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实变函数讲义(南京大学) pdf
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实变函数(第2版数学与应用数学系列教材新世纪高等学校教材)
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编者房艮孙钱珮玲柳藩...
出版社北京师大
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《实变函数》教学中的几个难点解析
　　摘要：针对勒贝格积分和黎曼积分的关系以及几条重要概念和定理，教师进行了详细地解析，从而大大降低了实变函数的难度和抽象性，改善了课堂的教学效果，以便学生更快更好地掌握《实变函数》这门核心课程。 中国论文网 /9/view-6226869.htm　　关键词：勒贝格积分；黎曼积分；实变函数 　　中图分类号：G42 文献标志码：A 文章编号：（7-02 　　《实变函数》是数学专业重要的分析基础课之一，它为学生进一步学习其他数学分支如泛函分析、函数论、微分方程、概率论等提供了必不可少的基础知识。现在《实变函数》已经成为大学数学院系中的必修课程，在整个本科教学中起着十分重要的作用[1-5]。《实变函数》也是本科教学中学生普遍反映的学习难度较大的重要课程之一，如何教好这门课程目前已经成了国内同行们关注的焦点。本文主要对勒贝格积分和黎曼积分的关系以及几条较难理解的重要概念和定理进行了详细地解析，大大降低了实变函数的难度和抽象性，以便学生更快更好地掌握《实变函数》这门专业核心课程。 　　在实际教学中笔者发现，很多学生不明白实变函数与数学分析之间的区别和联系，从而严重挫伤了他们学习《实变函数》课程的积极性。笔者在实际教学中强调数学分析中学到的是黎曼积分，实变函数中学到的是勒贝格积分，并通过以下六条对黎曼积分和勒贝格积分进行了详细的对比。 　　1.黎曼积分的可积函数范围太小，即使像Dirichlet函数这样形式上比较简单的函数也不是黎曼可积函数，只有几乎处处连续的函数才是黎曼可积函数。此外黎曼可积函数形成的函数空间是不完备的，而完备性对函数空间是十分必要的。勒贝格积分不仅会大大扩大可积函数的范围，使得Dirichlet函数也是可积函数，而且勒贝格可积函数是基本上连续的，范围要比黎曼可积函数大得多，另外由勒贝格可积函数形成的函数空间是完备的。 　　2.黎曼积分只能定义在有界闭区间[a，b]或n维欧式空间的有界闭连通区域上，而很多特殊的集合如[a，b]的有理数集或无理数集都无法充当黎曼积分的积分区域，所以黎曼积分的积分区域范围太小。此外黎曼积分的积分区域是用约当测度测量的，而约当测度只具备有限可加性。勒贝格积分不仅会大大扩大积分区域的范围，因为它的积分区域是用勒贝格测度测量的，而且勒贝格测度则具备可数可加性。 　　3.从积分性质角度出发，则可以看出勒贝格积分具备绝对可积性而黎曼积分不具备；勒贝格积分具备积分区域的可数可加性，而黎曼积分只具备积分区域的有限可加性。 　　4.积分与极限换序中黎曼积分要求一致收敛的条件，而这一条件是很强的条件，很多函数列一般不满足这一条件。另一方面即使满足也很难验证，这大大限制了黎曼积分在实际问题中的应用。Arzela定理虽然利用处处收敛这个较弱的条件代替一致收敛，但是由于黎曼可积函数列的极限函数不一定是黎曼可积的，所以Arzela定理仍然要求黎曼可积函数列的极限函数是黎曼可积的，这一条件也是比较强的。有例子表明即使单调递增的黎曼可积函数列，它的极限函数也不一定是黎曼可积的。勒贝格积分的勒贝格控制收敛定理不仅用处处收敛条件代替一致收敛的条件，而且也去掉了Arzela定理中可积函数列的极限函数是可积这一较强的条件。 　　5.微分（或积分）和无穷函数项级数换序时，一般要求无穷函数项级数满足一致收敛的条件，显然这一条件很强，既不容易满足，也不容易验证。勒贝格积分在很大程度上也会减弱一致收敛的条件。 　　6.黎曼积分在导函数仍然是在黎曼可积的前提下才能使得微积分基本定理成立，而在实际应用中，即使是导函数有界这样性质比较好的函数也不一定保证其导函数是黎曼可积的。勒贝格积分在很大程度上也会减弱导函数仍然可积这一较强的条件。 　　以上对比使得学生对实变函数和数学分析的区别和联系有了清醒的认识，大大提高了他们的学习积极性，在实际教学中取得了良好效果。 　　实变函数中出现了大量新的概念和定理，每一条对于初学者而言都有一定的难度和较高的抽象性。下面主要从以下五个方面进行详细的解析，具体如下。 　　1.Egoroff定理的含义。对于测度有限的可测集合上的几乎处处收敛的可测函数列，如果该函数列的极限函数的函数值有限，则对任意小的正数，总存在E的可测子集e的测度小于这个正数，且函数列在E-e上是一致收敛的。这表明几乎处处收敛的可测函数序列在E去掉一个测度任意小（有可能是空集、非空零测集或者测度大于0但是任意小的可测集）的集合之后剩下的可测集上是一致收敛的。因此处处收敛的函数列若满足Egoroff定理的条件，则在很大程度上或者基本上就是一致收敛的，从而推翻了处处收敛与一致收敛差别很大的想法。 　　2.Lusin定理的含义。对任意小的正数，总存在闭集F？奂E，使得可测函数f（x）在F上是连续的，并且不连续点集E-F的测度小于这个正数。这表明对于所有的可测函数，在E去掉一个测度任意小（有可能是空集、非空零测集或者测度大于0但是任意小的可测集）的集合之后剩下的闭集上是连续的，从而表明可测函数基本上是连续的，但是比几乎处处连续的程度要差一些。 　　3.勒贝格积分中的分划与黎曼积分中的分划的区别与联系。以R1中的E=[a，b]为例。对应于黎曼积分中的每一个分划Δ：E=■Ei，其中Ei=[xi-1，xi]，i=1，…，n，就有唯一的勒贝格分划D：E=■E'i与之对应，其中E'1=[x0，x1]，E'i=[xi-1，xi]， i=2，3，…，n。除此之外，对于E=[a，b]，勒贝格积分还有很多由比较特殊的可测子集组成的分划，并且这些分划不是黎曼积分中的分划，例如E中的无理数集合以及有理数集合组成的分划。对于二维空间以上的分划，黎曼积分的积分区域以及每个分划对应的小子集都是约当可测集，而勒贝格积分的积分区域以及每个分划对应的小子集都是勒贝格可测集，这种差别也表明后者的范围要大得多。 　　4.引入可测函数的原因以及可测函数的含义。勒贝格积分的极限定义一般要求Ei=E[x：yi-1a]都可测，又Ei=E[x：f（x）>yi-1]-E[x：f（x）>yi]，则Ei显然是可测的。虽然a是无穷多的，但是所有的集合E[x：f（x）>a]只是E的全部子集的一部分，而且对于不同的函数f（x），E[x：f（x）>a]的个数也不一定是无穷多的，譬如Dirichlet函数对应的E[x：f（x）>a]的个数就是有限多的。一般地，如果函数f（x）能够使得E[x：f（x）>a]的那些子集可测，才认为f（x）是可测函数。 　　5.黎曼可积的充要条件。函数不连续点集的测度为0。[a，b]上的连续函数、有限多个不连续点的有界函数、单调有界函数、Riemann函数的不连续点集都是零测集，所以都是黎曼可积函数。不连续点是无穷多且不是黎曼可积的函数的典型例子为Dirichlet函数，因为它的不连续点集不是零测集。 　　综上所述，如何加强实变函数的基本概念和重要定理内容的解析，对实变函数和数学分析相关内容进行详细的对比，从而降低实变函数的难度和抽象性，明确学生学习实变函数的目的，进而提高他们的学习热情是实际教学中的关键所在。如果能够做到本文中提到的几点要求，就会大大改善《实变函数》的教学效果，使得学生更多更好地掌握《实变函数》的知识，达到教学大纲的要求。 　　参考文献： 　　[1]夏道行，等.实变函数论与泛函分析[M].第二版.北京：高等教育出版社，1995. 　　[2]周民强.实变函数论[M].北京大学出版社，2001. 　　[3]江泽坚，吴智泉.实变函数论[M].第二版.北京：高等教育出版社，1994. 　　[4]邓东皋，常心怡.实变函数简明教程[M].北京：高等教育出版社，2005. 　　[5]苏孟龙，杜智慧，李建华，夏兴无.实变函数论[M].吉林：吉林大学出版社，2009.
