNASN211???综上所述等差数列求和公式为DNASN2211??师下面来看一下求和公式的简单应用例1一个堆放铅笔的V型的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多放一支，最上面一层放120支，这个V形架上共放着多少支铅笔解由题意可知，这个V形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔成等差数列，记为??NA，其中120,1?A，根据等差数列前N项和的公式，得762012???S答V形架上共放着7260支铅笔。例2等差数列10，6，2，2，前多少项的和是54解设题中的等差数列为??NA，前N项为NS则54,106,10????DA由公式可得42??解之得3,91N（舍去）∴等差数列10，6，2，2前9项的和是54（Ⅲ）课堂练习生（书面练习）（板演练习）师给出答案，结合学生所做讲评练习。（Ⅳ）课时小结师1。等差数列前N项和公式21NNAS??DASN211???2．等差数列前N项和公式获取思路用心爱心专心3（V）课后作业一、1．课本二、1．预习内容2．预习提纲如何灵活应用等差数列求和公式解决相关问题板书设计课题公式21NNAS??D1?推导过程例例教学后记
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同济7版高数54页的这道证明题求高手讲解第二步和第三步是怎么变换的？看不懂啊！
我有更好的答案
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根据推论二可得可以改为极限的m次方（m=n-1，n-2……），由习题的结论可以知道根号下的1/n次方在趋近于0时极限为1，故可得极限为1
路过凑凑热闹。看看
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#高数#求高手帮忙写出答案的详细步骤，看不懂是怎么来的！越计算越麻烦！求解答，给高分！
图中第二个等号后面的计算是怎么来的？高手帮忙解啊！
根据公式：∫(0,π/2) (cosθ)^n dθ=(n-1)!!/n!!
n为奇数=(n-1)!!/n!!*π/2
n为偶数所以题目中第二个等号=2*4*(1*3)/(2*4)*(π/2)=3π/2
好吧，给跪了，双阶乘，没学过！不过你是回答最好的！
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在你这章之前肯定有cosx
n次的公式，分为n为奇数和偶数
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