一：这道题的详细过程该怎么做？
二：如果这道题改为计算2A11+A21+A31+A41，该怎么做呢？
三：题二中的解法可不可以先列式三角化后算出结果再单独算出A11相加得到答案？
虽然问题有点多 不好意思了，因为刚学。。谢谢大家了
<img onerror="imgDelByClass('comimg_box');" class="piczoom mpic" alt="问题有三
（1）进行初等变换，转换为上三角阵，然后对角线元素乘积就是行列式的值。
（2）就是将几个元素按式子计算一下
我是教线代的数学老师，本人认为，中学给出向量的概念主要是基于平面直角坐标系下，而且给出的向量主要是二维向量。然后引进了内积。
大学线性代数中的向量概念是中学的推...
是否存在特定的点(a,b,c,d),使没有任何实数k能满足原方程
a+kb+k^2c+k^3d=k^4是一个关于k的4次方程，可用根式解出，必有根，但不一定有实...
首先确定你报考的学校与专业，明确你应该参加考试的是数学几（1，2，3，4）；
在网上搜索（在地址栏键入“考研数学”）相应考纲并且下载，或者向你报考的学校招办求助...
只要知道一个定理：行列式中，第i行各元素与第j行对应元素的代数余子式乘积之和等于0（i≠j）。
应用这个定理：
3*1+5*k+4*(-2)+7*0=0 ==&...
设A是n阶矩阵，对于齐次线性方程组(1)A^nX=0,(2)A^(n+1)X=0,必有:(1)的解也是(2)的解,这是因为 A^(n+1)X= A(A^...
答: 普通计算器：用于一般的加减乘除计算
金融计算器：单利计算
复利计算 投资评估 年限摊销
答: 老师主动，多让学生背，思考，不学也得逼着，以后他们就知道对不对了
答: 数学：甲数、乙数与丙数的和是1400，甲数是乙数的2倍，丙数是乙数的二分之一，求甲、乙、丙各多少？
答: 求证类型 求解类型
铝属于两性金属，遇到酸性或碱性都会产生不同程度的腐蚀，尤其是铝合金铸件的孔隙较多，成分中还含有硅和几种重金属，其防腐蚀性能比其他铝合金更差，没有进行防护处理的铝铸件只要遇到稍带碱性或稍带酸性的水，甚至淋雨、水气、露水等就会受到腐蚀，产生白锈。
解决的办法。
铝铸件完成铸造后，在机械加工前，先要进行表面预处理，如预先对铸件进行喷砂，涂上一道底漆（如锌铬黄底漆），在此基础上再进行机械加工，以避免铸铝件在没有保护的情况下放久了被腐蚀。
目前我们的生活水平必竟非同以往．吃得好休息得好，能量消耗慢，食欲比较旺盛，活动又少，不知不觉脂肪堆积开始胖啦。　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　　减肥诀窍：一．注意调整生活习惯，二。科学合理饮食结构，三。坚持不懈适量运动。
　　　具体说来：不要暴饮暴食。宜细嚼慢咽。忌辛辣油腻，清淡为好。多喝水，多吃脆平果青香焦，芹菜，冬瓜，黄瓜，罗卜，番茄，既助减肥，又益养颜，两全其美！
有减肥史或顽固型症状则需经药物治疗．
如有其他问题，请发电子邮件:jiaoaozihao53@ .或新浪QQ: 1
关于三国武将的排名在玩家中颇有争论，其实真正熟读三国的人应该知道关于三国武将的排名早有定论，头十位依次为：
头吕（吕布）二赵（赵云）三典韦，四关（关羽）五许（许楮）六张飞，七马（马超）八颜（颜良）九文丑，老将黄忠排末位。
