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理论力学习题及解答1
理论力学习题及解答第一章 静力学的基本概念及物体的受力分析1-1 画出指定物体的受力图，各接触面均为光滑面。1-2 画出下列指定物体的受力图，各接触面均为光滑，未画重力的物体的重量 均不计。291-3 画出下列各物体以及整体受力图，除注明者外，各物体自重不计，所有接 触处均为光滑。(a)(b)(c)(d)(e)(f)第二章 平面一般力系302-1 物体重 P=20kN，用绳子挂在支架的滑轮 B 上，绳子的另一端接在铰车 D 上，如图所示。转动铰车，物体便能升起，设滑轮的大小及滑轮转轴处的摩擦忽 略不计，A、B、C 三处均为铰链连接。当物体处于平衡状态时，试求拉杆 AB 和 支杆 CB 所受的力。2-2 用一组绳悬挂重 P=1kN 的物体，求各绳的拉力。 2-3 某桥墩顶部受到两边桥梁传来的铅直力 P1=1940kN，P2=800kN 及制动力 T=193kN，桥墩自重 W=5280kN，风力 Q=140kN。各力作用线位置如图所示，求 将这些力向基底截面中心 O 简化的结果，如能简化为一合力，试求出合力作用 线的位置。 2-4 水平梁的支承和载荷如图所示，试求出图中 A、B 处的约束反力。2-5 在图示结构计算简图中，已知 q=15kN/m，求 A、B、C 处的约束力。 2-6 图示平面结构， 自重不计， AB、 由 BD、 DFE 三杆铰接组成， 已知： P=50kN， M=40kN? m，q=20kN/m，L=2m，试求固定端 A 的反力。31图 2-6图 2-72-7 求图示多跨静定梁的支座反力。 2-8 图示结构中各杆自重不计，D、E 处为铰链，B、C 为链杆约束，A 为固定 端，已知：qG=1kN/m，q=1kN/m，M=2kN? m，L1=3m，L2=2m，试求 A、B、C 处约束反力。图 2-8图 2-92-9 支架由两杆 AO、CE 和滑轮等组成，O、B 处为铰链，A、E 是固定铰支座， 尺寸如图，已知：r=20cm，在滑轮上吊有重 Q=1000N 的物体，杆及轮重均不计， 试求支座 A 和 E 以及 AO 杆上的 O 处约束反力。图 2-10图 2-112-10在图示结构中，已知：P1=1kN，P2=0.5kN，q=1kN/m，L1=4m，L2=3m，32各构件自重不计。试求： （1）固定端 A 的反力； （2）杆 BD 的内力。 2-11 图示平面结构，销钉 E 铰接在水平杆 DG 上，并置于 BC 杆的光滑槽内， 各杆重及各处摩擦均不计。已知：a=2m，F1=10kN，F2=20kN，M=30kN? m，试 求固定端 A、活动铰支座 B 及铰 C 的反力。 2-12 结构尺寸如图， C 为光滑铰链， B、 各构件自重不计， 已知 P=2kN， M=4kN? m， q=4kN/m，试求固定端 D 及支座 A 的约束反力。图 2-122-13试计算图示桁架指定杆件的内力，图中长度单位为 m，力的单位为 kN。图 2-132-14物体 A 重 P=10N，与斜面间摩擦系数 f ? f ? =0.4。（1）设物体 B 重 Q=5N，试求 A 与斜面间的摩擦力的大小和方向。 （2）若物体 B 重 Q=8N，则物体与斜面间的摩擦力方向如何？大小多少？图 2-14图 2-152-15 均质杆的 A 端放在粗糙的水平面上，杆的 B 端则用绳子拉住，设杆与地 板的摩擦角为 ? ，杆与水平面的夹角为 45? 。问：当绳子与水平线的倾角 ? 等于 多大时，杆开始向右滑动。332-16 图示为一制动设备的尺寸及支承情况，轮与杆 DE 间的静摩擦系数 f=0.4， 物块重 Q=2000kN，r=L=10cm，R=2.5L，其余各杆重量不计，试求：阻止物块下 降所需的铅直力 P 的大小，杆 AB 和 DE 均处于水平位置。图 2-16图 2-172-17 用尖劈顶起重物的装置如图所示， 重物与尖劈 间的摩擦系数为 f，其他有圆辊处为光滑接触，尖劈 顶角为 ? ，且 tg ? ? f ，被顶举的重物重量设为 Q。 试求： （1）顶举重物上升所需的 P 值； （2）顶住重 物使其不致下降所需的 P 值。 2-18 一起重用的夹具由 ABC 和 DEG 两个相同的弯 杆组成，并且由 BE 连接，B 和 E 都是铰链，尺寸如 图所示， 试问要能提起重物 Q， 夹具与重物接触面处 的摩擦系数 f 应为多大？第三章 空间一般力系3-1 图示空间构架由三根直杆组成，在 D 端用球铰连接，A、B 和 C 端则用球 铰固定在水平地板上， 若挂在 D 端的物重 G=10kN， 试求铰链 A、 和 C 的反力。 B 各杆重量不计。图 3-1图 3-23-2 三连杆 AB、AC、AD 铰接如图。杆 AB 水平，绳 AEG 上悬挂重物 P=10kN。 在图示位置，系统保持平衡，求 G 处绳的张力 T 及 AB、AC、AD 三杆的约束力。34xy 平面为水平面。 3-3 空心楼板 ABCD，重 Q=2.8kN，一端支承在 AB 的中点 E，并在 H、G 两处 用绳悬挂，已知 HD ? GC ?AD 8，求 H、G 两处绳的张力及 E 处的反力。图 3-3图 3-43-4 图示三圆盘 A、B 和 C 的半径分别为 15cm、10cm 和 5cm。三轴 OA、OB 和 OC 在同一平面内，∠AOB 为直角。在这三个圆盘上分别作用力偶，组成各力 偶的力作用在轮缘上，它们的大小分别等于 10N，20N 和 P。如这三圆盘所构成 的物系是自由的，求能使物系平衡的力 P 和角 ? 的大小。 3-5 图示一起重机， 一边用与水平线成 60? 倾角的绳 CD 拉住， CD 在与 ABC 且 平面垂直的平面内，另一边由跨过滑轮 O 并悬挂着 Q1=100N 的重物且与 CE 垂 直的水平绳拉住， 已知： 起重机自重 Q2=2kN， 荷载 P=4kN， 1=100cm， 2=150cm， L L L3=420cm，不计摩擦。试求：支座 A、B 的反力及绳 CD 的张力。 3-6 重为 G 的均质薄板可绕水平轴 AB 转动，A 为球铰，B 为蝶形铰链，今用绳 索 CE 将板支撑在水平位置，并在板平面内作用一力偶，设 a=3m，b=4，h=5m， G=1000N，M=2000N? m。试求：绳的拉力及 A、B 处的约束反力。图 3-5图 3-63-7已知作用在直角弯杆 ABC 上的力 F1 与 x 轴同方向，力 F 2 铅直向下，且F1=300N，F2=600N，试求球铰 A，辊轴支座 C，以及绳 DE、GH 的约束反力。35图 3-7图 3-83-8 图示电动机 M 通过链条传动将重物 Q 等速提起， 链条与水平线成 30? 角 1 （x 轴平行于 x 轴） 。已知：r=10cm，R=20cm， Q=10kN，链条主动边（下边）的拉力为从 动边拉力的两倍。 求支座 A 和 B 的反力以及 链条的拉力。 3-9 正方形板 ABCD 由六根连杆支承如图。 在 A 点沿 AD 边作用水平力 P ， 求各杆的内 力，板自重不计。图 3-9第四章 运动学基础4-1 偏心凸轮半径为 R，绕 O 轴转动，转角 ? ? ? t （ ? 为常量） ，偏心距 OC=e， 凸轮带动顶杆 AB 沿铅直线作往复运动，试求顶杆 AB 的运动方程和速度方程。图 4-1图 4-24-2 杆 O1B 以匀角速度 ? 绕 O1 轴转动，通过套筒 A 带动杆 O2A 绕 O2 轴转动。 若 O1O2=O2A=L， ? ? ? t 。试分别用直角坐标法（坐标轴如图示）和自然法（以 O1 为原点，顺时针转为正向）求套筒 A 的运动方程。 4-3 点的运动方程为 x=50t，y=500-5t2，其中 x 和 y 以 m 计，t 以 s 计。求当 t=036时，点的切向加速度和法向加速度以及此时点所在处轨迹的曲率半径。 4-4 已知一点的加速度方程为 ax=-6m/s2，ay=0，当 t=0 时，x0=y0=0，v0x=10m/s， v0y=3m/s， 求点的运动轨迹， 并用力学方法求 t=1s 时， 点所在处轨迹的曲率半径。 4-5 已知图示机构的尺寸如下：O1A=O2B=AM=0.2M；O1O2=AB。如轮 O1 按? ? 15 ? t rad 的规律转动，求当 t=0.5s 时，杆 AB 上点 M 的速度和加速度。图 4-5图 4-64-6 升降机装置由半径 R=50cm 的鼓轮带动，如图所示，被升降物体的运动方 程为 x=5t2（t 以 s 计，x 以 m 计） 。求鼓轮的角速度和角加速度，并求在任意瞬 时，鼓轮边缘上一点的全加速度的大小。 4-7 在平行四连杆机构 O1ABO2 中，CD 杆与 AB 固结，O1A=O2B=CD=L，O1A 杆以匀角速度 ? 转动，当 O1A⊥AB 时，求 D 点的加速度 a D 。 4-8 折杆 ACB 在图示平面内可绕 O 轴转动，已知某瞬时 A 点的加速度为 a （m/s2） ，方向如图所示，试求该瞬时曲杆上 B 点的加速度。图 4-7图 4-84-9 两轮 I、II，半径分别为 r1=100mm，r2=150mm，平板 AB 放置在两轮上， 如图示。已知轮 I 在某瞬时的角速度 ? =2rad/s，角加速度 ? ? 0 . 5 rad/s2，求此时 平板移动的速度和加速度以及轮 II 边缘上一点 C 的速度和加速度（设两轮与板 接触处均无滑动） 。374-10 电动绞车由带轮 I 和 II 及鼓轮 III 组成， 鼓轮 III 和带轮 II 刚连在同一轴上， 各轮半径分别为 r1=300mm，r2=750mm，r3=400mm。轮 I 的转速为 n=100r/min。 设带轮与带之间无滑动，试求物块 M 上升的速度和带 AB、BC、CD、DA 各段上 点的加速度的大小。第五章 点的复合运动（本章带*的题是牵连运动为转动的题） 5-1 图示曲柄滑道机构，长 OA=r 的曲柄，以匀角速度 ? 绕 O 轴转动，装在水 平杆 BC 上的滑槽 DE 与水平线成 60? 求当曲柄与水平线的夹角 ? 分别为 0? 角， 、 30? 、60? 时杆 BC 的速度。 5-2 摇杆 OC 绕 O 轴转动， 经过固定在齿条 AB 上的销子 K 带动齿条上下移动， 而齿条又带动半径为 10cm 的齿轮 D 绕 O1 轴转动，若 L=40cm，摇杆的角速度? 0 =0.5rad/s，求当 ? =30? 时，齿轮 D 的角速度。图 5-1图 5-25-3 摇杆滑道机构的曲柄 OA 长 L，以匀角速度 ? 0 绕 O 轴转动，已知在图示位 置 OA⊥OO1，AB=2L，求此瞬时 BC 杆的速度。385-4 在图示机构中，曲柄 OA=40cm，绕 O 轴逆时针方向转动，从而带动导杆 BCD 沿铅直方向运动，当 OA 与水平线夹角 ? ? 30?时， ? ? 0.5rad/s，求该瞬时 导杆 BCD 的速度。图 5-5图 5-65-5 图示机构中，杆 O1D 绕 O1 轴转动，并通过 O1D 上的销钉 M 带动直角曲杆 OAB 摆动，L=75cm。当 ? =45? 时，杆 O1D 的角速度 ? 1 =2rad/s，试求该瞬时曲杆 OAB 的角速度的大小和转向。 5-6 图示铰接四边形机构中，O1A=O2B=10cm，O1O2=AB，杆 O1A 以等角速度 ? ? 2rad/s 绕 O1 轴转动，杆 AB 上有一套筒 C，此筒与杆 CD 相铰接，机构的各 部件都在同一铅直面内，求当 ? =60? 时杆 CD 的速度和加速度。 5-7 具有圆弧形滑道的曲柄滑道机构，用来使滑道 CD 获得间歇往复运动，若 已知曲柄 OA 作匀速转动，其转速 n=120r/min，又 R=OA=100mm，求当曲柄与 水平线成角 ? =30? 时滑道 CD 的速度和加速度。395-8 在图示机构中，已知 OO1=AB，OA=O1B=r=3cm，摇杆 O2D 在 D 点与套在 AE 杆上的套筒铰接。杆 OA 以匀角速度 ? 0 =2rad/s 转动，O2D=L= 3 3 cm，试求 当 ? ? 60? 时、 ? =30? 时杆 O2D 的角速度和角加速度。 *5-9 在图示半径为 r 的圆环内充满液体，该液体按箭头方向以相对速度 u 在环 内作匀速运动。若圆环以匀角速度 ? 绕垂直于图平面的 O 轴转动，求在圆环内 点 1 和 2 处液体的绝对加速度的大小。*5-10偏心凸轮的偏心距 OC=a，轮的半径 r= 3 a，凸轮以匀角速度 ? 0 绕 O 轴转动，设某瞬时 OC 与 CA 成直角，试求此瞬时杆 AB 的速度和加速度。 *5-11 曲柄 OA，长为 2r，绕固定轴 O 转动；圆盘半径为 r，绕 A 轴转动。已知 r=100mm，在图示位置，曲柄 OA 的角速度 ? 1 =4rad/s，角加速度 ? 1 ? 3rad/s2，圆 盘相对于 OA 的角速度 ? 2 =6rad/s2，角加速度 ? 2 ? 4rad/s2。求圆盘上点 N 的绝对 速度和绝对加速度。40*5-12 图示摆动机构的曲柄 OA 以匀角速度 ? =2rad/s 绕 O 轴转动，通过滑块 A 带动摆杆 O1B 运动。已知 OA=50cm，OO1=30cm，试求当 O1B⊥OO1 时，滑块 A 相对于 O1B 的加速度和摆杆 O1B 的角加速度。 *5-13 半径为 R 的圆盘以匀角速度 ? 1 绕水平轴 CD 转动，此轴又以匀角速度 ? 2 绕铅直轴 AB 转动，求圆盘上 点 M 的速度和加速度。第六章 刚体的平面运动6-1 用具有两个不同直径的鼓轮组成的铰车来提升一圆管，设 BE∥CD，轮轴 的转速 n=10r/min，r=50mm，R=150mm，试求圆管上升的速度。6-2 图示两平行齿条沿相同的方向运动，速度大小分别为：v1=6m/s，v2=2m/s。 在两齿条间夹一齿轮，其半径为 r=0.5m，求齿轮的角速度及其中心 O 的速度。 6-3 图示机构，已知直角三角形板 OAB 的边长 OB=15cm，OA=BC=30cm，铰接 在 A 点的圆盘作纯滚动，r=10cm，R=40cm。在图示位置时，圆盘的角速度? ? 2 rad/s，OA 铅直，AB⊥BC，试求该瞬时滑块 C 的速度。416-4 四连杆机构中，连杆 AB 上固结一块三角板 ABD，如图所示。机构由曲柄 O1A 带动， 已知： 曲柄的角速度 ? O A =2rad/s； 曲柄 O1A=10cm， 水平距离 O1O2=5cm，1AD=5cm； O1A 铅直时， 平行于 O1O2， AD 与 AO1 在同一直线上； ? =30? 当 AB 且 角 ， 求三角板 ABD 的角速度和点 D 的速度。 6-5 在瓦特行星传动机构中，杆 O1A 绕 O1 轴转动，并借杆 AB 带动曲柄 OB， 而曲柄 OB 活动地装置在 O 轴上，在 O 轴上装有齿轮 I；齿轮 II 的轴安装在杆 AB 的 B 端，已知：r1=r2=300 3 mm，O1A=750mm，AB=1500mm，又杆 O1A 的 角速度 ? 