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HTTP Error 400. The request URL is invalid.实变函数知识点总结_伤城文章网
第一章 集合1 集合的运算一、集合的概念 定义 1 设有两个集合 A，B。 若x∈ A， 必有 x ∈ B ， 则称 A 是 B 的子集或 B 包含 A， 记为 A ? B或 B ? A 。 若 A ? B ，且存在 x ∈ B 满足 x ? A ，则称 A 是 B 的真子集。 若 A ? B且B ? A ，则称 A 与 B 相等或相同。 定义 2 设 Λ 是一个非空集合，对于每个 α ∈ Λ ，指定一个集合 Aα ，于是得到许 多集合，它们的总体称为集合族，记为 { Aα | α ∈Λ} 或 { Aα }α∈Λ 。 二、集合的运算 定义 3 设 A，B 是两个集合。 （1） 称集合 A ∪ B = { x | x ∈ A或x ∈ B} 为 A 与 B 的并集， 即由 A 与 B 的全 部元素构成的集合； （2） 称集合 A ∩ B = { x | x ∈ A且x ∈ B} 为 A 与 B 的交集， 即由 A 与 B 的公 共元素构成的集合； 定理 1（1）交换律 （2）结合律A∪ B = B ∪ A， A∩ B = B ∩ A；( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) , ( A ∩ B) ∩ C = A ∩ ( B ∩ C ) ;（3） 分配律 A ∩ ( B ∪ C ) = ( A ∩ B ) ∪ ( A ∩ C ) A ∪ ( B ∩ C ) = ( A ∪ B ) ∩ ( A ∪ C ) 。 更一般地有 （4） A ∪ （5） A ∩( ∩ B ) = ∩ ( A∪ B ) ；α∈Λ α α∈Λ α( ∪ B ) = ∪ ( A∩ B )α∈Λ α α∈Λ α；∞ ?∞ ? ?∞ ? ∪ A ∪ B = ( ) （6）设 { An} 和 { Bn} 为两集列，有 n=1 n ? ∪ An ? ∪? ∪ Bn ? 。 n ? n=1 ? ? n=1 ?定义 4设 A，B 是两个集合，称集合 A \ B = { x | x ∈ A且x ? B} 是 A 和 B 的差集， 即在集合中而不在集合 B 中的一切元素构成的集合。如果 B ? A ，则称 A \ B 为 B 相对于 A 的补集或余集。定理 2 （1） A ∪ A = X , A ∩ A = ?, Ac c( )c c= A, X c = ?, ?c = X ；（2） A \ B = A ∩ B c ； （3）若 A ? B ，则 Ac? Bc ；（4）若 A ∩ B = ? ，则 A ? B c ； （5） ( A \ B) ∩C = ( A∩C) \ ( B \ C) , ( A \ B) \ C = A \ ( B ∪C) 。 定理 3 （D Morgan 法则） （1） X \ ∪ Aα = ∩α ∈Λα ∈Λα ∈Λ( X \ Aα ) ；(X\ Aα ) ；（2） X \ ∩ Aα = ∪α ∈Λ特别的，若 X 为全集，有 （3） ∪ Aα α ∈Λ （4） 定义 5()c= ∩ Aα c ； α ∈Λ(∩ A )α ∈Λ αc= ∪ Aα c 。α ∈Λ设 X 与 Y 是两个集合， 称集合 X × Y = {( x, y ) | x ∈ X , y ∈ Y } 是 X 与 Y 的直 积集，简称 X 与 Y 的直积，其中 ( x1, y1 ) = ( x2 , y2 ) 是指 x1 = x2 且 y1 = y2 。三、集合列的极限集 定义 6 设 { Ak } 是一列集合，分别称集合lim Ak = { x | 存 在 无 穷 多 个 k， 使 x ∈ A k }k→∞lim Ak = { x | 只 有 有 限 个 k， 使 x ? A k }k→∞是集合列 { Ak } 的上极限集与下极限集。 注解：① x ∈ lim A kk→∞② x ∈ lim Akk→∞? 存在 { A } 的子集列 { A } ，使 x ∈ Ak ? 存在 N & 0 ，当 k & N 时， x ∈ Ak ；kkii， i = 1, 2；③ ∩ Ak ? lim Ak ? lim Ak ? ∪ Akk =1 k →∞ k →∞ k =1∞∞定理 4 设集列 { Ak } ，则（1） li m A k = ∩ ∪ A k ； （2） lim Ak = ∪ ∩ Ak 。 n =1 k = n k→∞ n =1 k = nk→∞∞∞∞∞注解：① E \ lim Ak = lim ( E \ Akk→∞ k→∞)② E \ lim Ak = lim ( E \ Ak )k→∞ k→∞定理 5（1）若 { Ak } 是单调递增集列，则 lim A k = ∪ A kk→∞ k =1 ∞∞（2）若 { Ak } 是单调递减集列，则 lim Ak = ∩ Akk→∞ k =1四、集类 定义 8 设 X 为一个集合，ζ 是 X 上的一个非空集类， 如果对任何 E1 , E2 ∈ ζ ， 都有E1 ∪ E 2 ∈ ζ , E1 \ E 2 ∈ ζ ，则称 ζ 为 X 上的一个环。 如果还有 X ∈ ζ ， 则称 ζ 为 X 上的一个代数或域。 如果对任何一列 Ek ∈ ζ ，均有 ∪ E k ∈k =1 ∞ζ , E1 \ E 2 ∈ ζ ，则称 ζ 为 X 上的 σ 环，如果还有 X ∈ ζ ，则称 ζ 为 X 上的一个 σ 代数或σ 域。定理 6 若 ζ 为环，则 （1） ? ∈ ζ （2）任意 E1 , E 2 ∈ ζ ，有 E1 ∩ E2 ∈ζ （3）若 ζα (α ∈Λ) 是 X 上的环（或代数） ，则 定理 7 设 ζ 为 σ 环，则 （1） ζ 为环； （2）对任意 En ∈ ζ , n = 1, 2, （3）对任意 En ∈ ζ , n = 1, 2, （4）ζ αα ∈Λ∩ ζ α 是 X 上的环（或代数） 。, 有 ∩ En ∈ ζ ； n =1, 有 lim En ∈ζ , lim En ∈ζ ； n→∞n→∞∞(α ∈ Λ ) 为 X 上 σ环（ σ 代数） ，则 ∩ ζα 是 X 上 σ 环（ σα∈Λ代数） 。定理 8 设 A 是由 X 的某些子集构成的集类， 则存在唯一的环 （或代数，σ 环，σ 代数） ζ ，使（1） A ? ζ ； （2）任何包含 A 的环（或代数，或 σ 环或 σ 代数）ζ ，必有 ζ ? ζ 。**定义 9 定理 8 中的环（或代数，或σ环或 σ 代数）ζ 称为由集类 A 所张成的环（或代数，或 σ 环或 σ 代数） ，并用 ζ( A ) （或 ? ( A ) 或 ζ σ ( A ) 或? σ ( A ) ）来表示。例题：设 X 为一非空集合，A 为 X 的单点集全体所成的集类，则由 ① 集类 A 所张成的环 ζ 若 X 为有限集， ζ( A ) = {B | B是X的有限子集}环、 σ 代数( A ) 也是代数、 σ② 若 X = {an | n ∈ N} ，则 ζ( A ) = {B | B是X的有限子集 }集合的势ζ σ ( A ) = ?σ ( A ) = 2A= {B | B ? X } 2一、映射 定义 1 有关映射的一些概念（舍）见教材 P9。 定理 1 设T: X → Y 为映射，则（1） 当A1 ? A2 ? X 时，有T ( A1 ) ? T ( A2 ) ; （2） T ∪ Aα = ∪ T ( Aα )( Aα ? X ,α ∈Λ) ;α∈Λ α∈Λ()（3） T( ∩ A ) ? ∩ T ( A )( A ? X,α ∈Λ) ;α∈Λ α α∈Λ α α?1-1 ?1 （4） 当B1 ? B2 ? Y 时，有T ( B1 ) ? T ( B2 ) ;（5） T （6） T （7） T(∪ B )= ∪Tα∈Λ α α∈Λ?1( Bα )( Bα ? Y ,α ∈Λ ) ;?1( ∩ B )= ∩Tα∈Λ α α∈Λ?1 c?1( Bα )( Bα ? Y,α ∈Λ) ;c?1( B ) = (T ( B ) )由此看出原像集的性质保持比像集的性质保持要好 注解：①、 （3）中如：一个映射 f 把 X 全部映射成一个值，就可以造成左边为空集即可； ②、 一般T -1 (T ( A) ) ? A，当T为单射时,有T -1 (T ( A) ) = A ③、 一般T T ?1 ( B ) ? B，当T为满射时,有T T ?1 ( B ) = B 定义 2 复合映射概念（舍）见教材 P10 二、集合的势 定义 3 设 A 和 B 为两集合， 若存在从 A 到 B 的一一映射， 则称集合 A 与Ｂ对等， 记为 A~B 注解：①、对等关系是等价关系 ②、设 {Aα | α ∈ Λ} , { Bα | α ∈ Λ}()()，其中 {Aα }两两互不相交， {α ∈Λ α ∈ΛBα }两两互不相交。若对任意的 α ∈Λ ，有 Aα ~ B α ，则∪ Aα ~ ∪ Bα定义 4 如果集合 A 与 B 对等，则称 A 与 B 有相同的势或基数，记为 A = B （其 中 A 表示 A 的势或基数） 定义 5 设集合 A 与 B，记 A = α , B = β ， 如果 A~ B1 ? B ，则称 α 不大于 β ，记为 A = α ≤ β = B ， 如果 α ≤ β且α ≠ β ，则 α 小于 β ，记为 A = α & β = B 注解：对于有限集来说，基数可以看作集合中元素个数，而对于无限集，其基 数表示所有对等集合共同的属性。 结论： （1）映射 T 是从 A 到 B 的单射，则 A ≤ B （2）映射 T 是从 A 到 B 的满射，则 A ≥ B （3）设 { Aα | α ∈ Λ} , { Bα | α ∈ Λ} ，其中 { B α } 两两互不相交，若对任意的Aα ≤ ∪ Bα α ∈ Λ ，有 Aα ~ Bα ，则 α∪ ∈Λ α ∈Λ引理 若 A2 ? A 1 ? A, 且A ~ A2 ，则 A ~ A1 ~ A 2定理 2（Bernstein）设 A、B 为两个集合，若 A ≤ B 且 A ≥ B ，则 A = B 三、可数集 定义 6 凡是与自然数集 N 对等的集合称为可数集或可列集， 它们的势 （或基数） 记作“阿列夫零”或 a，称为可数势或可数基数。 至多可数集的重要性质： 性质 1 任一无限集 A 必含有可数子集， 即 a 为无限集中最小的势； （定理 3）性质 2 集合 A 是无限集的充要条件是 A 与其某一真子集对等； 性质 3 （至多可数集的性质） （1）可数集 A 的任一子集 B 为至多可数集； （ 2 ） 设 A1 , A2 ,（定理 4） （定理 5）, An 为 至 多 可 数 集 ， 则 ∪ Ai 仍 为 至 多 可 数 集 ， 如 果 i =1nnA1 , A2 ,, An 中至少有一个可数集，则 ∪ Ai 为可数集； i =1 , An ,为至多可数集，则（ 3 ） 设 A1 , A2 ,∪ Ai 仍 为 至 多 可 数 集 ， 如 果 i =1∞∞A1 , A2 ,（4）设 A1 , A2 ,, An ,中至少有一个可数集，则 ∪ Ai 为可数集； i =1, An 为可数集，则 A1 × A2 ×× An 为可数集。（5）若集合 A = xa1 ,a2 ,{,an| ai ∈ Ai , Ai为可数集，i = 1, , n ，则 A 为可数集。n}常用结论：①有理数集 Q 是可数集， R 中有理点集 Q 为可数集。 ②R1n中互不相交的开区间族是至多可数集。定理 6 若Ａ为无限集，Ｂ是至多可数集，则 A ∪ B ～ A 由证明归纳出两种证明对等的方法： （１）建立一一映射； 设 B = {b1 , b2 ,} 为可数集， A ∩ B = ? ，由性质１知，Ａ存在可数子集A1 = {a1 , a 2 ,} ，作映射 f : A ∪ B → A? ? ? ? ?x? a2 k ?1 , x = a k , k = 1, 2, ? f ( x ) = ? a2 k , x = bk , k = 1, 2, ? x , x ≠ a , b , k = 1, 2, k k ?（2） 要证 A 与 B 对等， 可将 再分别证明A 和 B 都分解为不交并， 即 A= A 1 ∪A 2, B = B 1 ∪B 2A 1 ~ B 1 ， A2 ~ B2A = ( A \ A1 ) ∪ A1, A ∪ B = ( A \ A1 ) ∪ ? ? A1 ∪( B \ A) ? ?