关于这个排名大家最具疑问的恐怕是关羽了，这里我给大家细细道来。赵云就不用多说了，魏军中七进七出不说武功，体力也是超强了。而枪法有六和之说，赵云占了个气，也就是枪法的鼻祖了，其武学造诣可见一斑。至于典韦，单凭他和许楮两人就能战住吕布，武功应该比三英中的关羽要强吧。
其实单论武功除吕布外大家都差不多。论战功关羽斩颜良是因为颜良抢军马已经得手正在后撤，并不想与人交手，没想到赤兔马快，被从后背赶上斩之；文丑就更冤了，他是受了委托来招降关羽的，并没想着交手，结果话没说完关羽的刀就到了。只是由于过去封建统治者的需要后来将关羽神话化了，就连日本人也很崇拜他，只不过在日本的关公形象是扎着日式头巾的。
张飞、许楮、马超的排名比较有意思，按理说他们斗得势均力敌都没分出上下，而古人的解释是按照他们谁先脱的衣服谁就厉害！有点搞笑呦。十名以后的排名笔者忘记了，好象第11个是张辽。最后需要说明的是我们现在通常看到的《三国演义》已是多次修改过的版本，笔者看过一套更早的版本，有些细节不太一样。
你用的是工行的卡吗？到工行网站问了一下，下面是它们版主的回答——您好～
1、您可以拨打95588或通过网上银行等渠道查询消费明细。
2、若您的信用卡开通了网上银行。请您按照以下地址进行登录。工行网站地址： 点击“个人网上银行登录”或工行个人网上银行地址： 按照系统提示输入相关信息后即可登录。
“网页错误”请您进行以下操作：
（1）打开IE浏览器，选择“工具”菜单--&“Internet选项”--&“高级”标签--&点击“还原默认设置”，点击“确定”后关闭所有IE浏览器窗口；
（2）打开IE浏览器，选择“工具”菜单--&“Internet选项”--&“常规”标签--&Internet临时文件设置中的“检查所存网页的较新版本”选择“每次访问此页时检查”。并在Internet临时文件设置中点击“删除文件”，在“删除所有脱机内容”前打勾后点击确定关闭对话框，关闭所有IE窗口；
（3）打开IE浏览器，选择“工具”菜单--&“Internet选项”--&“安全”标签，在“请为不同区域的Web内容制定安全设置（z）”窗口内选择“Internet”，然后选择“自定义级别”，将“Activex控件和插件”中“下载已签名的Activex控件”、“运行Activex控件”等设置为“启用”或“提示”，点击确定后，请重新启动电脑；
（4）若您安装了3721上网助手之类的软件，请您将其完全卸载；
（5）请登录工行门户网站 ，点击“个人网上银行登录”下方的“下载”。进入下一个页面后，下载并安装控件程序。
（6）若仍无法正常使用，建议您重新安装IE6.0或以上版本的IE浏览器，并使用WINDOWS系统的UPDATE功能安装补丁。
3、您可以通过网上银行查看对账单进行还款。
4、是可以的。您需要通过网上银行办理跨行转账业务。
如果您想在网上办理跨行汇款，请使用“工行与他行转账汇款”功能，您除了需要申请开通网上银行对外转账功能，还需要您所在地区开通网上跨行汇款功能。若未开通，那么在操作时系统会提示您的（国际卡及香港信用卡无法使用此功能）。
从日起，柜台注册且未申请U盾或口令卡的客户，单笔交易限额、日累计限额以及总支付交易限额均为300元，9月1日前支付额度已经达到300元的客户需到网点申请电子口令卡或U盾（从注册日起计算支付额）。
若目前已达到交易限额但急需支付，建议您可通过下列方法变更交易限额：
1.申请U盾。u盾客户不再受交易限额和支付次数的限制。此外，使用u盾，您可以享受签订理财协议等服务项目，并在您原有使用基础上大大加强了安全性。如需办理U盾，请您本人携带有效身份证件和网上银行注册卡到当地指定网点办理U盾，办理手续及网点信息请您当地95588服务热线联系咨询。