01 =6rad/s，求当 ? ? 60 ? 与 ? ? 90 ? 时，曲柄 OB 及齿轮 I 的角速度。6-6 绕线轮沿水平面滚动而不滑动，轮的半径为 R，在轮上有圆柱部分，其半 径为 r。将线绕于圆柱上，线的 B 端以速度 u 与加速度 a 沿水平方向运动，求绕 线轮轴心 O 的速度和加速度。 6-7 平面四连杆机构 ABCD 的尺寸和位置如图所示。如杆 AB 以等角速度 ? ? 1rad/s 绕 A 轴转动，求点 C 的加速度。426-8 图为一机构的简图，已知轮的转速为一常量 n=60r/min，在图示位置 OA∥BC，AC⊥BC，求齿板最下一点 D 的速度和加速度。 6-9 四连杆机构 OABO1 中，OO1=OA=O1B=100mm，OA 以匀角速度 ? =2rad/s 转动，当 ? =90? 时，O1B 与 OO1 在一直线上，求此时： （1）杆 AB 及 O1B 的角速 度； （2）杆 AB 及 O1B 的角加速度。 *6-10 深 水 泵 机 构 如 图 所 示 ， 曲 柄 O2C 以 匀 角 速 度 ? 0 转 动 。 已 知O1O2=O2C=BE=l，且在图示瞬时，O1C=BC。求： （1）活塞 F 的速度； （2）杆 O1B 的角加速度及活塞 F 的加速度。第七章 质点运动微分方程7-1 质量为 m 的球 A，用两根各长为 l 的杆支承。支承架以匀角速 ? 绕铅直轴 BC 转动，已知 BC=2a；杆 AB 及 AC 的两端均为铰接，杆重忽略不计，求杆所 受的力。437-2 一物体质量为 m=10kg，在变力 F=100(1-t)N 作用下运动，设物体初速度为 v0=20cm/s。开始时，力的方向与速度方向相同，问经过多少时间后物体速度为 零？并求这段时间内物体走过的路程。 7-3 光滑的半圆槽以加速度 a 向右移动，恰使一质量为 m 的小球停止在半圆槽 内，求 ? 角的大小。 7-4 一物体从地球表面以速度 v0 铅直上抛，假设空气阻力 R=mkv2，其中 k 为常 数，求该物体返回至地面时的速度。第八章 动力学普遍定理以下各题用动量定理求解 8-1 均质圆盘绕偏心轴 O 以匀角速 ? 转动，重 P 的滑杆借右端弹簧的推压顶在 圆盘上，当圆盘转动时，滑杆作往复运动。设圆盘重 Q，半径为 r，偏心距为 e， 求任一瞬时机座螺钉的总动反力。8-2 在图示曲柄滑杆机构中，曲柄以等角速度 ? 绕 O 轴转动。开始时，曲柄 OA 水平向右。已知：曲柄重 P1，滑块 A 重 P2，滑杆重 P3。曲柄的重心在 OA 的中 点，OA=l；滑杆的重心在 C 点，BC=l/2，求（1）机构质心的运动方程； （2）作 用在 O 点的最大水平力。 8-3 图示水平面上放一均质三棱柱 A， 在其斜面上又放一均质三棱柱 B， 两棱柱 的横截面均为直角三角形，已知 mA=3mB，尺寸如图，各处摩擦不计，求当三棱 柱 B 沿三棱柱 A 滑下至接触到水平面时，三棱柱 A 移动的距离。448-4 长 2l 的均质细杆 AB，其一端 B 搁在光滑水平面上，并与水平成 ? 0 角，求 当杆倒下时，A 点的轨迹方程。8-5 椭圆规的尺 AB 重 2P1， 曲柄 OC 重 P1， 滑块 A 与 B 均重 P2， OC=AC=CB=l， 曲柄与尺为均质杆。设曲柄以匀角速度 ? 转动，求此机构的动量。 8-6 船重 P，以速度 v 航行，重 Q 的物体 B 以相对于船的速度 u 空投到船上， 设 u 与水平面成 60?角，且与 v 在同一铅直平面内，若不计水的阻力，求二者共 同的水平速度。 8-7 均质杆 OA， 2l， P， 长 重 在铅直平面内绕 O 轴转动， 当杆与水平成 ? 角时， 角速度为 ? ，角加速度为 ? ，试求此时 O 端的反力。8-8 在图示滑轮机构中，重物 A 和 B 重分别为 P1 和 P2，若物 A 以加速度 a 下 降，滑轮和绳的质量均忽略不计，试求轴承 O 处的反力。 8-9 水柱以水平速度 v1 冲击水轮机的固定叶片，水流出叶片时的速度为 v2，并 与水平成 ? 角，求水柱对叶片的水平压力，假设水的流量为 Q，密度为 ? 。 以下各题用动量矩定理求解458-10T 字形杆由两根相同的匀质细杆 OA，BC 刚接而成，各杆质量均为 m，质1 ?1 ? L sin ? ? t ? 2 ?2 ?量为 m 的质点沿着杆 BC 以 r ?的规律运动。当 T 字形杆绕 O 轴以匀角速度 ? 转动时，求 t=1 秒时系统对 O 轴的动量矩，已知 OA=BC=L。8-11 不计质量且不可伸长的绳索跨过一半径为 r=150mm，重为 W=200N 的滑 轮，绳的一端悬挂一重 G=80N 的重物，另一端 A 作用一铅垂力 T，轴承摩擦不 计，滑轮可看作匀质圆盘，试问欲使重物具有向上的加速度 a=400mm/s2，则 T 应为多大。 8-12 匀质细杆 OA 的长 L=1m，质量 M1=3kg，其 A 端固结有质量 M2=1.5kg 的 小球。细杆在水平面内绕固定轴 O 以转速 n=40r/min 转动。一质量 m=0.01kg 的 子弹， 在水平面内以与 OA 成 30? 角的速度 v=800m/s 射入小球并与小球合为一体， 不计摩擦，求此后杆的角速度。图 8-138-13 如图 a 示，一均质圆盘刚连于均质杆 OC 上，可绕 O 轴在水平面内运动。 已知圆盘的质量 m1=40kg，半径 r=150mm；杆 OC 长 l=300mm，质量 m2=10kg。 设在杆上作用一常力矩 M=20N?m，试求杆 OC 转动的角加速度。如圆盘与杆 OC 用光滑销钉连于 C 如图 b，其它条件不变，则杆 OC 的角加速度又是多少？ 8-14 均质细长杆，质量为 M，长为 L，放置在光滑水平面上，若在 A 端作用一 垂直于杆的水平 F ，试求 B 端的加速度。 8-15 小车上放一半径为 r，质量为 m 的匀质钢管，钢管厚度很薄可略去不计， 钢管与车面间有足够的摩擦力防止滑动，今小车以加速度 a 沿水平向右运动，求46钢管中心 O 点的加速度。8-16 滑轮 A、B 重量分别为 Q1、Q2，半径分别为 R，r，且 R=2r，物体 C 重 P， 作用于 A 轮上的力矩 M 为一常量，试求 C 上升的加速度，设 A、B 轮为均质轮。8-17 图示均质圆柱体重 P，半径为 r，放在倾角为 60? 的斜面上，一细绳缠绕 在圆柱体上，其一端固定在点 A，此绳与 A 相连部分与斜面平行。若圆柱体与斜 面间的动摩擦系数为 f ? 1 / 3 ，试求其沿斜面落下的加速度 a C 的大小。 8-18 均质圆柱体 A 和 B 的重量均为 P，半径均为 r，一绳缠在绕固定轴 O 转动 的圆柱 A 上，绳的另一端绕在圆柱体 B 上，如图所示，轴承 O 摩擦不计。求（1） 圆柱体 B 下落时质心的加速度； （2）若在圆柱体 A 上作用一逆时针转向的转矩 M，试问在什么条件下圆柱体 B 的质心将上升。8-19 如图示，一重为 P 的物体 A 下降时，借助于跨过滑轮 D 的绳子，使轮子 B47在水平轨道上只滚动而不滑动。已知轮 B 与轮 C 固结在一起，总重为 Q，对通 过轮心 O 的水平轴的惯性半径为 ? ，试求 A 物体的加速度，滑轮 D 质量不计。 以下各题用动能定理求解 8-20 均质杆 OA 的质量为 30kg，杆在铅直位置时弹簧处于自然状态，设弹簧常 数 k=3kN/m，为使杆能由铅直位置 OA 转到水平位置 O A ? ，在铅直位置时的角速 度至少应为若干？8-21 有一系统，如图所示。当 M 离地面 h 时，系统处于平衡。现在给 M 以向 下的初速度 v0，使其恰能到达地面处，问 v0 应为若干？已知物体 M 和滑轮 A、B 的重量均为 P，且滑轮可看成均质圆盘，弹簧的弹簧常数为 k，绳重不计，绳与 轮之间无滑动。 8-22 两均质杆 AC 和 BC 各重 P，长均为 l，在点 C 由铰链相连接，放在光滑的 水平面上，如图所示。由于 A 和 B 端的滑动，杆系在其铅直面内落下，求铰链 C 与地面相碰时的速度 v，点 C 的初始高度为 h，开始时杆系静止。图 8-22图 8-238-23 均质细杆长 l，重 Q，上端靠在光滑的墙上，下端 A 以铰链与圆柱的中心 相连。圆柱重 P，半径为 R，放在粗糙的地面上，自图示位置（ ? =45?）由静止 开始滚动而不滑动。求点 A 在初瞬时的加速度。 8-24 周转齿轮传动机构放在水平面内，如图所示。已知动齿轮半径为 r，重 P， 可看成均质圆盘；曲柄 OA 重 Q，可看成均质杆；定齿轮半径为 R。今在曲柄上 作用一不变的力偶，其矩为 M，使此机构由静止开始运动。求曲柄转过 ? 角后的 角速度和角加速度。 以下为动力学普遍定理综合应用题488-25 图示三棱柱 A 沿三棱柱 B 的光滑斜面滑动，A 和 B 各重 P 和 Q，三棱柱 B 的斜面与水平面成 ? 角，如开始时物系静止，求运动时三棱柱 B 的加速度，忽 略各处摩擦。图 8-24图 8-258-26 质量为 m 的细圆环，半径为 r，可绕 O 点在铅直面内转动，当 OC 在水平 位置时，圆环从静止开始运动，求圆环运动过程中 O 处约束力与 ? 的关系，若在 ? ? ? / 4 时，铰 O 突然破坏，求此后圆环的运动。图 8-26图 8-278-27 圆管的质量为 M，半径为 R，以初角速度 ? 0 绕铅直轴 z 转动，管内有质量 为 m 的小球 s，由静止开始自 A 处下落，试求小球到达 B 处和 C 处时圆管的角 速度和小球 s 的速度。已知圆管对 z 轴的转动惯量为 J，摩擦不计。 8-28 在图示机构中，沿粗糙斜面只滚不滑的圆柱体 A 和鼓轮 O 均为均质圆盘， 各重 P 和 Q，半径均为 R，斜面倾角为 ? ，不计滚动摩擦。如在鼓轮上作用一常 力偶矩 M0，求： （1）鼓轮的角加速度； （2）轴承 O 的水平反力。498-29 在图示系统中， 已知均质实心圆柱 1 和空心薄壁圆管 2， 其质量分别为 m1、 m2，绳子一端与圆柱 1 的质心连接，另一端多圈绕在圆管 2 上，滑轮 A 的重量 不计。设圆管 2 铅直下降，圆柱 1 只滚不滑，且滚动摩阻不计。试求： （1）圆柱、 圆管质心的加速度。 （2）圆柱 1 沿水平面只滚不滑时，其与支承面之间的滑动摩 擦系数 f 应为多少。 8-30 曲柄连杆机构位于水平面内，均质曲柄 OA 重 P1，均质连杆 AB 重 P2，滑 块 B 重 Q，已知 OA=r，AB=L，OO1=b，曲柄受常力矩 M 的作用，略去摩擦。 假定初瞬时曲柄 OA 与滑道平行，角速度等于零，求曲柄转完第一圈时滑块 B 的 速度。8-31 系统如图，重物 A 质量为 3m，定滑轮 B 和圆柱 O 可看作均质圆盘，质量 均为 m，半径均为 R，弹簧常数为 k，初始时弹簧为原长，系统从静止释放。若 圆柱 O 在斜面上作纯滚动，且绳与定滑轮 B 之间无相对滑动，B 轴光滑，弹簧 和绳的倾斜段与斜面平行，试求当重物下降距离 S 时重物的速度。第九章 动静法9-1 图示质量为 m1=100kg 的矩形块， 置于质量为 m2=50kg 的平台车上， 平台车 沿光滑的水平面运动。车和矩形块在一起由质量为 m3 的物体牵引，使之作加速 运动。设物块与车间的摩擦力足够阻止相互滑动，求能够使车加速运动的质量 m3 的最大值，以及此时车的加速度大小。509-2 铅直轴 AB 以匀角速度 ? 转动，轴上刚连两杆，杆 OE 与轴成角 ? ，杆 OD 垂直于轴 AB 与杆 OE 所成的平面。已知 OE=OD=L，AB=2b。在两杆端各连一球 E 与 D，球的质量各为 m，求轴承 A 与 B 处的动反力，球 D 与 E 可视为质点， 杆的质量不计。 9-3 图示长方形均质平板长 20cm，宽 15cm，质量为 27kg，由两个销钉 A 和 B 悬挂。如果突然撤去销钉 B，求此瞬时平板的角加速度和销钉 A 的约束反力。9-4 图示复摆位于铅直面内，由匀质细杆与匀质圆盘固结而成。已知：杆长为 2r，质量为 m，与铅直线夹角为 ? ；圆盘半径为 r，质量也为 m。试求 E 处绳被 剪断瞬时： （1）复摆的角加速度； （2）支座 O 的反力。 9-5 均质杆重 P，长 l，悬挂如图，求一绳突然断开时，杆质心的加速度及另一 绳的拉力。9-6 龙门刨床简化如图示，已知齿轮半径为 R，转动惯量为 J，其上作用一不变 力矩 M，工作台 AB 和工件共重 P，齿轮与工作台底的齿条相啮合，刨刀的切削 力为 F。求工作台的加速度和齿轮轴承的水平反力。9-7 图示曲柄 OA 重为 P，长为 r，以等角速 ? 绕水平的 O 轴反时针方向转动。51由曲柄的 A 端推动水平板 B，使重为 Q 的滑杆 C 沿铅直方向运动，忽略摩擦。 求当曲柄与水平方向夹角为 30? 时的力矩 M 及轴承 O 的反力。 9-8 图示匀质圆轮沿斜面作纯滚动，用平行于斜面的无重刚杆连接轮与滑块。 已知：轮半径为 r，轮与滑块质量均为 m，斜面倾角为 ? ，与滑块间动摩擦系数 为 f ? ，不计滚动摩擦。试求： （1）滑块 A 的加速度； （2）杆的内力。 9-9 均质杆 AB 重 W=10kN，由两鼓轮带动使其保持水平地匀速上升，若突然改 变鼓轮转速，使杆 A、B 两端分别具有加速度 aA=4m/s2，aB=8m/s2，试求此时两 绳的拉力。9-10 一均质圆球原静止在板上，设使板有向右的加速度 a=2g。已知球与板之 间的摩擦系数为 f 滚动摩擦不计） 试分别就球在板上只滚不滑和又滚又滑两种 （ ， 情况计算球心相对于板的加速度，并确定 f 之值至少应为若干才不至产生相对滑 动。 9-11 图示系统由两相同匀质细杆组成，位于铅垂 面内，已知：杆质量均为 m，长均为 L，试求当系 统从图示位置（杆 AB 水平，? ? 30 ? ）无初速释放 的瞬时，杆 AB 和 BD 的角加速度。第十章 虚位移原理10-1 一台秤的构造简图如图所示，已知 BC 与 OD 平行且 BC=OD，BC=1 10AB，设秤锤重 Q=1kN，问秤台上的物重 P 为若干？5210-2在曲柄压榨机构中的曲柄 OA 上作用―力偶，其矩 M=50N?m，若OA=r=0.1m，BD=DC=ED=l=0.3m，∠OAB=90?， ? ? 15 ? ，各杆自重不计，求压 榨力 P。 10-3 在图示机构的 G 点上作用一水平力 P1 ，在 A 点作用一铅直力 P2 以维持机构的平衡，求 P2 之值，图中 AC=BC=EC=DC=GE=GD=L，杆重不计。10-4在图中，连接 D、E 两点的弹簧之弹簧常数为 k，AB=CB=l，BD=BE=b，当 AC=a 时，弹簧拉力为零，设在 C 处作用一水平力 F ，使系统处于平衡，在不 计杆 AB、BC 的质量，不计摩擦的情况下，求 A、C 间的距离 x。 10-5 静定联合梁由 AG、GD、DE 组成，如图所示。