四、不可数集 定义 7 不是至多可数集的集合称为不可数集。 定义 8 不可数集的基数称为连续基数，记作“阿列夫”或 c 定理 7（常用的基数为 c 的集合） （1） [ 0,1] = { x ∈ R | 0 ≤ x ≤ 1} 是不可数集； （2）R 上任何区间的势均为 c； （3）无理数集的势为 c； （4）若 X k= c ， k = 1, 2,则∏ Xk =1∞k= c ；∞k =1∪ X k = c, ∪ X k = ck =1m（5）若 X α = c, α ∈ Λ , 且 Λ = c, 则 ∪ X α = cα ∈Λ定理 8 集合为A不可数集 ? A为无限集，且对A的任何可数子集B,有A ~ A\B 定理 9 设 A 是任一无限集合，则 A ≤ 2 A 注解：①集合的基数中不存在最大基数 ②不存在集合 A，使 2 为可数集 ② 2 =2A AA定理 10 设集合 A 和 B，若 A~B,则 2 A ~ 2 B 定理 11 可数集幂集的基数为连续基数，即 2 a = c 。 连续统假设：基数 a与 c 之间是否存在其它的势？（至今悬而未决） 3nR n 中的开集、闭集和 Borel 集一、 R 中的距离、领域、区间 定义 1 定义 2 定义 3 定义 4 定义 5n满足正定性、对称性、三角不等式的称为距离空间。 n 维欧式空间 有界集定义 开球、闭球、球面的定义R n 中开区间、闭区间、半开半闭区间和体积的定义二、 R 中开集定义 6n 设G ? Rn ， 如果对任意 x ∈ G ， 有δ & 0 ， 使 B( x,δ ) ? G ， 则称 G 为 R中开集。 定理 1R n 中开集构成的集族 τ 满足下述三条性质：（1） ? , R ∈ τ ;n（2） 若G1 ,G2 ∈τ，则G1 ∩ G2 ∈τ ; （3） 若G α ∈ τ , α ∈ Λ , 则 ∪ Gα ∈ τ ;α ∈Λ称 τ 为 R 上的一个拓扑， R n , τn() 为拓扑空间。∞ ? 1 1? 注解：无穷多个开集的交集不一定为开集，例如 ∩ ? ? , ? = {0 } 为闭集 n =1 ? n n?定义 7 （1）设 x ∈ R ，若 G 为 R 中的开集且 x ∈ G ，则称 G 为 x 的一个领域nn（2）设 E ? R ，如果存在 x 的一个领域 G，使得 G ? E ，则称 x 为 E 的n内点。 （3）设 E ? Rn ， x ∈ R n ，如果对 x 任意领域既含有 E 的点，又含有 E c 的点，则称 x 为 E 的边界点。c 常用结论：①、 ?E = ? E ; ②、 E ? E ; ③、 R n = E 0 ∪ ( E c ) ∪ ?E .( )00定理 2 设 E ? R ，则n（1） E 为开集；0 （2） E 为 开 集 ? E = E0三、 R 中闭集( ) n 定义 8 设 x , x ∈ R ( k = 1, 2,knd ( x( k) , x) = lim x( k) ? x = 0 ) ，若 lim k →∞ k →∞(k)k →∞则称点列 x ( k ) 收敛于 X，记为 lim x 两条收敛判定准则：{}=x（1） lim x ( ) = x ? 对x的任何领域G，存在N&0，当k&N时， x ( ) ∈ G .k k k →∞（2） lim x ( k ) = x ? 对 每 个 i = 1, 2,k→∞, n , 有 lim x i(k→∞k)= xi .定义 9 设 E ? R ，x ∈ R ， 如果对 X 的任意领域 G， 必有 G ? { x} ∩ E ≠ ?, 则nn()称 X 为 E 的聚点或极限点，聚点全体称为导集，记为 E ' ； 称 E = E ∪ E ' 为 E 的闭包。 相反，如果存在某个领域 G 0 ，使 G0 ∩ E = { x} ，则称 X 为 E 的孤立点。 常用结论：①、孤立点集为至多可数集； ②、有限集为孤立点集，但可数集不一定为孤立点集，如 Q。 ③、内点一定是聚点，但聚点不一定是内点；孤立点一定是边界点， 但边界点不一定是孤立点。 定理 3 设 E ? R ， x ∈ R ，则以下为聚点等价性定义：nn(1 ) x 为 E 的 (2 )任 意 δ聚 点 ； & 0, (Bk im x ( ) = (3 ) 存 在 E 中 互 异 点 列 {x (k ) }, l k→ ∞ ( 4 ) 对 x的 任 意 领 域 G ， 它 必 含 有 E 的 无 穷( x , δ ) \ { x }) ∩E ≠ ?;多 个 点.定理 4 设 E 是 Rn中的有界无限点集，则 E 中至少有一个聚点。 ,则'n 定理 5 设 Ek ? R ，k = 1,2,? m ? m ? m ? E = ? ∪ E k ? , ∪ E k = ? ∪ E k ?. (1) k∪ =1 ? k =1 ? k = 1 ? k =1 ?m ' k? ∞ ? ∞ ? ∞ ? E ? ? ∪ E k ? , ∪ E k = ? ∪ E k ?. ( 2 ) k∪ =1 ? k =1 ? k =1 ? k =1 ?∞ ' kn c n n 定义 10 设 F ? R ，若 F 为 R 中的开集，则称 F 为R 中的闭集。'n c 定理 6 设 μ = F ? R | F 为开集 为所有闭集构成的闭集族，则 μ 具有下列性{}质：(1 ) ? ， R n ∈ μ ； ( 2 ) 若 F1 , F 2 ∈ μ , 则 F1 ∪ ( 3 ) 若 F α ∈ μ (α ∈ Λ ) ，F2 ∈ μ ; 则 ∩ Fα ∈ μ .α ∈Λ∞ ?1 ? 注解：无穷多个闭集的并集不一定为闭集，例如 ∪ ? ,1 ? = (0,1] 左开右闭集 n =1 ? n ?n 定理 7 设 E ? R ，则下列叙述等价：(1 ) E 为 闭 集 ； ( 2 ) E ' ? E； ( 3 ) E = E； ( 4 ) 设 x (k ) ∈ E , k定理 8(有限覆盖定理)= 1, 2,, 若 lim x ( k ) = x , 则 x ∈ E。k→∞设F是有界闭集， ?是一族领域， ?覆盖了F,则在 ?中必有有限个领域覆盖 F。拓广:(Lindelof 定理)设 E ? R n， ?为的一个开覆盖 E，则在 ?中有至多可数个开集覆盖 E。定义 11(1) 若 E ' ? E，则 E闭集 ( 前面已证明 )； ( 2 ) 若 E ' ? E，则称 E为自密集； ( 3 ) 若 E ' = E，则称 E为完备集 (或完全集 )。注解：①可数集为闭集； ②设 E 为非空点集，若 E 的任意子集都为闭集，则 E 不一定是有限集，如 自然数集。m m ? m ? ' ∪ E ∪ E ∪ Ek = = ③有限个完全集的并集仍为完全集 ? k ? k k =1 k =1 ? k =1 ?'有限个完全集的交集不一定为完全集，如 [ a , b ] ∩ [b , c ] = {b} ④若 E 为非空完全集，则 定义 12E = c(1) 如果 E = R n，则称 E为 R n中的稠密集； ( 2 ) 如果在每个非空开集中存在非空开子集完全含于 E c中，则称E为 R n中的疏朗集。常用结论： ①集合 E 为稠密集的充要条件： 任意非空开集 G,必有 G ∩ E ≠ ? 。 ②集合 E 为疏朗闭集的充要条件：E 的余集为稠密开集。 疏朗集的余集为稠密集，但反之不成立，如有理数集与无理数集。 ③有理数集和无理数集均为 R 中的稠密集； 自然数集和有限集均为 R 中的疏朗集。 重要例子： （Cantor 集） 将【0，1】每次挖掉剩余闭区间的中间三分之一长的开区间后，剩下的部 分设第 n次剩余部分为 Fn，记 F1n , F2n ,, F2nn ，挖去的开区间列为∞ ∞ 2 n ?1 n =1 n n =1 k =1 n k{I , I1 12 1,I ,2 2,I ,I ,n 1n 2,In 2 n ?1,} , 作点集 P = ∩ F = [0,1] \ ∪ ∪ I.性质：①P 为非空有界闭集； ②P 为完全集； ③P 为疏朗集； ④P = c 四、 R 中的 Borel 集。 定义 13 至多可数个开集的交集为 G δ 型集； 至多可数个闭集的并集为 Fσ 型集。 常用结论：①开集为 G δ 型集，闭集为 Fσ 型集； ②集合 E 为 G δ 型集充要条件：E 的余集为 Fσ 型集； ③至多可数个 G δ 型集的交仍为 G δ 型集；至多可数个 Fσ 型集的并 仍为 Fσ 型集。 ④任一至多可数集 E 为 Fσ 型集，特别的 有理数集和有理点集为 Fσ 型集；无理数集和无理点集为 G δ 型集 定义 14 由 Rnn简记 ? 中一切开集构成开集族 τ 生成 σ 代数称为 Borel 代数，?中元素成为 Borel 集。常用结论：①开集、闭集、 G δ 型集与 Fσ 型集皆为 Borel 集； ②Borel 集的余集为 Borel 集； ③Borel 集的并、交、上（下）极限皆为 Borel 集。 五、开集的构造 （详细原理见教材 P31） 定理 9（ R 开集的构造）n(1) R1中非空开集 G是至多可数个互不相交的开区间 ( ( ?∞ , a ) , ( a , b ) , ( b, +∞ ) , ( ?∞ , +∞ ) )的并集，反之亦真；( 2 ) R n ( n ≥ 2 )中非空开集 G是至多可数个互不相交的半开半闭区间的闭集。六、点集间的距离n n 定义 15 设 x ∈ R , E1 , E2 为 R 非空集合，称 d ( x, E1 ) = inf d ( x, y ) | y ∈ E1{}为点 X 到集合 E 1 的距离。称 d ( E1 , E2 ) = inf d ( x, y ) | x ∈ E1 , y ∈ E2 为集合 E 1 到集合 E 2 的距离。{}(1) x ∈ E ? d ( x, E ) = 0, 反之不成立； 常用结论： ( 2 ) 若 E为闭集，则 x ∈ E ? d ( x , E ) = 0； ( 3 ) E1 ∩ E2 ≠ ? ? d ( E1 , E2 ) = 0, 反之不成立。引理n 设 E 为非空集合，则函数 f ( x ) = d ( x , E ) 在 R 上一致连续推论 1 函数 f( x ) = d ( x , x 0 ) 在 R n 上一致连续。y ∈ F ，使得d ( x, F ) = d ( x, y )n 定理 10 设 F 为 R 中非空闭集， x ∈ R n ，则存在定理 11 设 F1 , F2 为 Rn中非空闭集，且其中至少有一个集合是有界的，则存在x ∈ F1 , y ∈ F 2 ，使得 d ( F1 , F2 ) = d ( x, y )注解：定理 11 中“至少有一个集合是有界集”不能缺少，如?? 1 ? ? E1 = {( x, 0 ) | x ∈ R1} ? R 2 , E2 = ?? x, ? | x ≠ 0, x ∈ R1 ? ? R 2 ?? x ? ?定理 12（隔离性定理）若 F1 , F2 为 Rn中非空闭集，且 F1 ∩ F2 = ? ，则存在 Rn中开集 G 1 , G 2 ，使得 G1 ? F1 , G2 ? F2 , 且G1 ∩ G2 = ?。 例：若 F 为 R 中闭集，则 F 为 G δ 型集；若 G 为 R 中开集，则 G 为 Fσ 型集n 定理 13 （连续延拓） 若 F 是 R 闭集，f ( x ) 在 F 上的连续函数 f ( x ) ≤ M ( x ∈ F ) n 则存在 R 上连续函数 g ( x ) = fnn( x )( x ∈ F ) , g ( x )≤ M(x ∈ R )n4 一、特征函数集合与函数定义 1 X 是非空集合， A ? X ，称 χ A 注解：显然 χ A 定理 1(x) = ??1, x ∈ A , ? ? 为集合 A 特征函数 ? 0, x ? A ?( x ) = χ B ( x )( x ∈ X ) ? A = B(1 ) A = X ? χ A ( x ) ≡ 1; A = ? ? χ A ( x ) ≡ 0； ( 2 ) A ? B ? χ A ( x ) ≤ χ B ( x )( ? x ∈ X )； (3 ) χ A ∪ B ( x ) = χ A ( x ) + χ B ( x ) ? χ A ∩ B ( x ) , 特 别 的 A ∩ B ( 4 ) χ A ∩ B ( x ) = χ A ( x ) χ B ( x )； (5 ) χ A \ B ( x ) = χ A ( x ) ? ?1 ? χ B ( x ) ? ?; ax χ A ( x ) , χ ∩ A ( x ) = m in χ A ( x ) ; (6 ) χ ∪ A ( x ) = m α ∈Λ α ∈Λα ∈Λ α α α ∈Λ α α= ?