2.申办口令卡。您本人可持有效身份证件、网上银行注册卡到当地指定网点申办口令卡。申办电子口令卡后，个人网上银行单笔交易限额1000元；日累计交易限额5000元，没有总支付额度控制；电子银行口令卡的使用次数为1000次（以客户输入正确的密码字符并通过系统验证为一次），达到使用次数后即不能使用，请及时到我行营业网点办理申领新卡手续。
（1）产后与新生儿同在一起，而不是隔离，那就会使产妇的乳量平均增加约40％。即使乳汁少也应该让孩子吮吸，因为吮吸是一种良好的刺激，可以引起反射性乳汁分泌。
（2）完全无奶或部分无奶的产妇，可每天服用30毫克胃复安药片（日3次，每次服10毫克），产妇则每3小时喂奶l次，经4天左右就有87％的人排乳。
（3）每次喂奶应尽量把奶吸空。
（4）哺乳女性的生活要有规律，精神应该愉快，因为情绪沮丧时奶水会就减少。
饮食疗法更有效：
（1）鲤鱼1条，去肠、杂，不去鳞，加赤小豆100克和姜少许，炖汤食之。
（2）生花生仁适量，煮汤服。
（3）鳃鱼1条，去肠、杂，加冬瓜适量，煮汤取食。
（4）猪肝500克，黄芪（中药）100克，煮汤，肝熟后除黄芪，饮肝汤。
（5）鲜木瓜适量，河鱼（品种不论）适量，共煮汤，加调味品服食。
（6）猪蹄1～2只，加花生米150克，同煮熟，饮汤食花生及诸蹄。
（7）螺肉250克，黄酒适量，蒸后再煮汤服食。
（8）鲜海蜇适量，切碎，煮熟后服1小碗，每日1次。
（9）鲜红薯叶250克，猪五花肉200克，煮后调味取食，每日分2次服完。
（10）鲜带鱼300（洗净），生木瓜400克（去皮、核），切块。共放锅内加水煨熟，调味后服食。
（11）豆腐250克，红糖100克，水煮，加米酒50毫升，1次服完，连服5日。
信用卡额度是根据您近期的用卡记录、还款记录、消费类型等各方面的情况由系统进行综合评定的。所以信用卡并不是根据积分来提额的。
其实散步是孕妇最适宜的运动，可以提高神经系统和心肺的功能，促进新陈代谢。有节律而平静的步行，可使腿肌、腹壁肌、心肌加强活动。由于血管的容量扩大，肝和脾所储存的血液便进入了血管。动脉血的大量增加和血液循环的加快，对身体细胞的营养，特别是心肌的营养有良好的作用。同时，在散步中，肺的通气量增加，呼吸变得深沉。鉴于孕妇的生理特点，散步是增强孕妇和胎儿健康的有效方法。孕妇在散步时首先要选好散步的地点。花草茂盛、绿树成荫的公园是最理想的场所。这些地方空气清新、氧气浓度高，尘土和噪音少。孕妇置身于这样宜人的环境中散步，无疑会身心愉悦。可以在自家周围选择一些清洁僻静的街道作为散步地点。一定要避开空气污浊的地方，如闹市区、集市以及交通要道，因为在这种地方散步，不仅起不到应有的作用，反而对孕妇和胎儿的健康有害。散步的时间也很重要，最好选在清晨。你还可以根据自己的工作和生活情况安排适当的时间。散步时最好请丈夫陪同，这样可以增加夫妻间的交流，培养丈夫对胎儿的感情。散步时，要穿宽松舒适的衣服和鞋。