图中尺寸均以 m 计，已知 q=1.5kN/m，P=4kN，m=2kN?m，求 A、B、C、E 四处的反力。10-6 在图示机构中，当曲柄 OC 绕 O 轴摆动时，滑块 A 沿曲柄滑动，从而带动 杆 AB 在铅直导槽 K 内移动。已知：OC=a，OK=L；问在 C 点沿垂直于曲柄 OC 的方向应作用多大的力 Q ，才能平衡沿杆 AB 作用并朝上的力 P ？ 10-7 静定刚架由 AE、EBF、FCG 及 GD 四部分组成， 尺寸及荷载如图所示。 试求 A、 B 两支座的反力。 10-8 试求图示桁架中 1、2 两杆件的内力。53图 10-7图 10-810-9在图示结构中，已知 P、qE、L1、L2，试求 BC 杆的内力。10-10两相同的均质杆位于铅直平面内，长度均为 l，重均为 W，其上均作用如图所示之力偶 m，试求平衡时杆与水平线之夹角 ? 1 、 ? 2 。 10-11 图示滑轮系统，系绳绕在滑轮 A 上并跨过滑动 O 和 B 与弹簧相连。已知 滑轮 O 重 P，重物重 Q，弹簧的刚性系数为 k，滑轮 A 的半径为 r。求系统处于 平衡时，作用在滑轮 A 上的力偶矩 M 和弹簧的变形 ? 。10-12 在压榨机上的手轮上作用一力偶，其矩为 M，手轮轴的两端各有螺距同 为 h、但方向相反的螺纹。螺纹上各套一螺母 A 和 B，这两个螺母分别与长为 a54的杆相铰接，四杆形成菱形框如图所示。其中 D 点固定不动，而点 C 连接在水 平压板上，求菱形框顶角等于 2? 时，压榨机对被压物体的压力。第十一章 拉格朗日方程11-1 用卷扬机拖一重 P 的物体沿倾角为 ? 的斜面上升。半径为 R 的鼓轮 A 由 带轮 B 带动，B、C 两带轮的半径分别为 r1、r2。带轮 B 与鼓轮 A 固连，转动惯 量为 J1。轮 C 的转动惯量为 J2。已知在轮 C 上作用一转矩 M，重物与斜面之间 的动摩擦力为其重量的 0.1 倍，求物体上升的加速度。11-2 在图示系统中，匀质杆 AB 长 b、质量为 M。物块 A、B 的质量皆为 m，可 沿光滑墙与光滑水平地面滑动。 （1）以 ? 为广义坐标，用拉氏方程建立系统的运 动微分方程； （2）设 t=0 时，? 0 ? 30 ? ，??0 ? 0 ，试求杆 AB 下滑至 ? ? 60 ? 时的角 速度。 11-3 在图示行星齿轮机构中，以 O1 为轴的轮固定不动，其半径为 r，机构位于 水平面内。 设两动轮皆为均质圆盘， 半径皆为 r， 质量皆为 m。 如作用在曲柄 O1O2 上的转动力矩为 M，不计曲柄质量，求曲柄的角加速度。11-4一均质杆 AB，长 l，两端可沿半径为 R 的光滑圆弧的表面滑动，设在运动过程中杆 AB 始终保持在一铅直平面内，试求杆在其平衡位置附近作微幅摆动的 周期。 11-5 滑块 A 与小球 B 重均为 P，系于绳子的两端，绳长 l，滑块 A 放在光滑水 平面上。用手托住 B 球，并使其偏离铅直位置一微小角度，然后放手。设滑轮 O 的大小不计，求系统的运动微分方程。 11-6 在图示系统中，物块 A、B、C 的质量均为 m，光滑斜面的倾角分别为 ? 和? ，各滑轮的质量均忽略不计。试求： （1）以 x1 和 x2 为广义坐标，用拉氏方程55建立系统的运动微分方程； （2）物块 A 和 B 的加速度 a1 和 a2。第一章 静力学的基本概念及物体的受力分析1-1 解1-2 解561-3 解（a）（b）（c）57（d）（e）58（f）第二章 平面一般力系2-1 解：以滑轮为研究对象，受力图如 2-1 所示。?Y ?i?0， ? S C sin 30 ? ? T cos 30 ? ? P ? 0 ，而 T=P，? S C ? ? 74 . 64 kN（压力） ， ? S A ? S C cos 30 ? ? T sin 30 ? ? 0 ， S A ? 54 . 64 kN（拉力）Xi ? 0题 2-1题 2-2（a）题 2-2（b）2-2 解：①研究节点 A，受力图 2-2（a）所示?Y ?i?0， T 2 sin 45 ? ? P ? 0 ， T 2 ?2 ? 1 . 41 kNXi ? 0， T 2 cos 45 ? ? T1 ? 0 ，T1=1kN②研究节点 B，受力图 2-2（b）所示?Yi? 0 ， T 4 cos 30 ? ? T 2? cos 45 ? ? 0 ， T 4 ?2 3?2 ? 1 . 15kN?Xi ? 0， T3 ? T 4 sin 30 ? ? T 2? sin 45 ? ? 0 ，T3=1.58kN2-3 解：以基底截面中心 O 为简化中心，选坐标 Oxy，主矢投影分别为：? Rx ??X i ? ? T ? Q ? ? 333kNR? ? y?Yi? ? P1 ? P2 ? W ? ? 8020kN59R? ?? R x ? R ? ? 8027 y2 2kN方向余弦 主矩 M 0 ?? R? ? 0c o s R ,i ) ? (?XiR?? ? 0 .0 4 1 5? ? ( R ?, i ) ? ? 92 ? 2 3 ??m0( Fi ) ? P1 ? 0 . 4 ? P2 ? 0 . 4 ? T ? 21 . 5 ? Q ? 10 . 7 ? 6103 . 5 kN? m， M 0 ? 0 ，? 可以进一步简化为一合力 R ， R ? R ? =8027kNM0合力作用线位置 x ??6103 . 5 ? 8020? ? 0 . 761Rym 在 O 点的左边2-4 解：取梁 CD 为研究对象，受力分析如图所示?Xi ? 0 ( Fi ) ? 0?XA?01 2 q ? 3?1 ? 0?mA，? NB ? 2 ? P ? 3 ?1 2 2 1000 ? 32000 ? 3 ? ? NB ?? 3750N ，? Y A ? 2000 ? 1500 ? 3750 ? ? 250 N（↓）? Yi?0，YA ? N B ? P ?1 2q?3? 0题 2-3题 2-460题 2-52-5 解：取整体为研究对象，图（a）?m ?Y ?iA(F ) ? 0， ? q ? 8 ? 4 ? X B ? 4 ? YB ? 8 ? 0Y A ? YB ? 8 q ? 0 X ? XB ? 0（1） （2） （3）? 0，Xi ? 0，A再取 BC 为研究对象，图（b）?mC( Fi ) ? 0， ? q ? 4 ? 2 ? X B ? 4 ? YB ? 4 ? 0（4）（1）（4）联立解得 X B ? 20 kN， Y B ? 50 kN 、 代入（2）（3）解得 X A ? 20 kN， Y A ? 70 kN 、?Xi ? 0，XC ? XB ? 0，X C ? 20kN kN?Y ?i? 0 ， YC ? Y B ? q ? 4 ? 0，YC ? 102-6 解：先以 DEF 为研究对象，图（a）Xi ? 0，? X D ? 02?m ?YiD( Fi ) ? 0 ， R E ? L ? q ? 2 ? L ? 0 ，? RE ?160 2? 80kN? 0 ， YD ? RC ? q ? 2 L ? 0， ? YD ? 0再以 BD 为研究对象，图（b）? YD ? YD ? 0 ? ，XD ? XD ? 0，?mC( Fi ) ? 0，YB ? L ? P ?4 5?L? M ? 0，? Y B ?80 ? 40 2? 20kN61?Xi ? 0，XB ? P?3 5? 0 ， ? X B ? 30kN再以 BA 为研究对象，图（c）?m ?A( Fi ) ? 0? ， X B ? 2 L ? m A ? 0 ， ? m A ? ? 30 ? 4 ? ? 120 kN? mXi ? 0? ， X A ? X B ? 0 ， ? X A ? 30 kN?Yi? 0 ， Y A ? Y B? ? 0 ，? Y A ? 20kN题 2-62-7 解：先以 EF 为研究对象，受力如图示 ∵荷载、结构对称：? Y E ? Y F ? 60 kN。 再以 CD 为研究对象，受力如图示 由? X i ? 0 ， ? X E ? X F?Xi ? 0? ，? X F ? 0 ，故XE ? XF ? 0?m ?Y ?C( Fi ) ? 0 ? 0，， R D ? 10 ? Y F? ? 2 ? 20 ? 10 ? 5 ? 0 ， ? R D ? 88 kNR C ? R D ? 60 ? 20 ? 10 ? 0C，? R C ? 260 ? 88 ? 172kN再取 AE 为对象，受力如图示Xi ? 0，?XA?0?m ?YiA( Fi ) ? 0， R B ? 10 ? 50 ? 5 ? 60 ? 12 ? 0 ， ? R B ? 97 kNY A ? Y B ? 50 ? 60 ? 0? 0，，? Y A ? 13kN62题 2-7题 2-82-8 解：先以 CE 折杆为研究对象，见图（a）?m ?m ?i? 0 ， N E ? 2 L2 ? M ? 0 ，? RC ? N E ?2 4? 0 .5kN再以 DEB 杆为研究对象，见图（b）D( Fi ) ? 0 ， R B ? L 2 ? q ? 2 L 2 ? L 2 ? 0 ， ? R B ? 4? ? ， X D ? N E ? 0 ， X D ? ? N E ? ? 0 . 5 kN YD ? q ? 2 L2 ? R B ? 0kNXi ? 0?Y ?i? 0，， ? YD ? 0再取 AGD 为研究对象，见图（c）Xi ? 0? ， X A ? X D ? 0 ， ? X A ? ? 0 . 5 kN1 2 ? q G L1 ? Y D ? 0 L2 2 ? 1 2? ， ? Y D ? Y D ? 0 ， ? Y A ? 1 . 5 ? 2 ? 3 . 5 kN?Yi? 0 ， Y A ? q ? L2 ? ( Fi ) ? 0?m ?m ?A， m A ? q ? L2 ?q G ? L1 ?L1 3? ? X D ? 2 L2 ? 0，? m A ? 2 . 5 kN? m2-9 解：取整体，如图（a）E( Fi ) ? 0， X A ? 1 ? Q ? 2 . 1 ? 0 ， X A ? ? 2100 NXi ? 0， X E ? X A ? 0 ， X E ? 2100 NY A ? Y E ? Q ? 0 ……（*）?Yi? 0，取 CBE，如图（b）?m ?B( Fi ) ? 0， X E ? 1 ? Y E ? 1 ? T ? r ? 0 ， Y E ? X E ? rT ? 2000 NXi ? 0， X E ? X B ? T ? 0 ， X B ? ? 2600 N N63?Yi? 0 ， Y E ? Y B ? 0 ， Y B ? ? 2000取 ABO（不含 O 销钉） ，如图（c）?Xi ? 0? ， X O ? X B ? X A ? 0 ， X O ? ? 500 N?mA( Fi ) ? 0， YO ? 2 ? Y B? ? 1 ? 0 ，YO ? ? 1 0 0 0 N将 YE 代入（*）式，得 YA=－1000（↓）题 2-92-10 解：取构架 BCD 为研究对象，如图（a）?m ? Yi ?B(F ) ? 0， R D ? 3 ? P2 ? 4 ? 0 ，R D ? 0 . 667kN取节点 D 为研究对象，如图（b）? 0， S BD ? sin ? ? R D ? cos ? ? 0 ， S BD ? R D ? ctg ? ? ( 2 ? 3 ) /( 3 ? 4 ) ? 0 . 5 kN取整体为研究对象，如图（c）Xi ? 0， R D ? X A ? 0 ， X A ? ? R D ? ? 0 . 667 kNY A ? 1 ? 0 .5 ? 4 ? 5 .5?Yi? 0 ， Y A ? P1 ? P2 ? qL 1 ? 0 ， (F ) ? 0kNMA?mA， M A ? RD ? 3 ?1 2qL 1 ? P1 ? 4 ? P2 ? 8 ? 0 ，2? 14kN? m题 2-1064题 2-112-11 解： （1）取 DG?m ?D( Fi ) ? 0 ， N E cos 45 ? ? a ? F 2 ? 2 a ? 0，N E ? 56 . 56 X D ? ? 40 Y D ? ? 20kN kN kNXi ? 0 ? 0， ，X D ? N E sin 45 ? ? 0 ， Y D ? N E cos 45 ? ? F 2 ? 0 ，?Yi（2）取 BEC?m ?C( Fi ) ? 0， YB ? 2 a ? N E 2 a ? 0 ，? X C ? N E sin 45 ? ? 0Y B ? 40kNXi ? 0，， ，X C ? 40 YC ? 0kN?Y ?i? 0，? Y C ? N E cos 45 ? ? Y B ? 0（3）取 AHXi ? 0，? ? X A ? X D ? X C ? F1 ? 0 ? Y A ? Y D ? YC? ? 0，XA? ? 10kN kN ， M A ? ? 50 kN? m?Yi? 0， ( Fi ) ? 0，Y A ? ? 20?m2-12A， MA? ? ? X D ? a ? X C ? 2 a ? F1 ? 3 a ? M ? 0解： （1）取 ABA?m ? ?( Fi ) ? 0，XB ?4 ? q?4?2 ? 0，XAX B ? ? 2 q ? ? 8 kN X ? ? 8 kNXi ? 0，? XB ? q?4 ? 0，A（2）取 BCXi ? 0，? XC ? XB ? 0，X C ? ? 8 kN?mC( Fi ) ? 0， Y B? ? 5 ? M ? 0 ，Y B? ? 0 . 865kN? Yi ?Y ?? 0，Y C ? Y B? ? 0，YC ? 0 . 8 kN再取 ABi? 0，YB ? Y A ? 0，Y A ? ? 0 .8kN（3）取 CDXi ? 0，? X D ? X C ? P ? sin 60 ? ? 0 Y D ? P cos 60 ? ? YC? ? 0，X D ? ? 6 . 2 6 8kN?Yi? 0，，Y D ? ? 0 .2 MkN kN? m?mD( Fi ) ? 0 ， MD? P sin 60 ? ? 3 ? X C ? 4 ? 0 ，D? 26 . 8题 2-122-13（a）解：先以整体为研究对象，受力分析如图（a）所示B? m A ( Fi ) ? 0 ， R? 12 ? 10 ??3 ? 2?3 ? 3?3 ? 5 ? 6 . 93 ? 0 ， ? R B ? 11 . 5 kN?取截面 I-I，考察右部 CBE 的平衡? m O 1 ( Fi ) ? 0 ， R ? m O 2 ( Fi ) ? 0 ， R ? m C ( Fi ) ? 0 ，B? 8 ? 5 ? 2 3 ? S1 ? 2 ? 0 ，3 2? S 1 ? ? 37 . 3 kNB? 12 ? 5 ? 4 3 ? S 2 ??4? 0， ? S 2 ? 