时；( 7 ) 设 { Ak } 是 任 一 集 列 ， 则 χ lim A ( x ) = lim χ A ( x ) , χ lim A ( x ) = lim χ A ( x ) ; kA k 存 在 ? lim χ A ( x ) ( 任 意 x ∈ ( 8 ) lim k→∞ k→∞ 极 限 χ lim A ( x ) = lim χ A ( x )( x ∈ X ) k→∞k k k k k k k k kX )存 在 ， 且kk二、集合与函数 归纳的一些重要集合等价式： （仅列举部分）(1 ) 设 f ( x ) 定 义 在 E则E ? ?x | f? R n的 实 值 函 数 ，∞ 1? ? E ?x | f (x) & ? ; 0? ? = n∪ =1 n? ? lim f n ( x ) = f ( 2 ) { f n ( x )} 定 义 在 E , f n ( x ) ≤ f n + 1 ( x )，(x) ≠k→∞(x)则 lim E ? ? x | fk ( x ) & α ? ? = E ? ?x | f k→∞(x) & α ? ?;( 3 ) 设 f ( x ) 定 义 在 开 集 E ? R n的 实 值 函 数 ， 则 f ( x ) 在 E 上 连续 ? E ? ?x | f (x) & c? ?与E ? ?x | f (x) & c? ? 开 集 (? c ∈ R ).定义 2设 函 数 f ( x )定 义 在 集 合 E ? R n上 ， x 0 ∈ E 若 f ( x )在 BE ( x 0 , δ 0 ) = E ∩ B ( x 0 , δ 0 ) 上 有 定 义 ， 我 们 称'ω E ( x 0 ) = lim ω E ( x 0 , δ ) = lim supδ → 0+ δ → 0+{ f (x )? f (x ) x , x& '&∈ BE ( x 0 , δ 0 )}0 & δ & δ 0 ,当 E为 开 集 ， 简 记 ω ( x 0 ) 为 f ( x ) 在 x 0出 的 振 幅 ，从而得到一些常用结论： （1）连续的等价条件：f( x ) 在 x 0出 连 续? ωE (x0)= 0（2）函数连续点集结构设 f ( x ) 定义在开集 G ? R n的实值函数，则 f ( x )的连续点集为 Gδ 集第二章测度论实变函数论的核心问题是对数学分析中的黎曼积分进行推广，即 Lebesgue 积分。 数学分析中黎曼积分的缺陷：一方面被积函数的连续性要求太强，以至于著 名的 Dirichlet 函数这样一种非常简单的函数不可积；另一方面应用有局限， 表现在可积函数项级数的逐项积分以及可积函数列的积分与极限的可交换性， 一般要求函数列与函数项级数具有一致收敛性。 改进两方面：一方面是积分范围划分的改进，由此产生了集合的测度；另一 方面是对被积函数进行改进，由此产生了可测函数。 本章介绍 Lebesgue 测度，它是通常意义下“面积或体积”的推广，即能保 持其特性：①非负性；②当集合为区间时，其测度即为区间的体积；③完全可 加性，即当 { Ei } 为一列互不相交的有测度集合时， ∪ Ei=1 ∞ i的测度恰好为每个集合的测度之和。 1 一、外侧度定义 定义 1 设E 外测度 E 的任一列开区间，即 E ? ∪ I i ，记i =1 ∞? R n ， { I i } 是 Rn 中覆盖μ=∑i =1∞I i （ μ 可以取 +∞ ） ，称所有这样的所成数集的下确界为 E 的**∞ ? ∞ ? Lebesgue 外侧度，记为 m E ，即 m E = in f ? ∑ I i | E ? ∪ I i ? i =1 ? i =1 ?注解：对任意 E? R n ， m* E 均存在。二、外测度的基本性质 定理 外测度具有如下性质： （1） 对任意 E? R n ，都有 m* E ≥ 0 且 m*? = 0 （非负性）n（2） 设 B ? A ? R ，则 m*B ≤ m* A （单调性）∞ ? * ? n ∪ m A ? R （3） 设 i ，则 ? i =1 Ai ? ≤ ? ?∑mi =1∞*Ai （次可加性）*（4） 设 A, B ? R ，若 d ( A, B ) & 0 ，则 mn( A ∪ B ) = m* A + m* B （隔离） 注解：①、任何可数点集的外测度为零； ②、若 m A = 0 ，则对任意 E*? R n ，总有 m* ( E ∪ A) = m* E ；③、零测集的任意子集仍为零测集； 至多可数个零测集的并集仍为零测集； ④、对任何区间 I? R n ，总有 m* I = I*；常用结论：1、若 E 有界，则 m E & +∞ ；若 m* E = +∞ ，则 E 无界。 2、Cantor 集 P、至多可数集、连续（可积）函数对应的图像的点组 成的集合均为零测集，从而是可测集； 3、若 E ?R1 为有界集，且 m* E & 0 ，则对所有 0 ≤ μ ≤ m* E ，存μ （推广的介值性定理） 。* 在 E1 ? E ，使 m E1 =2 可测集 外测度是否是通常意义下的“体积”的拓广，需满足完全可加性，而对外测 才有 m 度而言， 只有当 d ( A, B ) & 0 时， 时，可能有*仅当 A ∩ B = ? ( A ∪ B ) = m* A + m* B ，d ( A, B ) = 0 ，完全可加性不一定成立，所以需改进。一、可测集的定义及等价条件 定义 1* * * c n 设E?R ， 如果对任意 T ? R ， 总有 m T = m (T ∩ E ) + m T ∩ E ，n()则称 E 为 Lebesgue 可测集， 或称 E 是可测的， 此时， E 的外测度 m * E 称 为 E 的 Lebesgue 测度，记为 m E 。 注解：与外测度不同的是，并非每个集合都是可测的。 定理 1 设 E ? R n ，则下列三种说法是等价的： （1） E 是可测集； （2）E c 是可测集；c*（3） 对任意 A ? E, B ? E ，总有 m( A ∪ B ) = m* A + m* B注解：由（3）零测集为可测集，再由（2）推出 R n 可测。 二、可测集的基本性质 定理 2 （1） E1 , E2可测 ?E1 ∪ E2 , E1 ∩ E2 , E1 \ E2均可测 ；m m i =1 i =1（2） E i (i=1,2, ,m ) 可 测 ? ∪ E i , ∩ E i 可 测 ， 并且当 Ei 两两不交时，? m m ? ∪ E ? i=1i? ? = ?∑mm Ei=1i， （对于可数个可测集列也同样成立） 。注解： （1）定理 2 中（2）说明了测度具有完全可加性； （2） lim E n , lim E n 可 测 。 由于 lim E n = ∪ ∩ E k , lim E n = ∩ ∪ E k 。 n =1 k = n n→ ∞ n =1 k = n n→ ∞n→ ∞∞∞∞∞n→ ∞（3）综上所述，可测集对集合的至多可数并、交、差（余）及极限运算是 封闭的，若 μ 表示 R n 中可测集全体，则显然 μ 是一个 σ 域。 （4） μ 定 理 3= 2c三、单调可测集列的性质 设 E n (n = 1 , 2 ,∞ n =1 n→ ∞)为 单 调 上 升 的 可 测 集 列 ， 记S = ∪ E n = lim E n , 则 lim m E n = m S 。 即极限集测度=测度极n→ ∞限。 定 理 4 设 E n ( n=1,2,∞ n =1 n→∞)为 单 调 下 降 的 可 测 集 列 ， 记E = ∩ E n = lim E n , 若 存 在 某 个 E n0 ,使 E n0 &+ ∞ , 则 lim mE n = mEn→ ∞注解：①、定理 4 中条件“ 若存在某个En0 ,使En0 &+∞ ”不能去掉，否则结论不一 定成立， 如取 E n = ( n , +∞ ) , ( n=1,2,? ? mEn = +∞ ≠ 0 = mE = m ? ∩ En ? = m? 。 ) ，lim n →∞ n =1∞??② 、 由 定 理 3 有 lim E n = ∪ ∩ E k ， ∩n→ ∞ n =1 k = n∞∞∞k = nEk中单调上升，有? ∞ ? ? m? m ? ∩ Ek ? ； ? lim E n ? = lim ? n→ ∞ ? n→ ∞ ? k =n ?③、由定理 4 有， l i m En → ∞n= ∩∞n =1 k = n∪∞Ek中 ∪ E k 单调下降，若存k=n∞∞ ∞ ? ∞ ? ? E , 使m Ek ? & +∞ ，则 m lim E n = lim m ? ∪ Ek ? ∪ 在 k =n k ? k∪ ? n = n→∞ n→∞ 0 ? 0 ? ? k =n ?()∞ ? ∞ ? 考 虑 到 E n ? ∪ E k ， 则 有 mE n ≤ m ? ∪ E k ? 两 边 取 极 限 有 ， = k n k=n ? ?lim m E n ≤ m lim E nn→ ∞ n→ ∞()④、 m ? ? lim E n ? n→ ∞n →∞? ≤ lim m E ≤ lim m E ≤ m lim E 从而设 ? n n n n→ ∞ n→ ∞ ? n→ ∞n→∞()E n 为可测集，且 lim En = E ，若 E n 有界，则 lim mE n = mE ⑤对任意可测集 A、B，有（1）若 B ? A , 则 mA=m ( A\B ) + m B （2）若 mB & +∞ , 则 mA- mB ≤ m ( A\B ) （3）若 B ? A, 且mB & +∞, 则mA-mB = m ( A\B ) 3 一、可测集类 定理 1（1）零测集为可测集； （2）零测集的子集为零测集，从而为可测集； （3）至多可数个零测集的并集为零测集，从而为可测集。 定理 2 Rn可测集类及可测集的结构中任何区间 I 都是可测集， m I = I 。注：区间包括开区间、闭区间、左闭右开区间、左开右闭区间 定理 3 Rn中的开集、闭集、Borel 集都是可测集。注：Borel 集是 G δ 集（至多可数个开集的交集）与 Fσ 集（至多可数个 闭集的并集）但并非每个可测集都是 Borel 集 二、可测集与 Borel 集的关系 定理 4 设 E ? R n ，则存在 G δ 集 G，使 E ? G ，且 mG = m 定理 5 设 E ? R n ，则下列关系等价： （1）E 为可测集； （2）对任意 ε*E& 0 ，存在开集 G，使 E ? G ，且 m ( G \ E ) & ε ；（3）存在 G δ 型集Ｇ，使 E ? G ，且 mG = mE , m ( G \ E ) = 0 。 注解： E = G \ ( G \ E ) 表明任意可测集可以表示成一 G δ 型集与一零测集的差集。 定理６设 E ? R n ，则下列关系等价： （1）E 为可测集； （2）对任意 ε& 0 ，存在闭集Ｆ，使 F ? E ，且 m ( E \ F ) & ε ；（3）存在 Fσ 型集Ｆ，使 F ? E ，且 mF = mE , m ( E \ F ) = 0 。注解：①、 E = F ∪ ( E \ F ) ②、以上两个定理表明，只要有了全部的 G δ 和 F σ 和全部的零测集，一 切可测集都可以通过 G δ 型集与一零测集的差集或 F σ 型集与一零测 集的并集获得。 定理 7 设 A、B 分别为 R 和 R 中的可测集，若 E = A × B ，则 E 为 R 可测集，且 mE = mA ? mB 注解：定理证明中所用到的结论： ① R n 开集的构造： R n ( n ≥ 2 ) 中非空开集 G 是可数个互不相交的半开半 闭区间的并集； ② E 是可测集，则存在一列单调递减的开集列 {Gn} ，使得 E ? G n ，且pqp+q中的? ∞ ? m ? ∩ Gn \ E ? = 0 ； 或存在一列单调递增的闭集列 { Fn} ， 使得 Fn ? E ， = 1 n ? ?且 m ? E \ ∪ Fn ? = 0 。 （见教材 P64 课后习题 20、21 题） n =1 ③ 当可测集 A、B 无界时，A、B 分别都可以表示成一列互不相交的有界可 其中 A i , B j 都是有界可测集。 测集的并集， 即 A = ∪ Ai , B = ∪ B j ， i =1 j =1 ④ 思路： 由定理 5 （3） 存在 G δ 集 G1 , G2 ， 使 A ? G1 , B ? G2且mA = mG1 ,∞ ∞? ?∞? ?mB = mG2 , m ( G1 \ A) = 0, m ( G2 \ B ) = 0 记 A* = G1 \ A, B * = G 2 \ BE = A × B = ( G1 × G2 ) \ ( A* × B * ) \ ( A* × B ) \ ( A × B * )第三章 可测函数1 可测函数的定义及简单性质 一、可测函数的定义及等价定义 1、简单函数定义 1 设 E 为可测函数， f ( x ) 为定义在 E 上的函数，如果 （1） E = ∪ Ei ，其中 Ei 为两两不交的可测集；i =1 m（2）在每个 Ei 上， f ( x ) = ci ，即?c1 , x ∈ E1 ? ? ? f ( x) = ? ? ?c , x ∈ E ? m? ? m亦即， f ( x ) = ∑ ci χ Ei ( x ) 则 f ( x ) 称为 E 上的简单函数。i =1 m注解：①、可测集 E 上的两个简单函数的和、差、积仍为 E 上的简单函数；若g ( x ) ≠ 0 时，f ( x) 也是 E 上的简单函数。 g ( x)②、复合函数中内函数为简单函数，则复合函数为简单函数。 定义 2 设 f ( x ) 为 E 上非负实函数，集合 {( x, y ) | x ∈ E ,0 ≤ y & f ( x )} ? R n +1 称为f ( x ) 在 E 上的下方图形，记为 G ( E , f ) 。注解： G ( E , f ) 为可测集，且 mG ( E , f ) = ∑ ci mEi 。i =1 m2、非负可测函数 定义 3 设 E 为可测集， f ( x ) 为定义在 E 上非负函数，如果存在一列单调递增的 非负简单函数 {?m ( x )} ， 即 0 ≤ ?1 ( x ) ≤≤ ?n ( x ) ≤， 使 f ( x ) = lim ?m ( x ) ，m →∞则称 f ( x ) 为 E 上的非负可测函数或称 f ( x ) 在 E 上非负可测。 下面定理刻画了非负可测函数的特性： 定理 1 设 f ( x ) 为可测集 E 上的非负函数，则 f ( x ) 在 E 上非负可测充要条件：n 对任意实数 a， E ? ? x | f ( x) & a? ? 都是 R 中可测集。3、一般可测函数 定义 4 设 f ( x ) 是定义在可测集 E 上实函数， 如果对任意实数 a，E ? ? x | f ( x) & a? ? 都是可测的，则称 f ( x ) 为 E 上的可测函数，或称 f ( x ) 在 E 上可测。 下面给出可测函数的几种等价定义：定理 2 设 f ( x ) 是可测集 E 上实函数，则下列各条件是等价的：?a ∈ R ， E ? ?x | f ( x) & a? ?或E? ? x | f ( x) ≥ a? ?或E? ? x | f ( x) ≤ a? ? ?x | f ( x) & a? ?或E?是可测集，如果之一成立，则 f ( x ) 为 E 上可测函数。 常用结论：①区间上的连续函数和单调函数都是可测函数； ②可测集 E 上连续函数为可测函数； ③ f ( x ) 为 E 可测函数充要条件： ?r ∈ Q, E ? ?x | f ( x) & r? ? 可测； 而 ?r ∈ Q, E ? ?x | f ( x) = r ? ? 可测得不出 f ( x ) 可测，设 A 不可测集，? ? ? x, x ∈ A ? f ( x) = ? ?，E? ?x | f ( x) = r ? ? 为单点集或空集，而有 ? ?? x, x ∈ [ 0,1] \ A? ?E? ? x | f ( x ) ≥ 0? ? = A 为不可测集。推论：若 f ( x ) 在可测集 E 上为可测函数，则 （1） E ? ? x | f ( x ) = +∞ ? ?,E ? ? x | f ( x ) = ?∞ ? ?,E ? ? x | f ( x ) = +∞ ? ? 均可测； （2）对任意实数 a ≤ b, E ? ? x | a ≤ f ( x ) & b? ? 和E ? ? x | f ( x) = a? ? 均可测。 二、可测函数的简单性质 定义 6 设 π ( x ) 是一个与集合 E 中的点 x 有关的命题， 如果存在 F ? E ， 使 mF = 0 且 π ( x ) 在 E \ F 上恒成立，则称 π ( x ) 在 E 上几乎处处成立，记为π ( x ) 成立a.e.于E 。例如：①对于【0，1】上的蒂尼克雷函数，即在有理点处取 1 在无理点处取 0. 由于有理点集为零测集，所以 D ( x ) =0,a.e.于[ 0,1] 。 ②设 { f n ( x )} , f ( x ) 均为可测集 E 上的实函数，若mE ? ? x | f n ( x ) 不收敛于f ( x ) ? ? = 0 ，则称 { f n ( x )} 几乎处处收敛于 f ( x ) 。③设 f ( x ) 为定义在可测集 E 上实函数， 若 mE ? 则称 ? x | f ( x ) = +∞ ? ? =0，f ( x ) 在 E 上几乎处处有限。注解:① f ( x ) 在 E 上几乎处处有限，则 f ( x ) 在 E 上可测充要条件：对任意实数a，b， E ? ? x | a ≤ f ( x ) & b? ? 为可测集。 证明： （必要性）根据上述推论已得证。 （充分性） E ? ?x | f ( x) ≥ a? ?=E? ? x | a ≤ f ( x ) & +∞ ? ?∪E? ? x | f ( x ) = +∞ ? ? ，而E? ? x | a ≤ f ( x ) & +∞ ? ?= ∪ E? ? x | a + n ?1 ≤ f ( x ) & a + n? ? 且根据上述推论知n =1 +∞E? ?x | f ( x) ≥ a? ? 可测。 ? x | f ( x ) = +∞ ? ? 为可测集，从而 E ?② ?a & b , E ? ? x | a ≤ f ( x ) & b? ? 可测 推不出 f ( x ) 在 E 上可测。?+∞, x ∈ E1 ? 反例：设 mE & 0 ? ?E1 ? E使E1为不可测集 取 f ( x ) = ? ?则 ??∞, x ∈ E \ E1 ??a & b , E ? ? x | a ≤ f ( x ) & b? ? =? 可测 但 ?a ∈ R, E ? ? x | a ≤ f ( x )? ? = E1不可测 。定理 3 若 f ( x )，g ( x ) 在 E 上几乎处处相等，则当其中一个在 E 上可测，另一个 也在 E 上可测。 （E? ? x | f ( x) & a? ? 与E ? ? x | g ( x) & a? ? 只相差一零测集 ） 注解： 此定理表明任意改变 f ( x ) 在一个零测集上的函数值不改变 f ( x ) 的可测性。 定理 4（1）若 f ( x ) 在 E 上可测， E0 为 E 的可测子集，则 f ( x ) 在 E0 上可测； （2） 若 f ( x ) 在可测集 Em ( m = 1, 2 则 f ( x ) 在 E = ∪ Em 上可测。 ) 上可测， m =1+∞引理 设 f ( x )，g ( x ) 在 E 上可测，则 E ? ? x | f ( x ) &g ( x ) ? ? 是可测集 证明：全体有理数集 {r1 , r2 ,} ，有分解+∞E? ∪ E? ? x | f ( x ) &g ( x ) ? ?=m ? x | f ( x ) & rm ? ?∩E? ? x | g ( x ) & rm ? ?。 =1定理 5 若 f ( x )，g ( x ) 在 E 上可测，则下列函数（假定它们都在 E 上有定义或几 乎处处有定义）均在 E 上可测：(1) cf ( x) ;( 2) f ( x) + g ( x) ;( 3) f ( x) ;( 4) f ( x) g ( x) ;( 5)1 。 f ( x)设 f ( x ) 定义在 E 上，令 f + ( x ) = max { f ( x ) , 0} , f ? ( x ) = max {? f ( x ) , 0} ，分别 称为 f ( x ) 的正部和负部。有 f ( x ) = f + ( x ) ? f ? ( x ) , f ( x ) = f + ( x ) + f ? ( x ) 。 定理 6 设 f ( x ) 定义在可测集 E 上， 则 f ( x ) 在 E 上可测的充要条件：f + ( x ) , f ? ( x )均在 E 上可测。 定理 7 若 { f m ( x )} 是上可测函数列，则(1) h ( x ) = sup f m ( x ) , l ( x ) = inf m ≥1m ≥1 k ≥mf m ( x ) 在E上可测；m →∞lim sup f k ( x ) = lim f m ( x ) , λ ( x ) = lim inf f k ( x ) = lim ( 2) μ ( x ) = m →∞ m →∞ m →∞ k ≥ mf m ( x ) 在E上可测。证明： （1）∩ E? E? ? x | h ( x) ≤ a? ?=m ? x | fm ( x ) ≤ a ? ?; =1 ∩ E? E? ? x | l ( x) ≥ a? ?=m ? x | fm ( x ) ≥ a ? ? =1m ≥1∞∞。（2） μ ( x ) = inf sup f k ( x ) , λ ( x ) = sup inf f k ( x ) 。k ≥m m ≥1 k ≥m{}{}注解:①特别的，若 lim f m ( x ) 存在，或几乎处处存在， 则 lim f m ( x ) 在 E 上可测。m→∞ m→∞②若 f ( x ) 在(a,b)上可导，则 f ' ( x ) 在(a,b)上可测。 ? 证明：因为 f ' ( x ) = lim n ? f n →∞ ? ? n? f ? 1? ? ? ? x + ? ? f ( x ) ? , x ∈ ( a, b ) ，而 n? ? ?1? ? ? ? x + ? ? f ( x ) ? 在(a,b)上连续，从而可测，由注解①得证。 n? ? ?三、可测函数与简单函数关系 定理 8 f ( x ) 在 E 上可测充要条件： f ( x ) 总可表示成一列简单函数列 {?m ( x )} 的 极限，且还可要求 ?1 ( x ) ≤ ? 2 ( x ) ≤ 证明： （充分性）由定理 7 注解①得证 （必要性） f ( x ) 在 E 上可测得 f ( x ) 的正部与负部均可测，由定义有，≤ ?m ( x ) ≤。? ? ? f ( x ) , f ( x ) ≥ 0? ? ? ?? f ( x ) , ? f ( x ) ≥ 0 ? ? f + ( x) = ? ?, f ( x) = ? ? ，存在 E 上简单函 ?0, f ( x ) & 0 ? ?0, ? f ( x ) & 0 ? ? ? ? ?数列 {?m ( x )} 和 {ψ m ( x )} ，使 lim ?m ( x ) = f + ( x ) , lim ψ m ( x ) = f ? ( x ) ，则从m →∞ m →∞而 {?m ( x ) ?ψ m ( x )} 即为所求。 注解：此定理表明可测函数也可由简单函数的极限来刻画，若 f ( x ) 有界，还可 要求此简单函数列 {?m ( x )} 一致收敛于 f ( x ) 。 2 可测函数的几种收敛性关系一、几乎处处收敛与一致收敛的关系 可测函数列收敛或几乎处处收敛不一定推出一致收敛，但在测度意义下，只 要去掉一个测度很小的集合，就可以保证该函数列在剩下的集合上一致收敛。 定理 1 （Egoroff 定理） 设 mE & +∞ ， { fn ( x )} 为 E 上几乎处处有限的可测函数列，f ( x ) 为 E 上几乎处处有限的函数，如果 lim f n ( x ) = f ( x ) , a.e.于E ，n →∞则 ?δ & 0, ?