母体因素常见的有：急性感染性疾病、子宫发育异常或损伤、黄体功能不全和一些慢性病等。怀孕期间感染急性传染病(如肝炎)，细菌毒素或病毒可以通过胎盘进入胎儿体内，导致胎儿死亡流产；孕妇长时间高热，也可以引起流产或胎儿畸形；子宫结构异常，如双角子宫、子宫纵隔以及宫腔内有突出的子宫肌瘤等，都会限制宫腔扩大，影响胎儿发育而致流产；子宫口松弛以及在人工流产后造成的子宫颈撕裂，往往会因为松弛的宫颈内口支托不住逐渐发育长大的胎儿，而使胎儿流出；孕妇患有慢性疾病，如甲状腺功能亢进或低下等，造成内分泌紊乱可导致自然流产。尽管看起来有这么多的因素，但其中有很多是可以预防和治疗的。 胎儿方面的因素，可以来自父毋双方，父方即由精子的原因引起；母方即由卵子的原因引起。胎儿发育异常中，最常见的是染色体异常，约占30%—60%。此外，还有单基因、多基因的异常，或由环境因素导致的胎儿畸形等，这样的胎儿多未长到足月就死亡流产。自然流产的标本中唇颚裂的发生率是正常产儿的76倍，这表明天部分异常儿被自然流产所淘汰。有很多孕妇及其家属对于没有明显外部诱因引发的流产总觉得可惜。其实，如果是母体方面的原因，可以针对原因进行可能的保胎治疗。如果是胎儿方面的因素引起的，即使是保胎成功，结果可能会保住异常儿。相信这都不是大家所希望的。从这一点上看，医生在治疗先兆流产时要分析原因，如找不到明显的母体因素，则应该考虑胎儿有无发育异常的可能，保胎时应酌情，避免保住异常胎儿。
主要应对结婚前、怀孕前及怀孕早期这三个关键阶段给予足够的重视。首先，婚前要进行优生咨询，婚前检查应严格进行，发现遗传病者还应进行相应的遗传咨询。如婚后避孕了一段时间，那么准备怀孕前夫妻双方都应该是身体健康，女方最好进行一次孕前咨询及检查。在怀孕早期，就是怀孕3个月之内，应尽量避免较重的碰撞及粗暴、频繁的性生活等。另外，孕妇要注意环境因素的影响，避免接触致畸因素，包括物理性的，如放射线、微波、高热等；化学性的，如一些职业性有毒有害物质：汞、铅、镉等，一些有致畸作用的药物、酒精也属此类；生物性的，如风疹病毒、单纯疱疹病毒、巨细胞病毒和弓形虫感染等，均应避免。 做好婚前、孕前及早孕期保健是优生的重要手段，也是预防自然流产的关键。
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这个不是我熟悉的地区线代大神一句话点睛：同济版线代习题
　　摘要：昨天给大家推荐了一位大神总结的考研数学线代知识的完整框架，今天分享后续的内容，即线性代数习题的深度解读。
　　同济五版《线性代数》习题解读（一）
　　1、利用对角线法则计算行列式，可以通过几道小题熟悉一下把行列式化成上（下）三角的过程，基本题。
　　2、3题涉及排列以及行列式的展开准则，不是太重要，了解即可。
　　4、5、6题是一些计算行列式的练习，不同特点的行列式通常有不同的方法，常见的就是化为上（下）三角，按行（列）展开，某一行（列）是和的形式可进行拆分，基本题，要通过这些练习来熟练行列式的运算这一块。5题虽然是以方程形式给出，但考察点还是计算。
　　7、行列式性质的应用，比较重要的题型，重在对思维的训练，而且该题的结论很常用，最好掌握。
　　8、一些难度较高的行列式的计算题，涉及到不少技巧，而这些技巧通常初学者是想不到的，这时候可以看看答案，体会一下答案的做法，对这块内容的要求和不定积分是类似的。
　　9、设计巧妙的题目，隐含考点是行列式按行展开的性质：若是相同行（列）的元素和代数余子式对应相乘求和，结果是行列式的值；若是不同行（列）的元素和代数余子式对应相乘求和，结果为0。注意此题要求的结果是第三行的代数余子式的某种组合，而根据代数余子式的定义可知，这与题给的行列式中的第三行的元素是无关的，那就可以根据需要把第三行的元素替换为前面要求的式子中的那些系数，这样问题就简化为求一个新的行列式，而无需烦琐的进行四次求代数余子式的运算。此题技巧性较强，但这个构思方法值得掌握。