30 kN? S 3 ? 20RB ? 6 ? S3 ? 2 3 ? 0 ，kN题 2-13（a）（b）解：取整体，如图（a）66?mA? 0,? 60 ? 2 ? 60 ? 4 ? 60 ? 6 ? 30 ? 8 ? R B ? 16 ? 0 ，R B ? 60kN取截面 I-I，考察右部平衡，如图（b）? m C ( Fi ) ? 0 ，RB ? 8 ? S ? 4 ? 0 得S=120kN再取截面 II-II，仍然考察右部平衡，如图（c） ，? m O ( Fi ) ? 0 ， RB? 12 ? S ? 4 ? 30 ? 4 ? 60 ? 2 ? S 1 ? 2 2 ? 0 ， ? S 1 ? 0题 2-13（b）2-14解：以物块 A 为对象，设物块静止（1）当 Q=5N 时?Xi ? 0， N A ? P sin 30 ? ? 0 ， ? N A ? 5 N ，? T=Q，? F ? 3 . 66 N?Yi? 0 ， F ? T ? P cos 30 ? ? 0N 而 Fmax ? fN A ? 0 . 4 ? 5 ? 2 N ? F ，? A 将向下滑动。故知 F ? f ? A ? 2 N ，沿斜面向上。 （2）当 Q=8N 时，由上述平衡方程得 F ? 0 . 66 N ? F max ，? A 将处于静止平衡， 故 F=0.66N，方向仍沿斜面向上。2-15 解：设 AB 杆处于临界平衡状态?Xi ? 0， T cos ? ? F A max ? 0（1） （2）?Yi? 0 ， T sin ? ? P ? N A ? 067?MB? 0，P1 2L cos 45 ? ? N A ? L cos 45 ? ? F A max ? L cos 45 ? ? 0（3）F A max ? N A f（4）由（1）（2）得： tg ? ? ( P ? N A ) / N A f 、 由（3）（4）得： N A ? P / 2 (1 ? f ) ， f ? tg ? ， ? tg ? ? 2 ? 、2 51 tg ? Fm f2-16 解：取轮： ? M O ? 0 ， ? Qr ? F max R ? 0 ， F max ? 取 DE : ? M E ? 0 ， T ? 12 L ? N ? 6 L ? 0 ， T ? Q / 2 取 AB : ? M B ? 0 ， P ? 10 L ? T ?L ? 0 ，P ? 1 0 0kNQ，N ??Q题 2-162-17 解： （1）设顶举重物上升所需的 P 为 P1。考虑重物有上升趋势的临界平 衡状态， 对重物： ? Y i ? 0 ， N ? cos ? ? F max sin ? ? Q ? 0F max ? fN ? 对尖劈： ? X i ? 0 ， F max ? cos ? ? N ? sin ? ? P1 ? 0（1） （2） （3）由（1）（2）（3）得： P1 ? 、 、sin ? ? f cos ? cos ? ? f sin ?Q（2）设顶住重物使其不致下降所需的力 P 为 P2。考虑重物有下降趋势的临界平 衡状态， 对重物： ? Y i ? 0 ， N ? cos ? ? F max sin ? ? Q ? 0 （1）68F max ? fN ? 对尖劈： ? X i ? 0 ， N ? ? sin ? ? F max ? cos ? ? P2 ? 0（2） （3）由（1）（2）（3）得： P2 ? 、 、sin ? ? f cos ? cos ? ? f sin ?Q题 2-172-18 解：考虑重物有下滑趋势的临界平衡状态。 考察整体，受力图如原图示： ? Y i ? 0 ， P=Q 取绳结 H： ? X i ? 0 ， T1=T2； ? Y i ? 0 ， T1=Q 取弯杆 ABC： ? M B ? 0 ， T1 ? 60 ? N C ? 15 ? FC max ? 20 ? 0 ，又 FC max ? fN C 得NC ?60 Q 15 ? 20 f取重物： ? X i ? 0 ， NC=NG ，? FC max ? FG max ? fN C?Yi? 0，FC m a x ? FG m a x ? Q ? 0 得2fNC=Q ，? f ? 0 . 15题 2-18 69第三章 空间一般力系3-1 解：取结点 D 为研究对象，受力图如图示?Xi ? 0 ?0， ? R A cos 45 ? ? R B cos 45 ? ? 0?Yi， ? R A sin 45 ? cos 30 ? ? R B sin 45 ? cos 30 ? ? R C cos 15 ? ? 0?Zi? 0 ， ? R A sin 45 ? sin 30 ? ? R B sin 45 ? sin 30 ? ? R C sin 15 ? ? G ? 0R C ? 33 . 5 kN联立解得： R A ? R B ? ? 26 . 4 kN ，题 3-1题 3-23-2 解：取结点 E?Z ?取结点 Ai? 0 ， T A sin 30 ? ? P ? 0， T A ? 2 P ? 20 kNT ? 17 . 32 kNXi ? 0， T ? T A cos 30 ? ? 0 ，?Y ?i?0， ( S D ? S C ) cos 45 ? ? 0 ， S C ? S D ， T A cos 30 ? ? S B ? 2 S C sin 45 ? cos 60 ? ? 0Xi ? 0?Zi? 0 ， ? T A sin 30 ? ? 2 S C sin 45 ? sin 60 ? ? 0联立解得： S C ? S D ? ? 8 . 16 Kn， S B ? 23 . 1 kN 3-3 解：研究楼板 ABCD，受力如图?M ?M ?ZiHG? 0 ， RE ? ? 0 ， TH ?7 8AD ? Q ? ? TG ?3 8AD ? 0 ? 0,， RE ?3 7Q ? 1 . 2 kNDC 2DC 2IET H ? TG Q ? RE 2 ? 0 .8? 0 ， R E ? T H ? TG ? Q ? 0， T H ? TG ?kN70题 3-3题 3-43-4 解：本题属空间力偶系的平衡MA? 10 ? 30 ? 300N? cm， M B ? 20 ? 20 ? 400 N? cm， M C ? 10 P三力偶矩矢指向如图示?m ?mix?0， M C cos( ? ? 90 ? ) ? M A ? 0Biy? 0 ， M C sin( ? ? 90 ? ) ? MMM M2 A?0解出： M C ?tg (? ? 90 ? ) ?? M4 32 B? 500N? cm， ? P ? 则MC? 5010NB A?，? ? 1 4 3 0 8? ?3-5 解：取整体?m ?Z ?m ?m ?z(F ) ? 0 ?0， Q 1 L 2 ? S ? cos 60 ? ? 2 L 2 ? 0 ，? P ? S ? cos 30 ? ? Q 2 ? Z A ? 0S ? Q1 ? 1 0 0Ni，，Z A ? 6 . 08kNx(F ) ? 0 (F ) ? 0， S ? cos 60 ? ? 4 L1 ? Q 1 ? 4 L1 ? Y B ? L 3 ? 0 ， Y B ? ? 0 . 0476 kN ， X B ? L 3 ? Q 2 ? L1 ? P ? 2 L 2 ? S ? cos 30 ? ? 2 L 2 ? 0 ， X B ? ? 3 . 395 kNXB ? XAyXi ? 0，?0， X A ? ? X B ? 3 . 395 kN ，Y A ? ? 0 . 0024?Yi? 0，Y B ? Q1 ? Y A ? S cos 60 ? ? 0kN3-6 解：研究板 ABCD? ? 45 ? ， sin ? ? 0 . 6 ， cos ? ? 0 . 8?mx(F ) ? 0， aT sin 45 ? ?1 2aG ? 0 ， T ? 707 . 1 N71?m ?m ?y(F ) ? 0 ，1 2bG ? bT sin 45 ? ? bZB? 0， ZB ? 0z( F ) ? 0 ， M ? bY B ? 0，Y B ? ? 5 0 0NXi ? 0， X A ? T cos 45 ? cos ? ? 0 ， X A ? 400 N ， Y A ? 800 NZ A ? 5 0 0N?Yi? 0 ， Y A ? Y B ? T cos 45 ? sin ? ? 0 ?0?Zi， Z A ? Z B ? T sin 45 ? ? G ? 0 ，题 3-5题 3-63-7 解： sin ? ? 2 / 2 ， cos ? ? 取 ABC 杆，受力如图2 / 2 ， sin ? ? 3 / 5 ， cos ? ? 4 / 5?m ?m ?m ?z(F ) ? 0 (F ) ? 0 (F ) ? 0，S DE ? c o s ? c o s? ? 3 ? 0 ， ?S DE ? 0S HG ? 9 9 0Ny， F1 ? 7 ? S HG ? cos ? ? sin ? ? 5 ? 0 ，x， ? N C ? 5 ? F2 ? 3 ? S HG ? cos ? ? cos ? ? 5 ? 0 ， N C ? 200 NXAXi ? 0，? F1 ? S HG ? c o s? ? s i n ? 0 ， ?XA? 1 2 0N?Yi? 0， ?0Y A ? S HG ? c o s? ? c o s ? 0 ， ? Z A ? N C ? F 2 ? S HG ? s i n ? 0 ， ?Y A ? ? 5 6 0N ZA ?1500 N?Zi，3-8 解：取滚筒和轴为研究对象，受力分析和坐标如图所示。?m ?my( Fi ) ? 0 ， ( Fi ) ? 0 ，Q ? 10 ? (T1 ? T 2 ) ? 20 ? 0 ? X B ? 100 ? (T1 ? T 2 ) cos 30 ? ? 60 ? 0z72?m ?Z ?ix( Fi ) ? 0 ?0，Z B ? 100 ? (T1 ? T 2 ) sin 30 ? ? 60 ? Q ? 30 ? 0 Z A ? Z B ? (T1 ? T 2 ) sin 30 ? ? Q ? 0X ? X B ? (T1 ? T 2 ) cos 30 ? ? 0， ，Xi ? 0A又 T1=2T2 联立求解得： 1=10 kN， 2=5kN， A=－5.2kN， ZA=6kN， B=－7.8kN， B=1.5kN T T Z X Z题 3-7题 3-83-9 解：取板 ABCD 研究，受力如图示?M ?BB ?? 0 ，S2 ?1 2a ? P ?a ? 0， S 2 ? ? 2 P ? ? 1 . 41 PXi ? 0，? S5 ?1 2 1 2? S2 ?1 2? 0， S 5 ? 1 . 41 P?Yi? 0 ， P ? S4 ?? 0， S 4 ? 1 . 41 P?M ?M ?MAD?0， S 3a ? S 4 ?1 2 1 2a ? 0 ， S3 ? ? PCD? 0 ， S6a ? S5 ?a ? 0， S6 ? ? PB ?C ??0， S1 ? a ? S 6 ? a ? 0 ， S1 ? P第四章 运动学基础734-1 解：顶杆 AB 沿铅直线作往复运动，取坐标轴 Oy，杆端 A 的坐标为y ? e sin ? ? R ? e cos ?2 2 2，? ? ? t故顶杆的运动方程为： y ? e sin ? t ?? 由此得速度方程： v ? y ? e ? ? cos ? t ? ? ? ?R ? e cos ? t2 2 22? ? ? 2 2 2 R ? e cos ? t ? e sin 2 ? t题 4-1题 4-24-2 解： O1 A ? 2 L cos ? 直角坐标法： x ? O1 A sin ? ? 2 L sin ? cos ? ? L sin 2 ? ty ? O1 A cos ? ? 2 L cos ? ? L (1 ? cos 2 ? t )2自然法： （注意题设条件：弧坐标原点在 O1，顺时针转弧坐标为正）S ? O1 A ? O 2 A ( ? ? 2 ? ) ? L ( ? ? 2 ? t )4-3 解：vx=50，vy=－10t，? v ?vx ? vy ?2 2 2 250 ? 100 t22ax=0，ay=－10 m/s2，? a ? 切向加速度a? ? dv dt2 2a x ? a y ? 10m/s2?100 t 50 ? 100 t2 2，当 t ? 0 时， a ? ? 0 ；法向加速度 a n ? 曲率半径 ? ?v2a ? a? ? a ? 10m/s2?2500 ? 100 t 102an，当 t ? 0 时， ? ? 250 m4-4 解：由初始条件用定积分即可求得点的运动方程74? ? ? ?vx 10 x 0 vy 3 y 0dv x ??t 0t 0? 6 dt，? v x ? 10 ? 6 t ，? x ? 10 t ? 3 t 2dx ??(10 ? 6 t ) dtdv y ? 0 dy ?，? v y ? 3 ，? y ? 3 t?t3 dt0故点的运动方程为 x ? 10 t ? 3 t 2 ， y=3t 消去 t， 即 得 轨 迹 y 2 ? 10 t ? 3 x ? 0 。 当 t=1s 时 ，v ? v x ? v y ? 5 m/s，将 a2 2沿 v 和垂直于 v 的方位分解即得 a ? 和 a n ，由图示可知3 5 ? 3 . 6 m/s2a n ? a cos ? ? | a x | cos ? ? 6 ??? ?v2?52? 6 . 94 man3 .64-5 解：AB 杆作曲线平动 由 ? ? 15 ? t 得 ? ?? ?d? dt d? dt ? 0 ， a M ? ? a A? ? 0 ? 15 ?， v M ? v A ? r ? ? 0 . 2 ? 15 ? ? 9 . 42 m/s（⊥O1AI） ， a Mn ? a An ? r ? 2 ? 0 . 2 ? (15 ? ) 2 ? 444 . 13 m/s2? a M ? a Mn ? 444 . 13m/s2（沿 A ? O1 ）dx dt ? 10 t4-6 解： x=5t2 得：v ? 由a? ? dv dt2，? ?v R?10 t 0 .5? 20 trad/s， ? ?d? dt? 20rad/s2? 10m/s ， a n ? R ? 2 ? 0 . 5 ? ( 20 t ) 2 ? 200 t 2 m/s22∴a ?a? ? a n ?10 ? ( 200 t ) ? 10 1 ? 400 t2 2 24m/s24-7 解：刚体 ABD 作曲线平动： a D ? a A ? a An ? O1 A ? ? 2 ? L ? 2 （沿 D ? C ） 4-8 解： ? 