可测子集Eδ ? E , 使mEδ & δ , 而在E \ Eδ , f n ( x )→ f ( x ) 。→注解： （1）若“ mE & +∞ ”改为“ mE = +∞ ”结论不一定成立，例如?0， ? [ 0, n] ? ? fn ( x ) = ? ? ，其中 E = [0, +∞ ) 。 1, n , +∞ ( ) ? ? ? ?（2）定理 1 逆定理：设 { f n ( x )} 为可测集 E 上可测函数列， f ( x ) 为 E 可测 函数，如果 ?δ & 0, ?可测子集Eδ ? E , 使mEδ & δ , 而在E \ Eδ , f n ( x )→ f ( x ) ，→则 lim f n ( x ) = f ( x ) , a.e.于E 。也成立！n →∞（3）设 mE & +∞ ，{ f n ( x )} 为 E 上几乎处处有限的可测函数列， f ( x ) 为 E 上几乎处处有限的函数，如果 lim f n ( x ) = f ( x ) , a.e.于E ，则存在 E 的一单n →∞调递增的可测集列 { Ek } ，使在每个 Ek 上 f n ( x )→ f ( x ) ，而 lim mEk = mE 。→ k →∞二、几乎处处收敛与依测度收敛的关系 定义 1 设 E 为可测集， { f n ( x )} 为 E 上几乎处处有限的可测函数列， f ( x ) 为 E 上 几 乎 处 处 有 限 的 可 测 函 数 ， 如 果 对 任 意 δ &0 ， 有 则称 { f n ( x )} 在 E 上依测度收敛于 f ( x ) ， 记为 lim mE ? ? x | fn ? f ≥ δ ? ? = 0， n →∞fn ( x ) ? f ( x ) , x ∈ E 。依测度收敛的简单性质： 性质 1（唯一性）如果 f n ( x ) ? f ( x )( x ∈ E ) , f n ( x ) ? g ( x )( x ∈ E ) ，则f ( x ) = g ( x ) , a.e.于E 。性质 2 （子集性）f n ( x ) ? f ( x )( x ∈ E ) ， 可测集 E1 ∈ E ， 则 f n ( x ) ? f ( x )( x ∈ E1 ) 。 性质 3（运算）如果 f n ( x ) ? f ( x )( x ∈ E ) , gn ( x ) ? g ( x )( x ∈ E ) ，则 ① f n ( x ) ± gn ( x ) ? f ( x ) ± g ( x ) , ( x ∈ E ) ；② fn ( x ) gn ( x ) ? f ( x ) g ( x ) , ( x ∈ E ) ； ③fn ( x ) f ( x) ? , ( x ∈ E ) , g n ( x ) ≠ 0, g ( x ) ≠ 0, a.e.于E 。 gn ( x ) g ( x)依测度收敛的柯西收敛准则： 定理 2 设 { f n ( x )} 为 E 上几乎处处有限的可测函数列，则在 { f n ( x )} E 上依测度收 敛充要条件： ?δ & 0 ，有 lim mE ? ? x | fn ? fm ≥ δ ? ?=0， n , m →∞ 反例： （1）存在依测度收敛的可测函数列，但不几乎处处收敛。 将 [0,1) 分成 K（ k = 1, 2, ）等分,定义第 K 组的第 i 个函数为i ?1 i ? ? 1, x ∈ [ , ) ? ? ? k k ? k fi ( x ) = ? ? ( i = 1, 2, ?0, x ? [ i ? 1 , i ) ? ? ? k k ? ?, k ) ，即第 i 等分的示性函数。（2）存在几乎处处收敛的可测函数列，但不依测度收敛。?0， ? [0, n] ? ? 取 E = [0, +∞ ) ，定义函数列： f n ( x ) = ? ? ( n = 1, 2, 1, n , +∞ ( ) ? ? ? ?)。定理 3（Lebesgue 定理）设 mE & +∞ ， { f n ( x )} 为 E 上几乎处处有限的可测函数 列， f ( x ) 为 E 上几乎处处有限的函数，如果 lim f n ( x ) = f ( x ) , a.e.于E ，n →∞则 fn ( x ) ? f ( x ) , x ∈ E 。 注解：其逆定理不一定成立，反例为上述（1） 。既然如此，但逆命题中存在一 子列几乎处处收敛于 f ( x ) 。 定理 4（F Riesz 定理）设 { f n ( x )} 为 E 上几乎处处有限的可测函数列， f ( x ) 为 E 上几乎处处有限的可测函数，如果 f n ( x ) ? f ( x ) , x ∈ E ，则存在 f n ( x ) 的子列 f nk ( x ) ，使 lim f nk ( x ) = f ( x ) , a.e.于E 。k →∞例题：设 F ( x ) 在 G ? R n 上连续， E ? R n , mE & +∞ ， { g n ( x )} 为 E 上几乎处处有 限的可测函数列，若 gn ( x ) ? g ( x ) , x ∈ E ，且 g n ( E ) ? G, n = 1, 2, 则① F ? ? g ( x )? ? 为 E 上可测函数；② F ? ? g n ( x )? ??F? ? g ( x )? ?,x∈E 。 3 可测函数的结构本章介绍可测函数与连续函数的关系，连续函数一定可测；但可测函数不一定 连续（如 Dirichlet 函数） ，在测度意义下，只要去掉一测度很小的集合，可以 保证在剩下的集合上连续。 定理 1（Lusin 定理）设 f（x）是可测集 E 上几乎处处有限的可测函数，则对任 意 ε & 0 ，存在闭子集 F ε? E ，使 f（x）在 Fε 上连续，且 m( E \ Fε ) & ε 。 ?E，Lusin 定理揭示了可测函数与连续函数的关系，它的逆命题也成立，即 定理 2 设 E 为可测集， （x） f 为 E 上实函数， 如果对任意 ε & 0 ， ， 存在闭子集 F ε 使 f（x）在 F ε ) & ε ，则 f（x）在 E 上可测。 ε 上连续，且 m( E \ F 注解：设 f（x）是可测集 E 上几乎处处有限的可测函数，则存在一列单调增的? ∞ ? 闭子集 {Fn } ，使得 f（x）在每个 Fn 上连续，而 m? E \ ∪F n ? &ε 。 ? n=1 ?下面给出 R 上的 Lusin 定理： 定理 3 设 E 为 R 上的可测集，f（x）是 E 上几乎处处有限的可测函数，则对任 意 ε & 0 ，存在闭子集 F ε? E 及 R 上的连续函数 ? ( x ) ，使（1）在 F ε 上， ? ( x ) = f ( x ) 。 （2） m( E \ F ε ) & ε 。若 E 上 f ( x ) ≤ M ，还可要求 ? ( x ) ≤ M , x ∈ R 。 注解：设 E 为 R 上可测集， ，f（x）是 E 上几乎处处有限的实函数，则 f（x）在 E 上可测的充要条件：存在 E 上一列连续函数 ? n ( x ) ，使得lim ?n ( x ) = f ( x ) , a.e.于E 。n →∞第四章 Lebesgue 积分1 非负简单函数的 Lebesgue 积分 即 ? ( x ) = ∑ ck χ Ek ( x ) , ( x ∈ E ) ， 定义 1 设 E 为可测集， ? ( x ) 是 E 上非负简单函数，k =1 n其中 E = ∪ Ek ， Ek 是互不相交的可测集， ck ( k = 1,k =1n, n ) 是非负实数，记∫E? ( x ) dx = ∑ ck mEk ，称 ∫ ? ( x ) dx 为 ? ( x ) 在 E 上的 Lebesgue 积分。k =1nE注解：①零测集 E 上的任何非负简单函数的 Lebesgue 积分为 0； ②Dirichlet 函数在[0,1]上的 Lebesgue 积分为 0，据定义求。③几何意义为下方图形测度，即 ∫ ? ( x ) dx = mG ( E , ? ) 。E性质 1 设 ? ( x ) ,ψ ( x ) 是可测集 E 上非负简单函数，如果 ? ( x ) = ψ ( x )( x ∈ E ) ，则∫ ? ( x ) dx = ∫ ψ ( x ) dx ( x ∈ E ) 。E E注解： 上述定理说明非负简单函数的 Lebesgue 积分与简单函数的表示形式无关。 性质 2 设 ? ( x ) ,ψ ( x ) 是可测集 E 上非负简单函数，则 （1）对任何非负实数 c，有 ∫ c? ( x ) dx = c ∫ ? ( x ) dx ；E E? ( x ) +ψ ( x )? （2） ∫ ? ? dx = ∫E ? ( x ) dx + ∫Eψ ( x ) dx ； E?（3）若 ? ( x ) ≤ ψ ( x )( x ∈ E ) ，则 ∫ ? ( x ) dx ≤ ∫ ψ ( x ) dx ，特别的，E E； ∫ ? ( x ) dx ≤ max ? ( x ) ? mE （经常用）E（4）若 A，B 是 E 的两个不交子集，则 ∫n mA∪ B? ( x ) dx = ∫ ? ( x ) dx + ∫ ? ( x ) dx 。A B证明要点： （2） ? ( x ) = ∑ ai χ Ai ( x ),ψ ( x ) = ∑ b j χ B j ( x ), ai , b j ≥ 0, E = ∪ Ai = ∪ B j ，i =1 j =1 i =1 j =1nm且 { Ai } 与 { B j } 均互不相交，则 ? ( x ) +ψ ( x ) = ∑∑ ( ai + b j )χ Ai ∩ B j ( x ) 。i =1 j =1nm注解：设 ? ( x ) 是可测集 E 上非负简单函数，A 是 E 的可测子集，则∫ ? ( x ) dx = ∫ ? ( x ) χ ( x ) dx 。A E A设 E 的有限不交分解为 E = ∪ Ek ，则 E = ∪ ( Ek ∩ A ) 为 A 的有限不交分解。k =1 k =1nn2 非负可测函数的 Lebesgue 积分 定理 1 设 {? n ( x )} , {ψ n ( x )} 是 E 上单调增的非负简单函数列，如果lim ?n ( x ) = limψ n ( x ) ，那么 lim ∫ ? n ( x ) dx = lim ∫ ψ n ( x ) dx 。n →∞ n →∞n →∞ E n →∞ E证明：令 lim ? n ( x ) = limψ n ( x ) = f ( x ) ，则 f ( x ) ≥ 0 且在 E 上可测。由于 {? n ( x )}n →∞ n →∞{ψ ( x )} 是nE 上 单 调 增 ， G ( E , f ) = ∪ G ( E , ? n ) = ∪ G ( E ,ψ n ) 。 下 证n =1 n =1∞∞是单增集合列， 有 x ∈ E, 0 ≤ y ≤ ?n ≤ ?n +1 从 G ( E ,?n ) ， ? ( x, y ) ∈ G ( E , ? n ) ，而 ( x, y ) ∈ G ( E , ? n +1 ) 。再用集合间互相包含证明 G ( E , f ) = ∪ G ( E , ?n ) 。n =1∞所以 mG ( E , f ) = lim mG ( E , ? n ) = lim ∫ ? n dx 。n →∞ n →∞ E定义 1 设 f（x）是可测集 E 上的非负可测函数，{? n ( x )} 是 E 上的单调增且收敛 于 f（x）的非负简单函数列，记 ∫ f ( x ) dx = lim ∫ ? n ( x ) dx ，称 ∫ f ( x ) dxE n →∞ EE为 f（x）在 E 上的 Lebesgue 积分。 注解：如果 ∫ f ( x ) dx & +∞ ，则称 f（x）在 E 上 Lebesgue 可积。由定理 1 有非E负可测函数的 Lebesgue 积分值与非负简单函数列 {? n ( x )} 的选取无关。 性质 设 f（x） ，g（x）是 E 上的非负可测函数，则E E（1）对任何非负实数 c，有 ∫ c? ( x ) dx = c ∫ ? ( x ) dx ；? ( x ) +ψ ( x )? （2） ∫ ? ? dx = ∫E ? ( x ) dx + ∫Eψ ( x ) dx ； E?