　　10、克兰姆法则的应用，归根结底还是计算行列式。
　　11、12题是通过行列式来判断齐次方程组的解的情况，基本题，在已经复习完一遍线代后也可以用其它方法（化阶梯行、求秩）来做。
　　总的来说，第一章的习题大都非常基本，集中于计算层面的考察，没有理解上的难度。
　　同济五版《线性代数》习题解读（二）
　　1、矩阵乘法的基本练习，简单题，但计算很容易出错，不可轻视，（5）小题实际上就是第五章要接触的二次型。
　　2、直接考察矩阵相关运算，基本题。
　　3、矩阵的乘法实际上是表示一个线性变换，题目给出了从y到x的变换，还给出了从z到y的变换，要求z到x的变换。既然一个矩阵可以表示一个线性变换，两个矩阵的乘积即可理解为两个变换的叠加，这也是提供了一个侧面去理解矩阵相乘的意义。
　　4、5题实际上都是通过一些具体的例子来加深对矩阵运算的理解，比如矩阵乘法不能交换、不能像数乘那样约去因子，等等，这些例子是比较重要的，因为有时能在考场上派上用场，需要熟悉。
　　6、7题是求矩阵乘方的题目，基本题，但要注意些适当的技巧，比如拆成两个特殊矩阵的和，能简化运算。
　　8、9是关于对称阵概念的考查，不难但重要，因为这类题即是线代里证明题的代表：几乎都要从定义出发证明。所以从这两道题得到的启发是要把线代上的每个知识点都抠得足够细，了然于心。
　　10、11、12都是矩阵求逆的计算题，只不过表达方式不同，10题是直接提出要求，11题是以矩阵方程的形式来暗示求逆，12题则从线性方程组的角度来暗示求逆。求逆是错误率很高的一类题目，所以需要重点练习。
　　13、和3题类似，矩阵的乘法实际上是表示一个线性变换，题目给出了从y到x的变换&&可以用一个矩阵表示，反过来求x到y的变换，求逆阵即可。此题的另外一个暗示：要能够熟练的掌握从方程组到矩阵的写法，即矩阵方程x=Ay代表一个线性方程组，或者说一个线性变换，对这两种写法都要能够看到一个马上反应到另一个。
　　14、考察矩阵和其逆阵、伴随阵的关系，同时把行列式加进来，综合性较强的重要题型。
　　15、16解简单的矩阵方程，注意先对已知等式做一些适当的变形，基本题。
　　14、15证明矩阵可逆，从定义出发即可，注意从题目中体会思路。
　　16、考察矩阵和其逆阵、伴随阵的关系，同时把行列式加进来，综合性较强的重要题型。
　　17、18稍微复杂一些的矩阵方程，因为其中涉及到伴随阵，但也不难，利用好伴随阵和逆阵的关系即可简化，此二题的难度接近考研中的填空题。
　　19、20是矩阵的乘方（多项式实质也是乘方）运算，在复习完一遍线代后再看发现这其实就是特征值特征向量（对角化）的一个应用，实际上特征值问题本来就可以理解为是为了寻找矩阵乘方运算的捷径而发展起来的，只不过后来发现特征值还有许多其它很好的用处。
　　21、22证明矩阵可逆，从可逆的定义出发即可，即若能找到某一矩阵与已知矩阵的乘积为单位阵，那么已知矩阵肯定可逆，注意从这两道题目中体会这种常用的思路。
　　23、24题本身的证明是从定义出发，更重要的是这两道题可以作为结论记的，线代的考研题目常涉及这两个命题。在线代的学习中，把握好一些不是课本上正面给出（如出现于习题中）的命题是很有好处的。