2 ?a Bn ? ? ? OB ?24a 5 4 5/ AO ?4 5a? ?2a 2a3 5a / AO ?3 5aa?3 2 ? 9 512 5m/s2（ B ? O ）a B ? ? ? ? OB ?3 5a?3 2 ?m/s2（⊥BOK）4-9 解：v AB ? r1? ? 100 ? 2 ? 200 mm/s （←） a AB ? r1? ? 100 ? 0 . 5 ? 50 mm/s2 ， （←）v C ? v AB ? 200 a C ? ? a AB ? 502 mm/s（⊥O2C） a Cn ? v C r2 ? ，200 1502? 266 . 7mm/s2（ C ? O 2 ）mm/s2（⊥O2C）754-10 解： v M ?2? 60? n 3 r3 ?2? 60?r1 r2nr 3 ? 1680mm/s， a AB ? a CD ? 0? 2 ? r1 ? ? ? r2 ? ? 60 ? r n ? ? 13 . 2 2 ? ?2a AD ? r1?2 1? 2? n ? 2 ? r1 ? ? ? 32 . 9 m/s 60 ? ?2， a BC ? r2 ?2 2m/s2第五章 点的复合运动（带*的题是牵连运动为转动的加速度合成定理） 5-1 解： 动点―滑块 A， 动系―固结在杆 BC 上， 作动点 A 的速度平行四边形 （设v e 向右） ，由图示，应用正弦定理，有：sin( ? ? 30 ? ) sin( 180 ? ? 60 ? )3 3ve ?va ?sin( ? ? 30 ? ) sin 60 ?r?（通式）当 ? ? 0 ? 时， v e ? ?r?（“－”表示方向向左） ；? ? 30 ? 时，ve=0（表明 v a 与 v r 共线） ；3 3? ? 60 ? 时， v e ?r?（“＋”表示方向向右） 。5-2 解：动点―销子 K，动系―固结在摇杆 OC 上。作动点 K 的速度平行四边 形， v e ?L cos 30 ??0 ，va ?ve cos 30 ??L? 0 cos230 ?因齿条 AB 作直线平动，而齿轮 D 与齿条 AB 的接触点的速度相同，故齿轮 D 的 角速度为 ? 1 ?va r ? L? 0 r cos230 ?? 2 . 67rad/s（）76题 5-2题 5-35-3 解： （1）动点―套筒 A，动系―固结于杆 O1D 上，作动点 A 的速度平行四 边形：v aA ? L ? 0， v eA ? v aA sin 30 ? ?1 2L? 0 ， ? ?1 ?v eA 2L??04（）（2）动点―套筒 B，动系―固结于杆 O1D 上，作动点 B 的速度平行四边形：v eB ? O 1 B ? ? 1 ? 4 L ??04? L? 0， v aB ?v eB cos 30 ??2 3 3L?0（←）5-4 解：动点―曲柄 OA 端点 A，动系―固结于导杆 BCD 上，作动点 A 的速度 平行四边形：v a ? OA ? ? ? 20cm/s，v e ? v a cos 30 ? ? 17 . 32cm/s（↑）题 5-4题 5-55-5 解：动点―销钉 M，动系―曲杆 OAB，作动点 M 的速度平行四边形：v a ? 2 L ? 1 ? 300cm/s，v e ? v a tg ? ? 3 0 0cm/s77曲杆 OAB 的角速度为 ? 0 ?ve OM? 2rad/s（）题 5-65-6 解：动点―套筒 C，动系―杆 AB，作曲线平动，分别作动点 C 的速度平行 四边形和加速度矢量图。v e ? v A ? O 1 A ? ? ? 20cm/s ,? v a ? v e cos ? ? 10cm/s（↑）a e ? a A ? O1 A ? ?2? 40cm/s2 , ? a a ? a e sin ? ? 34 . 64 cm/s2 （↑）5-7 解：动点―滑块 A，动系―滑道 CD，动系作直线平动。分别作动点 A 的速 度平行四边形和加速度矢量图。 （1）求速度v a ? OA ? ? ? OA ? n? 30 ? 400 ?mm/s因 O 1 A ? OA ，故 ? ? ? ? 30 ? ，由图示几何关系可得v e ? v r ? v a ? 400 ? ? 1256 . 64mm/s（滑道 CD 速度方向向左）（2）求加速度a a ? OA ? ?2? 1600 ?2mm/s ,2a rn ?vr2? 1600 ?2Rmm/s2取 ? a r ? 的投影轴? ，将 a a ? a e ? a r ? ? a rn 在? 轴上投影，得a a cos 60 ? ? a e cos 30 ? ? a rn,?? ?? a e ? 27 . 35m/s2（←）另：因 ? ? ? 恒成立，?d? dt?d? dt常量，表明滑块 A 相对于滑道 CD 作匀速圆周运动，因而 a r ? ? 0 。785-8 解：动点―套筒 D，动系―杆 AE，动系作曲线平动。 （1）求角速度 作动点 D 的速度平行四边形:ve ? v A ? r? 0 v a ? v e tg ??? ?va L?r? 0 Ltg ? ? 0 . 67rad/s（）（2）求角加速度 作动点 D 的加速度矢量图（设 ? 顺时针， a r 沿杆 AE 向右）a a ? ? a an ? a e ? a r取投影轴? ，得： a a ? cos ? ? a an sin ? ? ? a e sin ? 其中 a a ? ? L ? ， a an ? L ? 2 ， a e ? a A ? r ? 02 代入上式，得： ? ?L ? sin ? ? r ? 0 sin ?2 2L cos ?? ? 2 . 05rad/s2（）79题 5-8*5-9解：动点―1、2 两点处的液体，动系―圆环，动系作定轴转动。分别作 1和 2 两点处液体的加速度矢量图。对于 1 点处的液体，取投影轴 ? ，则a1 ? a e 1 ? a r 1 ? a C 1 。u2其中 a e1 ? r ? 2 ， a r 1 ?r u， a C 1 ? 2? u 。2代入上式，得 a1 ? r ? 2 ?? 2? ur对于 2 点处的液体，取投影轴? 和 ? ，则a 2? ? a e 2 sin ?，2a 2? ? a e 2 c o s ? a r 2 ? aC 2 ?u2其中 a e 2 ?2 55 r?， ar2 ?1 5r， a C 2 ? 2? u ，sin ? ?， cos ? ?代入上式，得 a 2 ? *5-10a2 2??a2 2??4r ?24? ? ? r? ? ?2? ? ? 2? u ? ? r ? u22解：动点―AB 杆端点 A，动系―凸轮，动系作定轴转动（1）求速度 作动点 A 的速度平行四边形：v e ? OA ? ? 0 ? 2 a ? 0， v a ? v e tg 30 ? ?2 3 3a ? 0 （↑） v r ? ，ve cos 30 ??4 3 3a? 0（2）求加速度 作动点 A 的加速度矢量图（设 a a 和 a r ? 指向如图） 。a a ? a e ? a r ? ? a rn ? a C80（*）其中 a e ? a en ? OA ? ? ? 2 a ? ， a rn ?2 0 2 0vr r2?16 93a? 02， a C ? 2? 0 v r ?8 3 3a? 02将*式在? 方向投影，有 a a cos 30 ? ? ? a en cos 30 ? ? a rn ? a C? aa ? ?2 9a? 02（↓）题 5-10*5-11 解：动点―圆盘上 N 点，动系―曲柄 OA，动系作定轴转动 （1）求绝对速度 作动点 N 的速度平行四边形（ cos ? ?v e ? ON ? ? 1 ?? va ?2 21 5）5 r ? 1 ? 4005mm/s， v r ? r ? 2 ? 600 mm/s mm/sv e ? v r ? 2 v e v r cos ? ? 824 . 62（2）求绝对加速度 作动点 N 的加速度矢量图： a a ? a e ? ? a en ? a r ? ? a rn ? a C （*） 其中： a e ? ? ON ? ? 1 ? 5 r ? 1 ? 300 5 mm/s2 ，a en ? ON ? ? 1 ?25 r ? 1 ? 160025mm/s2， a r ? ? r ? 2 ? 400 mm/s22a rn ? r ? 2 ? 36002mm/s2 ，a C ? 2? 1v r ? 4 8 0 0 mm/s2 5将*式分别在轴? 和 ? 方向投影，得（ sin ? ?） mm/s2a a ? ? ? a e ? sin ? ? a en cos ? ? a rn ? a C ? ? 10081a a ? ? a e ? cos ? ? a en sin ? ? a r ? ? ? 3300? aa ? a a ? ? a a ? ? 3348 . 192 2mm/s2mm/s2题 5-11*5-12解：动点―滑块 A，动系―摆杆 O1B，动系作定轴转动（1）求相对速度 v r 和摆杆 O1B 的角速度 ? 1 作动点 A 的速度平行四边形：v a ? OA ? ? ? 100 v e ? v a sin ? ? 80cm/s， sin ? ?4 5， cos ? ?ve O1 A ? 23 5； v r ? v a cos ? ? 60 cm/s（↑） ）cm/s ， ? ? 1 ?rad/s（（2）求相对加速度 a r 和摆杆 O1B 的角加速度 ? 1 作动点 A 的加速度矢量图（设 ? 1 逆时针向， a r 铅直向下）a a ? a e ? ? a en ? a r ? a C（*）其中： a a ? OA ? ? 2 ? 200 cm/s2 ，a en ? O 1 A ? ? 1 ? 1602a e ? ? O 1 A ? ? 1 ? 40 ? 1 a C ? 2 ? 1 v r ? 240cm/s2 ，cm/s2将*式分别在轴? 和 ? 方向投影，有：a a cos ? ? ? a e ? ? a C，a a sin ? ? a en ? a r2代入数据，解得? 1 ? 3 rad/s （） ar ? 0 ，82题 5-12*5-13 解：动点―M 点，动系―支架 ABCD，动系作定轴转动 （1）求速度 作动点 M 的 v e 和 v rv e ? EM ? ? 2 ? R cos 45 ? ? ? 2 ? R?2 2，方向：平行于 x 轴且与 x 轴正向相同；v r ? OM ? ? 1 ? R ? 1 ，方向：在Ayz 平面内，⊥OM；vr ? ve ? R2 2因 v e 和 v r 相互垂直，所以有 v a ? （2）求加速度 作动点 M 的加速度矢量图?1 ?21 2?22aa ? ae ? ar ? aC2 2（*） y 轴且与 y 轴正向相同；其中 a e ? EM ? ? 2 ? R cos 45 ? ? ? 2 ? 2 2a r ? OM ? ? 1 ? R ? 12 2R?2 ， 方向： 平行于2，方向：沿 OM 指向 O；2 R ? 1? 2 ，方向：平行于a C ? 2 ? 2 v r sin( 180 ? ? 45 ? ) ? 2 ? 2 v r sin 45 ? ?x 轴且与 x 轴正向相反。 将*式在图示坐标轴上投影，得a x ? ? a c ? ? 2 R ? 1? 22 2 2 2 2 2a y ? a e ? a r cos 45 ? ?R?2 ?2R ?1 ?2R (?1 ? ? 2 )2 283a z ? a r sin 45 ? ?2 2R ?12? aM ?ax ? ay ? az ?2 2 22R 22? 1 ? ? 2 ? 6? 1 ? 24 4 22题 5-13第六章 刚体的平面运动6-1 解：轮轴转速 ? ?v E ? R ? ? 150 ? 2? 60 ? 10 ? ? 3rad/s? 3 ? 50 ? 3?3? 50 ?mm/s， v D ? r ? ? 50 ?mm/s设圆管中心上升速度为 v，直径为 d，则：50 ? dvE d ? ID?vD ID?v IO，ID ?vD d vE ? vD?3 50 ? ? 50 3?1 4d?IO ?1 2d ?1 4d ?1 4d， ?v ?50 3? ? 52 . 4 mm/s（↑）6-2 解：取 B 为基点： v A ? v B ? v BA 设 ? 为顺时针转向，将上式向 x 轴投影： v 2 ? v1 ? 2 ? 0 . 5? ， ? ? 4 rad/s（84）仍以 B 为基点： v O ? v B ? v OB ， v O ? v1 ? v OB ? v1 ? 0 . 5? ? 4 m/s（→） 6-3 解：圆盘 A 作纯滚动，则v A ? r ? ? 20m/s，1 2 vB ? 5vB ?1 2v A ? 10cm/sBC 杆作平面运动，I 为速度瞬心，? vC ?cm/s（←）6-4 解：三角板 ABD 作平面定动，由 v A 、 v B 方位，得速度瞬心于点 I。v A ? ? O 1 A ? O 1 A ? 20cm/s， AI ? rad/s（AB EB? EO2?O 1O 2 ? O 1 Atg 30 ? O 1 Atg 30 ?? O 1 A ? 18 . 6 cm? ABD ?vA AI?20 18 . 6? 1 . 07） cm/s（←）v D ? ? ABD ? ( AD ? AI ) ? 1 . 07 ? ( 5 ? 18 . 6 ) ? 25 . 356-5 解： v A ? OA ? ? 01 ? 750 ? 6 ? 4500 mm/s 由速度投影法有: v B ? v A cos 30 ? ? 2250? OB ?vB OB ?