（3）若 f ( x ) ≤ g ( x )( x ∈ E ) ，则 ∫ f ( x ) dx ≤ ∫ g ( x ) dx ；E E（4） 若 A， B 是 E 的两不交可测子集， 则∫EA∪ Bf ( x ) dx = ∫ f ( x ) dx + ∫ f ( x ) dx ；A B（5）若 f ( x ) = g ( x ) , a.e.于E ，则 ∫ f ( x ) dx = ∫ g ( x ) dx ；E（6）若 A，B 是 E 的可测子集，且 A ? B ，则 ∫ f ( x ) dx ≤ ∫ f ( x ) dx 。A B定理 2（Levi 单调收敛定理）设 { f n ( x )} 是 E 上非负可测函数列，满足 （1） f n ( x ) ≤ f n +1 ( x ) , a.e.于E , n ≥ 1 ； （2） lim f n ( x ) = f ( x ) , a.e.于E 。n →∞则 lim ∫ f n ( x )dx = ∫ f ( x )dx 。n →∞ E E定理说明在满足上述两个条件前提下，极限与积分可互换。 定理 3（逐项积分定理）设 { f n ( x )} 是 E 上非负可测函数列，则∫∑E n =1∞f n ( x )dx = ∑ ∫ f n ( x )dx 。n =1 E∞∞推论：设 { En } 是互不相交的可测集列， E = ∪ En ，如果 f（x）是 E 上的非负可n =1测函数，则 ∫ f ( x )dx = ∑ ∫ f ( x )dx 。E n =1 En∞定理 4 设 f（x）是 E 上几乎处处有限的非负可测函数， mE & +∞, { yn } ? [0, +∞ ) ， 满足 0 = y0 & y1 && yn &( yn → +∞, n → ∞) ，其中 yn +1 ? yn & δ ，令En = E ? ? x | yn ≤ f ( x ) ≤ yn +1 ? ? ( n = 0,1,∞ ∞) ，则 f（x）在 E 上 Lebesgue 可积充E要条件： ∑ yn mEn & ∞ 。此时 lim ∑ yn mEn = ∫ f ( x )dx 。n=0δ →0n=0注解：此处和尼曼积分不同的是对 y 轴进行分割、求和、取极限。 定理 5（Fatou 定理）设 { f n ( x )} 是 E 上非负可测函数列，则∫E n →∞ nlim f( x ) dx ≤ lim ∫E f n ( x ) dx 。n →∞? ? ? 1? ?n, x ∈ ?0, n ? ? ? ? ? ? 注解：Fatou 定理中严格不等式有可能成立，例如 f n ( x ) = ? ?， ?0, x ∈ [ 0,1] ? ?0, 1 ? ? ? ? ? ? n? ?? ?易知 lim f n ( x ) = 0, ∫n →∞[0,1]f n ( x ) dx = 1 ， 则∫[0,1] n →∞lim f n ( x ) dx = 0 & lim ∫n →∞[0,1]f n ( x ) dx = 1 。3 一般可测函数的 Lebesgue 积分 定义 1 设 f（x）是 E 上可测函数，如果积分 ∫ f + ( x )dx, ∫ f ? ( x )dx 中至少有一个E E则称 ∫ f ( x )dx 为 f （x） 是有限值， 记 ∫ f ( x )dx = ∫ f + ( x )dx ? ∫ f ? ( x )dx ，E E E E在 E 上的 Lebesgue 积分。 注解：①由于 ( +∞ ) ? ( +∞ ) 无意义，故要求积分 ∫ f + ( x )dx, ∫ f ? ( x )dx 中至少有一E E个是有限值，因此并不是每个可测函数都存在 Lebesgue 积分的； ② ?∞ ≤ ∫ f ( x )dx ≤ +∞ ；E③如果上式右端两个积分值均有限，则称 f（x）在 E 上 Lebesgue 可积， 即 ∫ f ( x )dx & +∞ ，记为 f ( x ) ∈ L ( E ) 。E④ f ( x ) ∈ L ( E ) ? f + ( x ) ∈ L ( E ) , f ? ( x ) ∈ L ( E ) ；其中∫Ef + ( x ) dx = ∫ f + ( x ) dx ? ∫ 0dx, ∫ f ? ( x ) dx = ∫ f ? ( x ) dx ? ∫ 0dx 。E E E E ELebesgue 可积的条件：定理 1（1） f ( x ) ∈ L ( E ) ? f ( x ) ∈ L ( E ) ，此时 （2） f ( x ) ∈ L ( E ) ? f ( x ) & +∞ ；∫ f ( x ) dx ≤ ∫ f ( x ) dx ；E E（3） f ( x ) ∈ L ( E ) + f ( x ) = g ( x ) , a.e.于E ? g ( x ) ∈ L ( E ) , ∫ f ( x )dx = ∫ g ( x )dx 。E E证明要点： （2） 集合分解：E ? ? x | f ( x ) = +∞ ? ? = ∩ En ? En ，En = E ? ? x | f ( x ) ≥ n? ?；n =1∞∫Ef+( x ) dx ≥ ∫Ef+nmEn = 0 。 ( x ) dx = ∫E f ( x ) dx ≥ n ? mEn ? lim n →∞（3） f ( x ) = g ( x ) , a.e.于E ? f + ( x ) = g + ( x ) , f ? ( x ) = g ? ( x ) , a.e.于E 。 注解：由（1）知，要证一函数可积可以转化为证其绝对值可积；由（2）有， 一个非几乎处处有限的函数一定不可积； （3）告诉我们，Lebesgue 可积 性和积分值大小与零测集无关。 定理 2 设 f ( x ) , g ( x ) ∈ L ( E ) ，则 （1）对 ?c ∈ R ， cf ( x ) ∈ L ( E ) ，且 ∫ cf ( x ) dx = c ∫ f ( x ) dx ；E Ef ( x ) + g ( x )? （2） f ( x ) + g ( x ) ∈ L ( E ) ，且 ∫ ? ? dx = ∫E f ( x ) dx + ∫E g ( x ) dx 。 E?? + 证明要点： （1）当 c&0 时，注意有 ? ? cf ( x ) ? ? = ?cf ( x ) , ? ? cf ( x ) ? ? = ?cf ( x ) 。 + ?（2） f ( x ) + g ( x ) ≤ f ( x ) + g ( x ) ，转化为证 f ( x ) + g ( x ) 可积。 定理 3 设 f ( x ) ∈ L ( E ) ， E = ∪ En ， En 是互不相交的可测集，则 f ( x ) ∈ L ( En ) ，n =1∞且 ∫ f ( x ) dx = ∑ ∫ f ( x ) dx 。 （关于积分区间的可加性）E n =1 En∞证明要点：根据非负可测函数积分的可数可加性 定理 5（积分的绝对收敛性） f ( x ) ∈ L ( E ) ? 对 ?ε & 0, ?δ & 0 ，对 E 的任何可测 子集 A，只要 mA & δ ，就有∫ f ( x ) dx & ε 。A证明要点：因为有 f ( x ) ∈ L ( E ) ? f ( x ) ∈ L ( E ) ，可不妨假设非负可积，根据非 负可测函数积分的绝对连续性：对 ?ε & 0, ?δ & 0 ，对 E 的任何可测子集 A， 只要 mA & δ ，就有 ∫ f ( x ) dx & ε 。又A∫ f ( x ) dx ≤ ∫ f ( x ) dx 。E E注解：这和“一致连续”的概念很类似。 4 Rieman 积分与 Lebesgue 积分（1） 、Lebesgue 积分与 Rieman 正常积分关系 定理 1 设 f(x)是[a,b]上的有界函数， 如果 f(x)在[a,b]上 Rieman 可积， 则 f(x) 在[a,b]上 Lebesgue 可积，且 ( L ) ∫ f ( x ) dx = ( R ) ∫ f ( x ) dx 。a a b b注解：1、由 Lebesgue 可积推不出 Rieman 可积，如 Dirichlet 函数在[0,1]上 Lebesgue 可积，且 ( L ) ∫ D ( x ) dx = 0 ，但 D ( x ) ? R ([ 0,1]) ，由于 D ( x )1 0在[0,1]上处处不连续。 2、L-积分是 R-正常积分的推广。 （2） 、Lebesgue 积分与 Rieman 反常积分关系 定理 2 设 f(x)在 [a, +∞) 上非负，且 ?A ≥ a, f ( x ) ∈ R ([ a, A]) ，则 f(x)在 [a, +∞) 上 Rieman 可积和 Lebesgue 可积，且 ( L ) ∫+∞af ( x ) dx = ( R ) ∫+∞+∞af ( x ) dx 。定理 3 设 f(x)是定义在 [a, +∞) 上的实函数，如果 ( R ) ∫ f(x)在 [a, +∞) 上 Lebesgue 可积，且 ( L ) ∫+∞af ( x ) dx 绝对收敛，则+∞af ( x ) dx = ( R ) ∫af ( x ) dx 。注 解 ： 1 、 Lebesgue 积 分 不 是 条 件 收 敛 的 Rieman 积 分 的 推 广 ， 例 如( R ) ∫0+∞sin x π dx = x 2但( R ) ∫0+∞sin x dx = +∞ x?sin x ? L(E) x?+∞ sin x +∞ sin x sin x ? L ( E ) ? ( L) ∫ dx ≠ ( R ) ∫ dx 。 0 0 x x x2、综上 L-积分是非负的 R-反常积分和绝对收敛的 R-反常积分的推广。 （3） 、函数 Rieman 可积的充要条件 定理 4 设 f(x)是[a,b]上的有界函数，则 f(x)在[a,b]上 Rieman 可积的充要条 件：f(x)在[a,b]上几乎处处连续。 （R-可积与连续的本质关系） 例题：Dirichlet 函数在[0,1]上 Riemann 不可积，因为在[0,1]上处处不连续； Riemann 函数在[0,1]上 Riemann 可积，因为连续点为（0，1）中无理点。 5 重积分与累次积分 一、Fubini 定理 定理 1（Tonelli）设 f(x,y)是 R p × R q 上的非负可测函数，则 （1）对几乎所有的 x ∈ R p , f ( x, y ) 作为 y ∈ R q 的函数是非负可测的； （2） F ( x ) = ∫ q f ( x, y ) dy 作为 x ∈ R p 的函数是非负可测的；R（3） ∫R p ×Rqf ( x, y ) dxdy = ∫ p dx ∫ q f ( x, y ) dy 。R R提示：分五种情形证明 定理 2（Fubini 定理）设 f(x,y)是 R p × R q 上的 L 可积函数，则（1）对几乎所有的 x ∈ R p , f ( x, y ) 作为 y ∈ R q 的函数是 L 可积的； （2） F ( x ) = ∫ q f ( x, y ) dy 作为 x ∈ R p 的函数是 L 可积的；R（3） ∫R p ×Rqf ( x, y ) dxdy = ∫ p dx ∫ q f ( x, y ) dy 。R R二、Fubini 定理的应用 引理 设 f(x)是 R n 上的可测函数，则 f(x-y)是 R n × R n = R 2 n 上的可测函数。 定义 1 设 f(x)，g(x)是 R n 上的可测函数，如果对几乎所有的 x ∈ R n ，积分∫Rnf ( x ? y ) g ( y ) dy 存在，则称 ( f * g )( x ) = ∫ n f ( x ? y ) g ( y ) dy 为 f(x)与Rg(x)的卷积。 应用 1 设 f(x)，g(x)是 R n 上的 L 可积函数，则对几乎所有的 x ∈ R n ，( f * g )( x ) 存在，并且 ∫Rn( f * g )( x ) dx ≤ ∫Rnf ( x ) dx ∫ n g ( x ) dx 。Rf(x)是 E 上几乎处处有限的的可测函数， 对每个 λ & 0 ， 应用 2 设 E ? R n 是可测集， 令 F (λ ) = m x ∈ E | f ( x) & λp∞({称 F ( λ ) 为 f(x)分布函数， 则当 1 ≤ p & ∞ }) ，时， ∫ f ( x ) = p ∫ λ p ?1 F ( λ ) d λ 。