　　25、26、27、28都是对分块矩阵运算的考查，作为适当的练习，是必要的。在分块矩阵这部分知识点特别要注意的是：要能够根据问题的需要采取适当的分块方式，典型的如行分块和列分块，一个线性方程组可以用矩阵Ax=b来表示，一个矩阵方程AX=B则可看作是若干个线性方程组A（x1x2。。。xn）=（b1b2。。。bn）同时成立的结果，当然这只是一个典型的里子，其它还有很多类似的点也要熟练到能够在头脑中随时切换，以适应不同的解题或理解需要。
　　和第一章类似，第二章的学习也主要集中在计算层面上，我们可以这样来理解，前两章的内容主要是教会我们一些线性代数中基本的运算规则，就如我们以前学数的加减乘除一样，这些规则当然是认为规定的，但是又是在解决某些实际问题的过程中会大量用到的，所以有必要先统一进行了解和学习，比如求行列式可以帮助我们解方程，求矩阵的乘积可以帮助我们进行坐标变换，等等。
　　同济五版《线性代数》习题解读（三）
　　1、用初等变换把矩阵化为最简行阶梯形，基本运算的练习，实际上也可以化为阶梯行而不一定非要最简，这类计算要多加练习，需纯熟掌握。
　　2、3表面上是要求一个能使已知矩阵化为行最简形的可逆阵，实际上是考察初等矩阵，因为化为行最简形的过程就是初等变换过程，对应的是一系列初等矩阵的乘积，把这一过程搞清楚了，要求的矩阵也就相应清楚了。要知道一个初等矩阵对应一个初等变换，其逆阵也是，从这个意义上去理解可以有效解决很多问题。
　　4、求矩阵的逆阵的第二种方法（第一种是伴随阵），基本题，同时建议把这两种方法的来龙去脉搞清楚（书上相应章节有解释），即为什么可以通过这两种方法求逆阵。
　　5、6是解矩阵方程，关键还是求逆，复习过一遍线代的同学就不用拘泥于一种方法了，选择自己习惯的做法即可。
　　7、考察矩阵秩的概念，所以矩阵的秩一定要搞清楚：是不为零的子式的最高阶数。所以秩为r的话只需要有一个不为零的r阶子式，但所有的r+1阶子式都为零；至于r-1阶子式，也是有可能为零的，但不可能所有的都为零，否则秩就是r-1而不是r了。
　　8、还是涉及矩阵的秩，矩阵减少一行，秩最多减1，也可能不减，不难理解，但自己一定要在头脑中把这个过程想清楚。
　　9、主要考查矩阵的秩和行（列）向量组的秩的关系，实际上它们是一致的，因为已经知道的两个向量是线性无关的，这样此题就转化为一个简单问题：在找两个行向量，与条件中的两个行向量组成的向量组线性无关，最后由于要求方阵，所以还要找一个向量，与前面四个向量组和在一起则线性相关，最容易想到的就是0向量了。
　　10、矩阵的秩是一个重要而深刻的概念，它能够反映一个矩阵的最主要信息，所以如何求矩阵的秩也就相应的是一类重要问题。矩阵的初等行（列）变换都不会改变其秩，所以可以混用行、列变化把矩阵化为最简形来求出秩。
　　11题是一个重要命题，经常可以直接拿来用，至于它本身的证明，可以从等价的定义出发：等价是指两个矩阵可以经过初等变换互相得到，而初等变换是不改变矩阵的秩的，所以等价则秩必相等。实际上11题因为太过常用，以至于我们常常认为秩相等才是等价的定义，不过既然是充分必要条件，这样理解也并无不可。
　　12、选取合适的参数值来确定矩阵的秩，方法不止一种，题目不难但比较典型。
　　13、14题是求解齐次、非齐次方程组的典型练习，务必熟练掌握。
　　15、线性方程组的逆问题，即已知解要求写出方程，把矩阵的系数看做未知数来反推即可，因为基础解系中自由未知量的个数和有效方程正好是对应的，个人感觉这类题不太重要。
　　16、17、18题是线性方程组的一类典型题，考研常见题型，讨论不同参数取值时解的情况，要熟练掌握这类题目。