3 ? 3 . 753mm/srad/s（vA IA）? 1 . 5 rad/s（AB 杆速度瞬心在 I 点:v C ? ? AB ? CI ? 1 . 5 ? 1200? AB ?）3 ? 18003mm/s（↓）?1 ?vC r1?3 3? 6rad/s（）856-6 解：绕线轮作平面运动，C 点为速度瞬心:vO ? ? ? R ? u R?r R? ?Ru R?r（）（→）,aO ?dv O dt?a R?r（→）6-7 解： v B ? AB ? ? ? 10 cm/s BC 杆速度瞬心于 I ：vC vB ? IC IB ? 2 2， ? vC ? v B ?2 2?5 2cm/s? BC ?vC IC?5 2 10 2?1 2rad/s（） v C ? CD ? ? CD 而 CD ? ，20 2 2? 202cm? ? CD ?vC CD?5 2 20 2?1 4rad/s（）a C ? ? a CB ? a Bn?2 2? ? BC ? ? BC ? AB ? ? ?2 222 2? ? 102?1 4? 10 ?2 2? ? 10 . 60cm/s2a C ? CD ? ? CD ? 20n 2?1? 2 ? ? ? ? 1 . 77 ?4?n 2cm/s2∴ aC ??a ?? C2? aC? ?? 10 . 75cm/s286题 6-76-8 解：图示瞬时，AB 瞬时平动， ∴ v B ? v A ? OA ? ? ? OA ?? DC ? v B / BC ? 2 ? rad/s，a B ? a A ? a BA ? a BAn ??n30? v D ? CD ? ? DC ? 4 ? ? 12 . 6 m/s（→）又 cos ? ?a BA?1 .2 1 .3? : ? a Bn ? a A ?1 .2 1 .32 ∵ a A ? OA ? ? 2 ? 2 ? 2 ， a Bn ? CB ? ? DC ? 2 ? 2∴? : a B? ?aD ?a BA ? 1 . 3 ? 4 ? / 1 . 2 ? 4 . 33 ?2?2m/s2a B? BC20 .5 1 .32a BA ? 1 . 667 ?2?2m/s2 ，2? DC ?2? 3 . 333 ?2rad/s22 2 4a D ? ? a Dn ?( CD ? ? DC ) ? ( CD ? ? DC ) ?4 ? ( 3 . 33 ? ) ? 4 ? 16 ?? 103m/s2题 6-86-9 解： （1）AB 杆速度瞬心于 I（即 O）v A ? OA ? ? ? 200mm/s， v B ? ）IB IAv A ? 400mm/s ， ? AB ?vB IB? 2 rad/s（）?O1B?vB O1 B? 4rad/s（（2）以 A 为基点，研究 B 点87a Bn ? a B ? ? a A ? a BA ? a BAn?， sin ? ?1 5， cos ? ?2 5? : ? a Bn ? ? a BA??1 52? a BAn2 52a BA ?5 O 1 B ? ? O 1 B ? 2 AB ? ? AB ? 800a BA AB?5mm/s2? AB ?? 8 rad/s2（）1 5 2 5 1 5? : a B ? ? a A ? a BA?2 5? a BA ?n，即：O 1 B ? ? O1 B ? OA ? ? ? AB ? ? AB2? AB ? ? AB2，得 ? O B ? 16 rad/s2（1）题 6-9*6-10解： （1）取杆 O2C 上的 C 为动点，动系固结于 O1B 上v a ? O 2 C ? ? 0 ? l? 03 2由 v a ? v e ? v r 得 v e ? v a cos 30 ? ?? O1 ? v e / O 1 C ? ?0 2? 0l， v r ? v a sin 30 ? ?1 2? 0l（） ，∴ v B ? 2 v e ? 3 ? 0 lBE 杆作平面运动，以 B 为基点，研究 E 点v E ? v B ? v EB， vE ?vB cos 30 ?? 2? 0 l，v EB ? v B sin 30 ? ? ? 0 l? BE ? v EB / BE ? ? 0 （） ，? v F ? v E ? 2? 0 l （↓）（2）仍取杆 O2C 上的 C 为动点，动系固结于 O1B 上a a ? a en ? a e ? ? a r ? a C88y 1 : a a sin 30 ? ? a C ? a e ?2 即： ? 0 l ? 2 ? 01 v r ? a e ? 得 a e ? ? 0 ，? ? O B ? 0121研究 BE 杆，以 B 为基点，研究 E 点：a E ? a B ? a EB ? a EBn?y 2 : a E cos 30 ? ? ? a EB ? ? ? 0 ln 2得 a F ? a E ? ? 2 3? 02 l / 3 （与图中假设方向相反）题 6-10第七章 质点运动微分方程7-1 解：以球 A 为研究对象： 由 ma n ? 由0 ?? F 有Sni biABABsin ? ? S AC sin ? ? ma n? F 有Scos ? ? S AC cos ? ? mg ? 0其中 a n ? ? 2 l 2 ? a 2 , cos ? ? 解得： S AB ?ml 2a (a? ? g ) ，2a l S AC ? ml 2a (a?2? g)7-2 解：质点作直线运动89由mdv dt? F得 ? dv ?0 .2v?t 010 (1 ? t ) dtx，v ? 0 . 2 ? 10 t ? 5 t ?2dx dt（*）当 v=0 时 t=2.02S由（*） ? dx ?0?2 . 02 0( 0 . 2 ? 10 t ? 5 t ) dt2得 x=7.07m7-3 解：以小球为研究对象： 由 ma x ? 由 ma y ??Xi，有 N sin ? ? ma? mg ? 0? Y ，有 N cos ?i解得 ? ? arctg ? ? ? ? ?g ? 7-4 解： （1）上抛时，设物体上升的高度为 h（图 a）m dv dt??a ?? ? mg ? mkvvdv g ? kv2 h2?1 2kdv dt?2dv dx?dx dt? vdv dx?0v0? ? ? dx0得h ?lng ? kv 0 g（2）下落时，设物体落至地面时的速度为 v1（图 b）m dv dt ? ? mg ? mkv2?v10vdv g ? kv2??0? dxh得 v1 ?gv 02 2g ? kv 0题 7-4第八章 动力学普遍定理8-1 解：滑杆质心的横坐标 整个系统： K x ? ?dK dtx ? ecos t ? r ? c ?P g? ∴ v x ? x ? ? e ? sin ? tQ g e ? c o s? tQ ge ? sin ? t ?e ? sin ? t，Ky?由x?? F 得Re xx? ?P?Q ge ? cos ? t290由dK dty??Fye得?Q ge ? sin ? t ? R y ? P ? Q2即Ry ? P ? Q ?Q ge ? sin ? t2? ? Rx ? ?P?Q ge ? cos ? t2，R? ? ? yQ ge ? s i n? t28-2 解：以系统为对象：m 1 ? P1 / g m 2 ? P2 / g， ， ，x1 ?l 2c o s? t， ，l 2y1 ?l 2sin t ?x 2 ? l c o s? ty2 ? l s i n t ?m 3 ? P3 / gxC ?x 3 ? l c o s? t ??， y3 ? 0l cos ? t ? P3 l 2 ( P1 ? P2 ? P3 )m 1 x1 ? m 2 x 2 ? m 3 x 3 m1 ? m 2 ? m 3 m 1 y1 ? m 2 y 2 ? m 3 y 3 m1 ? m 2 ? m 3P1 ? 2 P2 ? 2 P3 2 ( P1 ? P2 ? P3 ) P1 ? 2 P2yC ??2 ( P1 ? P2 ? P3 )l sin ? t由 Ma Cx ?? F ：Xe xO? ( m 1 ? m 2 ? m 3 ) ??C ? ? xP1 ? 2 P2 ? 2 P3 2gl ? cos ? t2X O max ? ( P1 ? 2 P2 ? 2 P3 ) l ? / 2 g28-3 解：取系统为研究对象，? ? X ie ? 0 且系统开始静止，? x C 1 ? x C 2 =常量mA 1 3 3 ? 3a ? 2b mA ? mB 12 a ? mB 2bxC1 ?当 B 滑至水平面时，设 A 右移了 ? x ：1 ? b? ? ? m A ? ?x ? a ? ? m B ? ?x ? a ? ? 3 ? 3? ? ? mA ? mB a 2 b 12xC 2 ?? ?x ??91由 xC1 ? xC 2 得 ? x ? ?a?b 4（←）8-4 解：? ? X ie ? 0 ，且 t=0 时，vCx=0，? x C =常量= l cos ? 。 AB 杆在任意位置 ? 角时： x A ? x C ? l cos ? ? l cos ? 0 ? l cos ? ， 上两式消去 ? ，即得P1 gy A ? 2l s i n ?( x A ? l cos ? 0 ) l22?yA 4l22?18-5 解： k OC ?P2 g P2 gv1 ?P1 g?l 2? ， k AB ?2 P1 gvC ?2 P1 gl?kA ?vA ?2 l ? cos ? t，kB ?P2 gvB ?P2 g? 2 l ? sin ? t?Kx? [ k OC ] x ? [ k AB ] x ? [ k A ] x ? [ k B ] x ? ?l? 2g( 5 P1 ? 4 P2 ) sin ? tKy? [ k OC ] y ? [ k AB ] y ? [ k A ] y ? [ k B ] y ? ?l? 2g( 5 P1 ? 4 P2 ) cos ? tK ?K2 x? K2 y?l? 2g( 5 P1 ? 4 P2 ) ，t an ? ?K Ky x? ?c t a n t ?? ? ? 90 ? ? ? t即 K ? DC ，如图：D 为质心。 另解：先求出系统质心坐标 xC、yC， K x ? Mv Cx ?3 P1 ? 2 P2 g ? ? x C 同理可求出K y。8-6 解：B 物的绝对速度 v B ? v e ? v r ? v ? u （动点：B，动系：A） 由图： v Bx ? v ? u cos 60 ?? ? X i ? 0, ? K 1 x ? K 2 x 。设B 物落入 A 中后，二者共同的水平速度为 v 1 ，则92P gv?Q gv Bx ?P?Q gv1得： v1 ? v ?Q 2(P ? Q )u8-7 解： v C ? l ? ，dK dt∴Kx ? ?P gl ? sin ?，Ky ? ?P gl? c o s ?由x??Xie，有? d ? P ?? l ? sin ? ? ? X 0 ? ? dt ? g ?，X0 ? ?Pl g(? c o s ? ? s i n ) ? ?2由dK dty?? Y ，有 dte i? d ? P ?? l ? cos ? ? ? Y 0 ? P ? ? ? g ?，Y0 ? P ?Pl g( ? s i n ? ? c o s? ) ?28-8 解：设 A、B 的速度分别为 vA、vB， v B ? Kx=0Ky1 2vA? ，vA ? a? ?P1 gvA ?P2v ?P ?v v B ? ? 2 ? P1 ? A ? A ( P2 ? 2 P1 ) g 2g ? 2 ? g由 由dK dtdK dtx? X0得X0=0P2 ? 2 P1 2g ay? Y 0 ? P1 ? P2 得 Y 0 ? P1 ? P2 ?8-9 解：以图示水流为研究对象，由动量定理有93Q ? ? tv 2 cos ? ? ( ? Q ? ? tv 1 ) ? R x ? t，R x ? Q ? ( v1 ? v 2 c o s ) ? ? Rx ? Rx由作用与反作用定律：水柱对叶片的水平压力 8-10 解：OBC 杆：1 3 mL ?2L O 1 ? J O ? ? ( J OA ? J BC )? ? (1 12mL ? mL )? ?2 217 12mL ?2质点： t ? 1 s 时， v r ? 0 ， v a ? v e ? ( 5 / 4 ) L 2 ? ? ， L O 2 ? m ( 5 / 4 ) L 2 ? ? ( 5 / 4 ) mL 2 ?5? ? 17 ?8? 2 2 ? LO ? LO1 ? LO 2 ? ? ? ? mL ? ? ? ? mL ? 4? ? 12 ?3?（逆时针方向）8-11 解：取系统为研究对象，应用动量矩定理得：dL O dt ??MO（1）r ? ?2式中： L O ? J O ? ?G gW ? 2G 2gr ?v?MO? (T ? G ) rW ? 2G 2g dv dt代入（1）式，得：W ? 2G 2gr?? (T ? G ) r?T ??a ? G ?200 ? 2 ? 80 2 ? 9 .8? 0 . 4 ? 80 ? 87 . 35（N）8-12 解：? ? m z ( Fi ) ? 0 ，? L z =常量，即 L z 1 ? L z 2 子弹未射入小球时系统的动量矩：L z1 ? ( 1 3 1 3 M 1L ? M 2 L )2 2?n30? mvL sin 30 ? ? 10 . 46 ? 4 . 0 ? 14 . 46 kg ? m /s2子弹射入小球后系统的动量矩：Lz2 ? [ M 1L ? (M2 2? m ) L ]? ? (1 _ 1 . 51 )? ? 2 . 51 ?2由 L z 2 ? L z 2 ，有 14 . 46 ? 2 . 51 ? 得： ? ? 14 . 46 / 2 . 51 ? 5 . 76 rad/s 8-13 解：取盘与杆 OC 一起研究。 第一种情况，受力如图（a） 。 整体作定轴转动，由刚体定轴转动微分方程得 J O ? ? ?? J0 ? 1 2 m 1 r ? m 1l ?2 2?me Oi1 3m 2 l ? 4 . 35 kg ? m22,?me Oi? M94?? ?M J0?20 4 . 35? 4 .6rad/s2（逆针转）第二种情况，受力如图（b）e 由于圆盘与杆是通过光滑销钉连接，故圆盘作平动(对圆盘： ? m Ci ? 0 )，杆 OC作定轴转动，则系统对 O 轴的动量矩为：L O ? m 1v C l ? 1 1 ? 2 2 2 ? m 2 l ? ? ? m 1l ? m 2 l ?? ? 3 . 9 ? 3 3 ? ?20 3 .9e ， ? m Oi ? M由dL O dt??Me Oi得? ?? 5 . 13rad/s2（逆针转）题 8-138-14 解：取 AB 杆为对象，在水平面上的受力如图。 杆作平面运动，以 C 点为基点，则 a B ? a C ? ? 建立刚体平面运动微分方程：? MaC1 2L（1）? F，得 a C ? ? F / MLJ C? ? F1 2，其中： J C ?1 12ML2，得 ? ?6F ML代入运动学关系（1） a B ? ? ( F / M ) ? 6 ( FL / 2 ML ) ? 2 F / M ：8-15 解：取钢管为研究对象，钢管作平面运动，设其角加速度为 ? ，由运动学95关系可得管中心 O 的加速度：aO ? a ? r?（1）列钢管平面运动微分方程ma O ? F（2）OJ O? ??m(F )1 2 a即： mr 2 ? ? Fr（3）联立（1）（2）（3）式可解得： a O ? 、 、8-16 解：取整体为研究对象，受力如图示，A 轮作定轴转动；B 轮作平面运动， 速度瞬心为 D 点；C 物体作平动。? ? 设 C 上升的速度为 vC， 则轮 B 的轮心上升的速度 vB=vC， A ? 