E0第五章 微分与积分本章目的是在 Lebesgue 积分意义下，就 Riemann 积分中的“微积分基本定 理”和“定积分中的 Newton-Leibniz 公式”进行推广。 1 有界变差函数 回忆：有界变差数列：设 {an } 为一数列，则 V ( an ) = ∑ ai +1 ? ai 称为变差数列，i =1 n若 {V ( an )} 有界，则称为有界变差数列。 定义 1 设 f(x)是定义在[a,b]上的函数，任取[a,b]的分割 D：a = x0 & x1 && xn = b ， 令 Vab ( f , D ) = ∑ f ( xi ) ? f ( xi ?1 ) ， 称 Vab ( f , D ) 为i =1nf(x)关于分割 D 的变差。如果 ?M & 0 对一切分割 D，Vab ( f , D ) ≤ M ，则 称 f(x)是[a,b]上有界变差函数，记为 f ( x ) ∈ BV ([ a, b ]) 。令 Vab ( f ) = sup Vab ( f , D ) ，称 Vab ( f ) 为 f(x)在[a,b]上的全变差或总变差。 例： （1）[a,b]上的单调函数 f(x)必为有界变差函数； （2） f(x)在[a,b]上满足 Lipschitz 条件， 则 f(x)是[a,b]上有界变差函数； 有界变差函数性质： (1) f ( x ) ∈ BV ([ a, b ]) ? f ( x ) ∈ BV ([ a, b ]) ；? ?1, x ∈ [ 0,1] 上有理数 ? ? 注解： 反之不成立， 例如 f ( x ) = ? 易知 f ( x ) ∈ BV ([ 0,1]) ， ?， ? ∈ 1, x 0,1 上无理数 [ ] ? ? ? ?取分割 Dn ： 0 = x0 & x1 && x2 n = 1 ，其中 x2 ,, x2n?2 为[0,1]上有理数，x1 ,, x2 n?1 为[0,1]上无理数， 则 V01 ( f , Dn ) = 4n 无界， 故 f ( x ) ? BV ([ a, b ]) 。(2) f ( x ) ∈ BV ([ a, b ]) , a & c & b ? f ( x ) ∈ BV ([ a, c ]) , f ( x ) ∈ BV ([ c, b ]) 且Vab ( f ) = Vac ( f ) + Vcb ( f ) ；(3) f ( x ) , g ( x ) ∈ BV ([ a, b ]) ， α , β 为常数 ? α f ( x ) + β g ( x ) ∈ BV ([ a, b ]) 且Vab (α f + β g ) ≤ α Vab ( f ) + β Vab ( g ) ；(4) f ( x ) , g ( x ) ∈ BV ([ a, b ]) ? f ( x ) g ( x ) ∈ BV ([ a, b ]) ； (5) { f n ( x )} ∈ BV ([ a, b ]) + {Vab ( f n )} 有界且 lim f n ( x ) = f ( x ) ? f ( x ) ∈ BV ([ a, b ]) 。n →∞(Jordan 分解定理) f ( x ) ∈ BV ([ a, b ]) ? f(x)恒可表示为两单增函数之差。 提示： ? ( x ) =1 1 x V ( x ) + f ( x )? V ( x ) ? f ( x )? ,ψ ( x ) = ? ? ? ? ? ,V ( x ) = Va ( f ) ，任取 2 2?x1 & x2 (∈ [ a, b ]) 有 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ≤ Vx1x2 ( f ) = Vax2 ( f ) ? Vax1 ( f ) 。注解：Jordan 分解的方法不唯一，在此基础上同时加一个常数或同时加上一个 单调增函数仍为它的分解。 推论：有界变差函数的间断点是第一类的且间断点全体构成至多可数集，即有 界变差函数 ? 连续函数(必要性)。 注解：闭区间上连续函数不一定是有界变差函数，例如：π ? ? ? x cos , x ∈ (0,1]? f ( x) = ? 2x ? 是[0,1]上连续函数，但存在分割 Dn ： ? ? ?0, x = 0 ?0&1 1 & & 2n 2n ? 1&n 1 1 & 1 ，则 V01 ( f ) ≥ sup V01 ( f , Dn ) = sup ∑ → +∞ 。 2 n∈N n∈N k =1 k定义 3 设 r(x)为[a,b]上连续有界变差函数且不恒为常数， 如果 r ' ( x ) = 0, a.e.[ 0,1] ， 那么称 r(x)为奇异函数。 有界变差函数的另外一种分解： 设 f(x)为连续有界变差函数，由于 f ' ( x ) 存在且 Lebesgue 可积，作函数g ( x) = f (a) + ∫[ a , x]f ' ( t ) dt ≤ f ( x ) ，r(x)= f(x)- g(x)， r ' ( x ) = 0, a.e.[ a, b ] ，则r(x)可能是奇异函数或零，从而：f(x) = g(x)+ r(x)，r(a)=0，其中 g(x)为绝 对连续函数，r(x)为奇异函数或零。且此分解唯一。 2 导数与原函数 定义 1 设 E ? R1 ， μ = { I } 是长度为正的闭区间集，如果对 ?x ∈ E 及 ?ε & 0 ，存 在 μ 中闭区间 I，使 x ∈ I ，且 mI & ε ，那么称 μ 依 Vitali 意义覆盖 E。 定理 1(Vitali 覆盖定理)设 E ? R1 是有界集， μ 为 E 的 V-覆盖，则可从 μ 中选 出有限个或可数个互不相交的闭区间 { I i } ，使得 m * E \ ∪ I i = 0 。i()注解：Vitali 覆盖定理的意义在于，从 μ 中选出的闭区间列 { I i } 不一定能覆盖 E，但就测度而言，盖不住的点集为零测集。在应用上，改为下列形式： 推论：设 E ? R1 是有界集， μ 为 E 的 V-覆盖，则 ?ε & 0 ，从 μ 中可选出有限个 互不相交的闭区间 { I 1 ,n ? ? , I n } ，使得 m * ? E \ ∪ I i ? & ε 。 = 1 i ? ?定义 2 对于给定的函数 f(x)， x0 为定义域内一点，我们定义D + f ( x0 ) = lim D ? f ( x0 ) = limh → 0+f ( x0 + h ) ? f ( x0 ) f ( x0 + h ) ? f ( x0 ) ， , D+ f ( x0 ) = lim h → 0+ h h f ( x0 + h ) ? f ( x0 ) f ( x0 + h ) ? f ( x0 ) ，分别 , D? f ( x0 ) = lim h → 0? h hh → 0?为 f(x)在点 x0 的右上、右下、左上、左下导数。四个导数相等时，则称 f(x)在点 x0 出可微，导数仍记为 f ' ( x0 ) 。 注解：四个导数可能有限，可能无限，可能相等，也可能不等。若右上等于右 下，则称为右导数；若左上等于左下，则成为左导数。1 ? ? ? x sin x , 0 & x ≤ 1 ? ? ? + 例 ： f ( x ) = ?0, x = 0 ? 在 x=0 处 有 D f ( 0 ) = 1, D+ f ( 0 ) = ?1 ， ?1 ? 1 ? x sin , ?1 ≤ x & 0 ? x ?2 ?1 1 D ? f ( 0 ) = , D? f ( 0 ) = ? 。 2 2定理 2 设 f(x)为[a,b]上的严格增函数，常数 p ≥ 0 ，如果 ?x ∈ E ? [ a, b ] 四个导 数，至少有一个导数 Df ( x ) ≤ p ( Df ( x ) ≥ p ),那么必有 m * f ( E ) ≤ pm * E ( m * f ( E ) ≥ pm * E )。 定理 3(Lebesgue)若 f(x)在[a,b]上为单调函数，则 f(x)在[a,b]上几乎处处存 在有限导数。 定理 4 设 f(x)在[a,b]上单增，则 f ' ( x ) ∈ L ([ a, b ]) ，[ a ,b ]∫f ' ( x ) dx ≤ f ( b ) ? f ( a ) 。注解：定理中严格不等式可能成立，甚至连续增函数都可能成立严格不等式。 推论：(1)有界变差函数是几乎处处可微的；(由于 Jordan 分解定理) (2)在[a,b]上有界变差函数 f(x)的导函数 f ' ( x ) ∈ L ([ a, b ]) 。 下面研究原函数问题 设 f ( x ) ∈ L ([ a, b ]) ，定义函数 F ( x ) = ① F(x)为[a,b]上连续函数； 由于 F ( x ) ? F ( x0 ) =[a , x] [ a , x]∫ f ( t ) dt ( a ≤ x ≤ b ) 。则∫ f ( t ) dt ? ∫ f ( t ) dt = ∫ f ( t ) dt ，由 L 积分的绝对连[ a , x0 ] [ x0 , x]续性， ?ε & 0, ?δ & 0 当 m [ x0 , x ] = x ? x0 & δ 时，有 F ( x ) ? F ( x0 ) & ε 。 ② F(x)为有界变差函数。 由于 f ( x ) = f + ( x ) ? f ? ( x ) ，且[a , x]∫f + ( t ) dt ,[a , x]∫f ? ( t ) dt 都是单增函数，根据Jordan 分解定理知 F(x)为有界变差函数。 从而 F(x)几乎处处可微。 引理 若 f ( x ) ∈ L ([ a, b ]) ，且 ?x ∈ [ a, b ] ，有[a , x]∫ f ( t ) dt = 0 则 f ( x ) = 0, a.e.[a, b] 。定理 5 若 f ( x ) ∈ L ([ a, b ]) ，则 3d f ( t ) dt = f ( x ) , a.e.[a, b] 。 dx ∫[a , x]绝对连续函数与不定积分定义 1 设函数 f(x)定义于[a,b]，如果 ?ε & 0, ?δ & 0 ，使对于[a,b]上的任意有 限个互不相交的开区间集 ( a1 , b1 ) ,n, ( an , bn ) ，当 ∑ ( bi ? ai ) & δ 时，有i =1n∑ f ( b ) ? f ( a ) & ε 成立，那么称 f(x)为[a,b]上的绝对连续函数。i =1 i i例：满足 Lipschitz 条件的函数是绝对连续函数。( ?ε & 0 ，取 δ =εn)注解：绝对连续函数是一致连续函数的推广。 定理 1 绝对连续函数 ? 有界变差函数 推论：绝对连续函数几乎处处存在有限导数，且其导函数是 Lebesgue 可积的。 定义 2 设 f ( x ) ∈ L ([ a, b ]) 令 F ( x ) = ∫[ a , x]f ( t ) dt + C (C 为任意常数)，则称 F(x)为f(x)的不定积分。 定理 2 可积函数的不定积分是绝对连续函数。 对于单增函数 F(x)，一般有 ∫ 对 F(x)作一定要求。 定理 3(Newton-Leibniz 公式) ∫[a , x] [ a ,b ]F ' ( x ) dx ≤ F ( b ) ? F ( a ) ，而要求等式成立，还须 F ' ( t ) dt = F ( x ) ? F ( a ) ( x ∈ [ a, b ]) 成立 ? F(x)为[a,b]上绝对连续函数 推论：F(x)为[a,b]上的绝对连续函数 ? F(x)为某个 Lebesgue 可积函数的不定 积分。 小结：本章从两类函数：有界变差函数与绝对连续函数，分别去解决 Rinemann 积分中的微积分基本定理(导函数存在定理)和 Newton-Leibniz 公式。 绝对连续函数 ? 有界变差函数 ? 连续函数。原函数可能是 ∫[a , x]f ( t ) dt ，而它刚好是连续的有界变差函数，根据有界变差函数的 Jordan 分解为两 单增函数的差，从而研究单增函数，步骤： ①闭区间上单增函数几乎处处可导，且导函数 Lebesgue 可积，且满足∫[a ,b ]f ' ( x ) dx ≤ f ( b ) ? f ( a ) ；②有界变差函数几乎处处可导(解决前者)，且导函数 Lebesgue 可积。 ③绝对连续函数几乎处处可导，且导函数 Lebesgue 可积(解决后者)。
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