　　19、证明本身不是很重要，重要的是由题目得到的启示：由一个向量及其转置（或一个列向量一个行向量）生成的矩阵其秩一定是1。这实际上也不难理解，矩阵的秩是1意味着每行（或每列）都对应成比例，即可以写成某一列向量乘行向量的形式，列向量的元素就是每行的比例系数，反过来也一样，这个大家可自行写一些具体的例子验证，加深印象。另外值得注意的是：列向量乘行向量生成的是矩阵，而行向量乘列向量生成的是数。
　　20、考察的是矩阵的运算对矩阵秩的影响，抓住R（AB）〈=min（R（A），R（B））这个关键命题即可。或者从同解方程组角度出发，即要证明两个矩阵秩相等，可证其方程组同解。
　　21、注意A是否可逆未知，故不能用求逆的方法证明，这是易犯的错误之一。实际上该题考察的还是方程组只有零解的条件：满秩。关键一步在于把条件改写为A（X-Y）=0
　　前两章的习题以锻炼计算能力为主，从第三章开始理解层面的内容逐渐增多，很多概念要引起重视。
　　同济五版《线性代数》习题解读（四）
　　首先说一下，第四章的精华就在于勾勒出了向量组、矩阵和线性方程组之间的关系，它们共同形成一个线性代数的知识网络，习题四中的证明题基本上都是对思维的锻炼，做好这些证明题有助于加深对线代知识点相互关系的理解，要重点对待。
　　1、涉及一个重要的知识转换，即一个向量能否被另一个向量组线性表出的问题实际上就是一个线性方程组是否有解的问题，同时，一个向量组是否能被另一个向量组线性表出的问题实际上就是两个向量组的秩的比较问题，所以此题即转化为考察两个向量组的秩的大小。因为我们知道一个重要的事实：一个向量组不可能由比它秩更小的向量组来线性表出，例如，三维空间里的向量（秩是3）永远不可能由平面上的向量（秩是2）来表出。
　　2、考察向量组的等价，搞清楚何为向量组等价，直接验证即可，基本题。另外可以发散一下思维，向量组等价和矩阵等价有何不同？哪个命题的结论更强？实际上向量组等价则对应矩阵一定等价，反之未必。
　　3、与线性表出有关的命题，一般用反证法，这类题目可以有效的锻炼解题思路，如果不会要重点体会答案给出的方法和思路。
　　4、5题涉及线性相关和线性无关的判断，实际上还是转化为方程组有解无解的问题，基本题。
　　6题考察对两个向量线性相关的理解，实际上就是对应成比例，但实际上很多类似的题目不仅仅局限于两个向量，此题不是太有代表性，了解一下即可。
　　7、8涉及到一些相关和无关的命题判断，重点在于理解题干的意思，如8（1）的错误在于放大了线性相关的结论，因为线性相关只需要至少有一个向量可由其余向量表示，而不一定能确定到底是哪个向量能用其余向量表示，类似的去理解清楚其余几个说法要表达的意思，这是第一要务。至于反例倒在其次，可以通过参考书的答案看看，了解下有这样的反例即可。
　　9、10题是证明线性相关线性无关的经典题，可先假设其线性组合为零，然后推证系数的情况，若系数可不全为零则线性相关，若系数必须全为零则线性无关，重点题型。
　　11、12考察如何求一个向量组的秩和最大无关组，注意求向量组的秩只能用一种变换（一般用行变化），化为阶梯形即一目了然，基本题型的练习，要熟练掌握。
　　13、通过秩来确定参数，基本题，只不过这里是以向量组的形式给出条件，和以线性方程组、矩阵的形式给出条件无本质区别。
　　14、15是向量组的命题，注意单位坐标向量的特殊性：线性无关。另外14题就是15题的特殊情况。