2 v C / R ， B ? v C / r 。L Az ? ( Q 1 R / 2 g )( 2 v C / R ) ? ( Q 2 r / 2 g ) ? ( v C / r ) ? ( Q 2 / g ) v C r ? ( P / g ) v C r2 21 ? ? vC ? ? 2 Q 1 R ? ? 3 Q 2 R ? PR ? 2 ? ? 2g由 dL Az / dt ?? M ，得 ? 2 Qe zi1? 3 Q 2 / 2 ? P ? ? ( R / 2 g ) ? ( dv C / dt ) ? M ? ( Q 2 ? P ) ?1 2R? a C ? dv C / dt ? [ 2 M ? ( Q 2 ? P ) R ] 2 g /[( 4 Q 1 ? 3 Q 2 ? 2 P ) R ]8-17 解：以圆柱体为研究对象，受力如图所示。 圆柱体作平面运动，D 点为速度瞬心，故有 ? ? 依平面运动微分方程得：mg sin 60 ? ? T ? fN ? ma CN ? mg cos 60 ? ? 0aO r。(1) (2)961 2mr2?aC r? Tr ? fNr(3)1 2 ma C ) ? fN ? ma C将(1)、(3)得： mg sin 60 ? ? ( fN ? 由（2） N ? ：1 2 mg? aC ?即 mg sin 60 ? ? 2 fN ?3 2ma C2? 3 1? ? ? ? g ? 0 . 355 g 3? 2 3? ? ?8-18 解： （1）分别取圆柱体 A、B 为研究对象，受力如图（a）（b）示 、 A 轮作定轴转动，B 轮作平面运动，列方程： A 柱体：Pr22g? ? A ? Tr（1）2B 柱体：P gaC ? P ? T ?（2）Pr2g?B ? T ??r（3）依运动学知： a C ? ? A r ? ? B r ? r ( ? A ? ? B ) 由（1） （2） （3）解得： ? A ? ? B ?2g 5r2g ? 4 ? 2g ? aC ? r? ? ? ? g 5r ? 5 ? 5r（2）如 A 柱体上作用一 M，如图（c）（d）示。 、 依运动学知： a C ? r ? A ? r ? B ? r ( ? A ? ? B ) A 柱体：Pr22g Pr2? ? A ? M ? rT（1）B 柱体：2g? B ? T ?r（2）2 g (3 M ? P r ) 5Pr2P g(? A ? ? B ) r ? T ? ? P2 g (2 M ? P r ) 5Pr2（3）消去 T，求得： ? A ?， ?B ?? a C ? r (?A??B) ?2(M ? 2 P r ) 5PrgaC&0 时，B 质心上升，故必须 M&2Pr。题 8-188-19解：分别取 B 轮，D 轮及重物 A 为研究对象，受力如图示。97B 轮作平面运动，速度瞬心在 I 点；D 轮作定轴转动，A 物作直线平动。 则? ?a R?r，aO ? r? ?ra R?r轮 D 质量不计，因而它两侧绳的张力大小相等即 T1=T2。建立各对象的方程： A 物：P g Q g a ? P ?T ? T ? P ? P g Q g a R?r ra R?r a（1）B 轮：aO ? F ? T ? F ? T ??（2）J O ? ? ? TR ? Fr ?Q g?2? TR ? Fr（3）将（1） （2）代入（3）得：Q g?2? ? P ? P Q ra ? ?r ? ?P ? a ?R ? ? P ? a? ? ? ? ? R?r g ? g g R?r? ? ? a整理后得： a ?P(R ? r) g2Q (? ? r ) ? P(R ? r)2 228-20 解：由机械能守恒定理T1 ? V 1 ? 1 22J O ? ? mgh ?21 2?30 ? 2 . 4 32? ? ? 30 ? 9 . 8 ? 1 . 2 ? 28 . 8 ? ? 352 . 82 2V2 ?1 2k??1 2? 3000 ? ( 2 . 4 ? 1 . 2 2 ) ? 741 . 2 J2，T2 ? 0由 T1 ? V1 ? T 2 ? V 2 ，有： 28 . 8? 2 ? 352 . 8 ? 741 . 2? ? 3 . 67 rad/s988-21 解：用机械能守恒定理T1 ? 1 P 2 g v ?2 01 P 2 gvv0 22 B?1 PR 2 2g2?2 B?1 Pr2?2 2g2 A由运动学： v B ?? T1 ? 1 P 2 g v0 ?2， r? A ? v0 ， 2 R ? B ? v0vB ?21 P 8 g1 P 16 gv0 ?21 P 4 gv0 ?215 P 16 gv02，T2=0设初瞬时 M 和 B 的重力势能为零。 V 1 ?1 2k? 02分析 B 轮： ? m D ? 0 ； T ? 2 R ? ( P ? k ? 0 ) 而 T ? P 有 k ? 0 ? Ph? ? V 2 ? ? Ph ? Ph ? k ? ? 0 ? ? 2 2 ? 2? 1 12由 T1 ? V1 ? T 2 ? V 2 ，有15 P 16 g 1 815 P 16 gv0 ?21 2k? 0 ? ?2Ph 2?1 2k? 0 ?21 2kh2?1 24k? 0 h化简有：v0 ?2kh2∴ v0 ? h2 kg 15 P8-22 解：以整体为研究对象，系统在初瞬时的动能 T1=0，铰链 C 与地面相碰 时，A、B 分别为 AC、BC 杆的速度瞬心，这时系统动能为：T2 ? 1 Pl2 2 2?2 3g2 AC?1 Pl?2 3g2 BC?Pl?23g重力做功： W ? P ? 由动能定理：Pl2h 22?P?h 2? Ph3 gh l? ? 0 ? Ph ，求得 ? ?3g， v C ? l ? ? 3 gh题 8-22题 8-23998-23 解：系统动能T ?1 P 2 2gR ?A ?2 21 P 2 gvA ?21 Q 2 gvC ?21 Ql22 12 g? AB2杆 AB 的速度瞬心在 I 点，则有：?A ?vA R（vA ?2） ? AB ? ，Q vA2 2d? dt??QvA nis l?vA2 2（?） vC ? ，3P 4g vA ?21 2? ABvA2 2∴T ?3P 4gQ8 g sin ?24 g sin ?6 g sin ?运动时仅重力 Q 做功? ? ?Wi dt ? ? Qdy dtC? yC ?cos ? d? dtl 2?sin ?Q 2 d ( 90 ? ? ? ) ? d? ? ? ? ? ? AB ? ?? dt dt ? ?? ?Ql 2cot ? v A由动能定理微分形式，两边同除以 dt，得：? 3P ? dv A Q 2 ? vA? ? vA 2 ? 2g ? ? 3 g sin ? ? dt ? ? 3P Q d? 2 ? 4g ? 6 g sin ? ? dt ? ? ? ? Q 2?cot ? v AQ两边消去 vA，且在初瞬时 ? ? 45 ? ，vA=0，得 a A ?dv A dt?2 3P 2g ? Q 3g ?2?3Q 9 P ? 4Qg8-24 解： T1=0 ，T2 ?1 P 2 gvA ?21 Pr2?2 2g2 A?1 Q (R ? r) 2 3g2? OA2由运动学： v A ? r ? A ? ( R ? r )? OA? T2 ? 3 4g P(R ? r) ?2 2 OA?Q (R ? r) 6g2? OA ?21 12 g( 9 P ? 2 Q )( R ? r ) ? OA2 2由 T 2 ? T1 ?? W ，有 12 g ( 9 P ? 2 Q )( R ? r )i112? OA ? 0 ? M ?2（1）得 ? OA? 12 M ? g ? ? ? ? 9 P ? 2Q?2 2 ?1 ? (R ? r) ? ? R?r ?3M ?g 9 P ? 2Q将（1）式两边对时间求导：1 6g( 9 P ? 2 Q )( R ? r ) ? OA ? OA ? M ? OA2? OA ?6 Mg ( 9 P ? 2 Q )( R ? r )2100题 8-24e i题 8-258-25 解：以系统为对象，? ? X ? 0 ，? K x =常量，由于系统开始是静止的， 在开始运动后的任一瞬时应有： K x ?P cos ? Q ? P Q g vB ? P g vB ? P g v r cos ? ? 0即： v B ?vr，积分得： S B ?1 Q 2 gP cos ? Q ? P 1 P 2 gSr任一瞬时系统动能为： T ?vB ?2( v B ? v r ? 2 v B v r cos ? )2 2约束反力均不做功，则： ? ? W ? PdS r sin ? ? ( Q ? P ) tg ? dS B 应用质点系动能定理的微分形式 dT ? ? ? W 有：Q g v B dv B ? P g v B dv B ? (Q ? P )2 2g cos ? Pv B dv B ?2 (Q ? P ) gv B dv B ? ( Q ? P ) tg ? dSBaB ?dv B dt?P sin ? cos ? g Q ? P ? P cos ?28-26 解： （1）用动能定理 由 T 2 ? T1 ?? ?T1 ? 0 ，2 2T2 ?1 2? 2 mr ?22? W ，有 2 ? 2 mri1? ? 0 ? mgr sin ?即 r ? 2 ? g sin ?(*)g sin ? r将（*）式两边对时间 t 求导： 2 r ?? ? g cos ?? ， （2）用刚体平面运动微分方程：X O cos ? ? Y O sin ? ? mg sin ? ? mr ?X O sin ? ? Y O cos ? ? mg cos ? ? mr ?2得? ?cos ? 2rg101其中 mr ? 2 ? mg sin ? ， mr ? ?1 2mg cos ? 3 4 mg sin 2?将已求出的?、?代入，得： X O ?， YO ?1 2rg 2m 2g ?3 2mg sin ?2当铰破坏时， X O ? Y O ? 0 ， sin ? ? cos ? ?1 2 1 2 g r 2 rg 2 rg r 2 1 2v Cx 0 ? r ? sin ? ?， xC ? ??tv Cy 0 ? r ? cos ? ?? ， yC ? ?? ? 2 2 ?? r1 2rg 2t?1? 2 gt ? ? 2 ?? ?rg 2，? ?t题 8-26题 8-278-27 解： （1）求小球到 B 点时的相对速度 vrB 和这时圆管的角速度 ? B 以整体为研究对象，? ? m z ( Fi e ) ? 0 ，? L z =常量， 故有 J ? 0 ? J ? B ? mR 2? B ， ? B ? 系统在初瞬时动能： T1 ?1 2 J? 02J? 0 J ? mR2小球到 B 点时系统动能： T B ?1 2mv B ?21 2J? B22 2 2 且因： v B ? R 2 ? B ? v rB ，由动能定理 T B ? T1 ??W 有i1 2mR ? B ?2 21 2mv rB ?21 2J? B ?21 2J ? 0 ? mgR2（1）102解得： v rB2 2 ? J? 0 R ? ? 2 gR ? 2 ? J ? mR ?? ? ? ?1/ 2（2）求小球到 C 点时的相对速度 vrC 和圆管的角速度 ? C 因系统对 z 轴的动量矩守恒（理由同上） ，故有 J ? 0 ? J ? C 得 ? C ? ? 0 。 小球到 C 点时系统动能： T C ?1 2 J? C ?21 2mv C2注意到在 C 点 vC 即为 v rC (? v eC ? 0 ) ，且只有小球重力做功，由动能定理：1 2 J? C ?21 2mv rC ?21 2J ? 0 ? 2 mgR2（2）求得v rC ? v C ? 2gR8-28 解： （1）以系统为对象，其动能为：T ? T A ? TO ? 1 ? P 2 2g R ?A ?2 21 P 2 gvA ?21 Q 2 2gR ?022因为 v A ? R ? O ， ? A ? ? O ? v A / R ，? T ? 力偶的元功： ? W m ? M O d ? ， 由 dT ? ? ? W i 得到1 2g1 4g(3 P ? Q ) R ? O2 2重力的元功： ? W P ? ? PR sin ? ? d ?2? O ( 3 P ? Q ) R d ? O ? ( M O ? PR sin ? ) d ?d? O dt ? PR sin ? )2两边同除以 dt，得： ? O ??2(MO(3 P ? Q ) Rg（2）分析鼓轮，由质心运动定理： ? T1 cos ? ? X O ? 0 分析圆柱体 A，对其瞬心 A ? 用动量矩定理：?3 P 2 d? R ?A ? ?2 g ? ? ? T1?R ? PR sin ? ? ?，即3P 2gR ? A ? T1?R ? PR sin ?2因为： ? A ? ? O ，? T1? ? T1 ?P (3 MP (3 M0? QR sin ? )3( P ? Q ) R则 X O ? T1 cos ? ?O? QR sin ? ) cos ? (3 P ? Q ) R1038-29 解： （1）对圆管 2（图 a）用刚体平面运动微分方程：m 2aC ? m 2 g ? T J C ? 2 ? Tr 2（1）( J C ? m 2 r2 )2（2）1 r2 (a C ? a O )运动分析： a C ? a O ? r2 ? 2 ，即 ? 2 ? 则由（2） ：T ? m 2 (aC ? aO )（3）对圆柱 1（图 b） ：以 C1 为矩心用动量矩定理：( J O ? m 1 r1 ) ? 1 ? T ?r12其中： ? 1 ? a O / r1 ， J O ?1 2m 1 r12， T ? ? T 得 m 1 a O ? T （4）23联立（1）（3）（4） 、 、 ，得：a O ? m 2 g /( 3 m 1 ? m 2 )，T ?3 2m 1 m 2 g /( 3 m 1 ? m 2 )， aC ?g 2( 3 m 1 ? 2 m 2 ) /( 3 m 1 ? m 2 )（2）对圆柱 1 用质心运动定理m1a O ? T ? ? F0 ? N ? P1（5） （6）则 F ? 0 . 5 m 1 m 2 g /( 3 m 1 ? m 2 ) 由 F ? fN ? F ? fm 1 g ，求得 f ? 0 . 5 m 2 /( 3 m 1 ? m 2 ) 8-30 解：研究整个系统，应用动能定理 T1=0T2 ? ? 1 2 J 0 ? OA ?21 P2 2 g 1 P2 2 gvC ?21 2J C?22 AB?1 Q 2 gvB221 P1 2 3gvA ?2vC ?21 P2 L2 12 g? AB ?21 Q 2 gvB(1)104AB 杆作平面运动，其速度瞬心为 IvA AI ? vC CI2?vB BI2，即：2vA (L ? b )2 22 21/ 2?vC 0 .5 L?vB b2 B，代入（1）式：2T2 ?P1 ( L ? b ) v B 6 gb2?P2 L v B 8 gbvB22?P2 L v B 24 gb222?Qv?vB 6 gb22g?P ( L12? b ) ? P2 L ? 3 Qb2 22?由 T 2 ? T1 ?? Wi：6 gb2?P ( L12? b ) ? P2 L ? 3 Qb2 22? ? 0 ? 2? ? M1/ 2vB2 ? ? 12 M ? gb ? ? 2 2 2 2 ? ? P1 ( L ? b ) ? P2 L ? 3 Qb ?8-31 解：以整体为对象，用动能定理求解 T1=0，T2 ? 1 2 mv O ?21 4mR ? O ?2 21 4mR ? B ?2 2 23 2mv2? v0 ? v ? R? O ? R? B则 T2 ?1 2 kS5 22mv ??Wi? 3 mgS ? mgS sin 30 ? ?7 2mgS ? 1 21 2kS22由 T 2 ? T1 ?? W ，有 2 mvi52?0?7 2mgS ?kS得 v ? [( 7 mgS ? kS 2 ) /( 5 m )] 1 / 2第九章 动静法F F F 9-1 解： 设车的加速度为 a ， 各物的惯性力为： 1 J ? m 1 a ， 2J ? m 2 a ， 3J ? m 3 a ，研究重物，受力如图（a） ? Y ? 0 ， T ? F 3J ? m 3 g ? 0 ： 研究矩形块和平台车，受力如图（b） ? X ? 0 ， ? T ? ? F 2J ? F1 J ? 0 ： 研究矩形块，翻倒的临界状态，受力如图（c） ：105（1） （2）?MA?0，T ? ?1 ? m1 g ?0 .5 2? F1 ?J1 2? 02（3）联立（1）（2）（3）式解得： m 3 ? 50 kg ， 、 、a ? 2 . 45 m / s9-2 解：取整体，受力如图示 加惯性力：F E ? ml ? s i n ?J 2，FD ? m / ?J2?M ?y?0， X B ? 2 b ? F DJ ? b ? Pl ? 0 ， X B ? ?XAPl 2b ?? 1 21 2ml ?22X ?0， X A ? X B ? F DJ ? 0 ，J?Pl 2bml ??Mx? 0 ， ? Y B ? 2 b ? F E ( b ? l cos ? ) ? Pl sin ? ? 0 ，ml ? 2b Pl 2b2YB ? ?( b ? l cos ? ) sin ? ?Pl 2bsin ??Y ?Z? 0 ， Y A ? YB ? F ? 0,J E?0，YA ?sin ? ?ml ? 2b2(b ? l c o s ) s i n ? ?Z A ? 2 P ? 0,Z A ? 2P1 2 ml ?2A、B 处动反力为： X ?A ? ?? YA ? ? ml ? 2b2? ? XBml ? 2b2( b ? l cos ? ) sin ?， Y B? ? ?( b ? l cos ? ) sin ?16-3解：研究长方形均质板，受力如图。撤去销 B 的瞬时，板角速度 ? ? 0 。设板角加速度为 ? ，则板质心加速度为： a C ? AC ? ? ? 0 . 125 ? 加惯性力系主矢，主矩： F J ?J AP ga C ? 0 . 125 m ?M? J A? ? [1 12m ( AB2? BD ) ? m ? AC ]? ? 0 . 5625 ?2 2列方程求解：106?M ?A? 0 ，MJ A?P?1 2( AB ) ? 0即 0 . 5625 ? ? mg ? 0 . 1 ? 0 ，? ? 47 . 04 rad/s2 （顺时针）3 54 5 ? 137 . 59 NX ?0， X A ? F J sin ? ? 0 ， X A ? ? 0 . 125 m ? ?J? ? 95 . 26 N（←） （↑）?Y? 0 ， YA ? Fcos ? ? P ? 0 ， Y A ? mg ? 0 . 125 m ? ?9-4 解：以复摆为对象，受力如图示。由计算知，复摆质心恰为 B 点，设绳断 瞬时，复摆角加速度为 ? ，则 a B ? ? 2 r ? ? ， a Bn ? 0 施加惯性力系主矢，主矩： F J ? 2 m ? ( 2 r ? ) ? 4 mr ?MJ O? JO ?? ?1 ?1 2 m ( 2 r ) ? mr ?3 2 ?2? m (3 r )265 ? 2 ?? ? mr ? ? 6 ?J 列方程： ? M O ? 0 ， M O ? 2 mg ? 2 r sin ? ? 0sin ? 65 r 48 J ? X ? 0 ， X O ? F cos ? ? 0 得 X O ? ? 65 mg sin 2? 96 2 J ? Y ? 0 ， YO ? F sin ? ? 2 mg ? 0 得 Y O ? 2 mg ? 65 mg sin ?得? ?24 g107a 9-5 解： 取杆， 受力如图示： 设右绳突然断开， 杆作平面运动。 绳断瞬时， C ?l 4?加惯性力系主矢，主矩： F J ?P gaC， M CJ ?1 P 12 gl ??2?M ?YC?0， M CJ ? T ?l 4? 0，T ?4P 3g P gaC（1）? 0， T ? FJ ?P ? 0， T ? P ?3 7aC（2）联立（1）（2）解得： a C ? ，g， T ?4 7P9-6 解： （1）研究工作台和工件，受力和施加惯性力如图（a）?X ?0， F ? F J ? F1 ? 0 其中 F J ?P g a（1）（2）研究齿轮，受力和加惯性力如图（b）?MO?0M ? M C ? F1?R ? 0J（2） ， ，F1? ? F1J 其中 M O ? J O ? ? Ja R联立（1）（2）解得： a ? 、( M ? FR ) gR PR2? JgF1 ?MPR ? FJg PR2? Jg?X ? 0 ， X O ? F1? ? 0，X O ? ? F1 ? ?MPR ? FJg PR2? Jg（与图中假设方向相反）题 9-69-7 解： （1）研究滑杆 BC，受力如图（a） 。滑杆平动。 由点的合成运动求得 BC 的加速度为： a BC ? a A sin 30 ? ? 在滑杆质心加惯性力 F1 J ， F1 J ?Q g a BC ? Q g ? 1 2 r?21 2r?2108?Y? 0 ， N ? F1 ? Q ? 0J得N ? Q ?Q 2gr?2（2）研究曲柄 OA，受力如图（b） 。??=常量（ ? ? 0 ） ? 惯性力系向 O 轴简化为： F 2J ?rP ?1 2 ? ? r? ? g ?2 ??M ?O?0， M ? P ? cos 30 ? ? N ?r cos 30 ? ? 0 得 M ?23 4? P ? 2 Q ?r ?3 Q 4 gr ?22X ?0， X O ? F 2J cos 30 ? ? 0 得 X O ? ?3 4?P gr?2?Y?0，Y O ? F 2 sin 30 ? ? P ? N ? ? 0J得 YO ? P ? Q ?P ? 2Q 4gr?2题 9-79-8 解：分别研究圆轮和滑块，受力和施加惯性力如图（a）（b）所示。 、J 对圆轮： ? M B ? 0 ， mg sin ? ? r ? ( F OJ ? S O ) r ? M O ? 0（1）其中 ： FOJ ? ma ， 对物块： ? X ? 0 ，MJ O?11 2? a ? mr ? ? ? m r a 2 ?r ? 2F A ? F A ? S A ? mg s i n ? 0 ?J（2） （3）?Y其中：J?0，N A ? mg c o s ? 0 ?F A ? ma? ， FA ? f N A ， S A ? S O联立以上各式解得： a ?2 5g ( 2 sin ? ? f ? cos ? )，SA ?1 5mg ? ( 3 f ? cos ? ? sin ? )109题 9-89-9 解：研究 AB 杆，受力如图。以 A 为基点，则a B ? a A ? ?l得 ? ?aB ? aA l?4 lW g于是 a C ? a A ? ? ?aC1 2?6m/s2l ?2加惯性力系主矢，主矩： F J ? 列方程求解： ? M A ? 0 ，， M CJ ? J C ? ? ?J C1 W 12 gTB l ? M? (W ? F ) ?JJl 2? 0得 T B ? 8 . 4 kN 得 T A ? 7 . 72 kN?Y?0，T A ? TB ? W ? F?09-10 解：研究均质圆球，受力如图示。设球心 O 点的绝对加速度为 a O ，相对 于板的加速度为 a r ，则 a O ? a ? a r 。 施加惯性力系主矢，主矩： F J ? 列方程： ? X ? 0 ， F ? F J ? 0P g aO MJ O? J O? ?2 P 5 gr ??2（1） （2） （3）?Y ?M?0，N ? P ? 0J ，M O ? F ?r ? 0O?0（1）球只滚不滑，有： a r ? r ? ，则 a O ? a ? r ? （4）110联立（1）（2）（3）（4）式，可解得： a r ? 、 、 、 （2）球又滚又滑，有 F ? fN （5）10 7g联立（1）（2）（3）（5）式，可解得： a r ? ( 2 ? f ) g 、 、 、 （3）球不产生相对滑动，需满足： a r ? r ? （6）且 F ? F man ? f min ? N （7） 联立（1）（2）（3）（6）（7）式解得： f min ? 0 . 571 、 、 、 、 9-11 解： 1）研究系统，受力如图（a） 施加惯性力系主矢、主矩： （ 。FJ? ma C ? ml 2? AB ， Ml 2J A? J A ? AB ?J O1 3ml ? ? AB2， Fe J ? ma e ? ma B ? ml ? ABF r ? maJr? m?? BD ， M? J O ? BD ?1 12ml ? BD2由? M A ? 0 ，MJ A? mg ?l 2? MJ Ol ? l ? ? ? J J J ? F r cos ? ? cos ? ? ? F e ? mg ? F r sin ? ? l ? sin ? ? ? 0 2 ?2 ? ? ???将各惯性力代入并化简得：19 l ? AB ? 7 l ? BD ? 21 g（1）（2）研究 BD 杆，受力如图（b） 。J 由 ? M B ? 0 ， M O ? ( F e J ? mg ) ? sin ? ? F r J ?ll 2?02将各惯性力代入并化简得： 3 l ? AB ? 4 l ? BD ? 3 g 联立（1）（2）式，解得： ? AB ? 、63 35 l g（2）6 55 l g（顺时针） ? BD ? ? ，（逆时针）题 9-11第十章 虚位移原理10-1 解：由虚位移原理，有： P ? rP ? Q ? rQ ? 0111（*）依几何关系，有： ? rP ? ? rC ， ? rQ ? ? r A ， 则： 于是由式（*）得： P ? 10 Q ? 10 kN? rP ? rQ?? rC ? rA?BC AB?1 1010-2解：由虚位移原理，可得：? rC ? rB? IC IB ? 2 l sin ? 2 l cos ?M ?? ? P ? rC ? 0? tg ?（*）r ?? ctg ?由几何关系：且 ? rB ? ? r A ? r ?? ， ? ? rC ?ctg 15 ? ? 1865 N代入（*）式，可得： 10-3P ?M rctg ? ?50 0 .1解：以 ? 为广义坐标，建立图示直角坐标系（见原图）x G ? 3l sin ?y A ? 2l cos ?， ，?xG ? 3l c o s ? ? ?? y A ? ? 2l s i n ? ? ?由虚位移原理： 即： 10-4? P1? x G ? P2 ? y A ? 0? 3 P1 l c o s ? ? ? 2 P2 l s i n ? ? ? 0 ? ?得： P2 ?3 2P1 ctg ?解：由虚位移原理：FD ?x D ? FE ?x E ? F ?xC ? 0（*）在图示位置弹簧伸长为： ? ?? x ? a ?bl k ( x ? a )b l所以弹簧力的大小为 F D ? F E ? k ? ?以 ? 为广义坐标，则： x D ? ( l ? b ) cos ? ，x E ? ( l ? b ) cos ?? x D ? ? ( l ? b ) sin ???，? x E ? ? (l ? b ) s i n ? ? ?x C ? 2l c o s?，? x C ? ? 2l s i n ? ? ?112代入式（*） ，得：? k ( x ? a )b l ( l ? b ) sin ??? ? k ( x ? a )b lF ? l ? x ? a? ? ? k ?b?2( l ? b ) sin ??? ? F ? 2 l sin ??? ? 0由于 ?? ? 0 ，于是得题 10-4题 10-510-5解： （1）解除 A 处的铅直约束，代之以 Y A （1）1 2 22 3根据虚位移原理有： Y A ? rA ? Q ? rQ ? P ? rP ? m ?? ? 0其中： Q ? 4 q ? 6 kN ， ? rA ? 3? rG ， ? rQ ? ? rG ， ? rD ? ? rG ， ? rP ? 代入式（1） ，有： 3Y A ? rG ? 6 ? rG ?1 2 P ? rG ? m ? 1 3? rG ， ?? ?? 2 . 44 kN1 3? rG? rG ? 0 ， Y A ?（2）解除 A 处的水平约束，代之以 X A 根据虚位移原理有： X A ? rA ? 0 ? 0 ? 0 ? 0?XA?0题 10-5（3）解除支座 B 代之以 R B ， 根据虚位移原理有： R B ? rB ? Q ? rQ ? P ? rP ? m ?? ? 0 其中： ? rB ?3 4（2）1 3? rG ， ? rQ ?RB ?1 2 20 9? rG ， ? rP ?? 2 . 22 kN1 2? rG ， ?? ?? rG代入式（2）得：113（4）解除 E 处约束，代之以 R E 根据虚位移原理有： R E ? rE ? P ? rP ? m ?? ? 0 其中： ? rP ?1 2（3）8 3 ? 2 . 67 kN? rE ，?? ?1 3? rE 。代入式（3）得： R E ?题 10-5（5）解除 C 处约束，代之以 R C 根据虚}