　　16、用反证法，此题的巧妙之处在于要逐步递推，这是线代习题中少有的过程比结论重要的题目（大多习题都是结论常用所以显得更重要），注意仔细体会证明过程。
　　17、就是习题三的20题，只不过是以向量组的说法给出。
　　18、应该从此题中体会到的是：两个向量组等价，则其关系矩阵一定是满秩的，原因可用矩阵的语言来解释：两个向量组等价实际上就是通过一系列初等变换可互化，关系矩阵就是这些所所有初等变换对应的初等矩阵的乘积，初等矩阵全部都是满秩的。
　　19、题目本身不难，直接代入已知条件再作适当的变形即可，但复习过一遍线代的同学应该注意到，特征值与特征向量的一些概念在此题中已经初现端倪，要把思路拓宽，看看从特征向量的角度来看是否能对题目有新的体会。
　　20、齐次线性方程组的练习，基本题型，必需的练习，尤其是（3）这类系数由通式给出的方程，在考研中出现的概率更高，注意不要出错。
　　21、实际上转化为线性方程组的题目，也是基本题型。
　　22、就是习题三的15题，两者无本质区别。
　　23、基本题，求方程组的基础解系，另外注意公共解实际上就是方程组联立后的结果。
　　24、题目涉及的重要命题有两个，一是：若AB=0，则R（A）+R（B）〈=0；另一个是：R（A）+R（B）〉=R（A+B）。至于证明本身，只是这两个命题在某种特殊情况下的综合应用，解答过程给我们的提示相对来说是更重要的。
　　25、与伴随阵的秩有关的著名命题，常用结论，一定要掌握。证明过程很多参考资料都给出了。
　　26、非齐次线性方程组的练习，基本题型。
　　27、考察线性方程组的解的结构，较好的融合了该部分的相关知识点，通过此题的练习可以加深解的结构相关概念的理解。
　　28、讨论参数取值对方程组的解的影响，基本题，以向量组的语言给出而已。
　　29、把线性方程组和空间解析几何的知识点相结合的一道题目，可以作为一个提高练习，不强求掌握。
　　30、以抽象的向量形式给出线性方程组的问题，考研典型题之一，解决此题需要综合应用线性方程组和向量组的若干知识点，重点掌握和理解的对象。
　　31、32、33都是涉及解的结构的证明题，其中对基础解系的理解要清晰：基础解系是线性无关的，同时所有的解都可由基础解系表示，由此可见基础解系本身就给出了许多强有力的信息，这个在题目中一定要多加利用。同时还有一些解的结构的命题，如非次方程解的差即齐次方程解，等等，也可以通过这几道练习中来加强理解和掌握。
　　34及以后的向量空间的题目都不作要求，最多是40题的过渡矩阵了解一下即可，具体解法可参加书上例题，这里不再详述。
　　通过三、四章的学习和练习，我们体会到，要学好线代，需要建立起良好的思维习惯，即面对线性代数的知识点，常常需要从不同的角度（方程组角度、向量组角度和矩阵角度）去理解同一个数学事实或数学命题，并且它们通常还是可以互推的，所以在线代里，&见一反三&非常重要，一旦抓住了整个知识网络，线代就会成为考研数学里最简单的一环。
　　同济五版《线性代数》习题解读（五）
　　1、涉及与正交相关的条件的基本计算题，可作为运算方面的练习。
　　2、施密特正交化的计算，很重要的基本题，要注意的是施密特正交化的计算公式难于记忆，最好是把正交化的整个过程搞清楚，也就是说：给你一组向量，你要把它们化成正交的，怎么做？可以先考虑简单情形，两个向量怎么正交化？很简单，只要一个向量减去它在另外一个上的投影就可以了。那三个向量怎么正交化？先把其中两个正交化，然后第三个减去它在另外两个的平面上的投影就好了。依次类推，就不难理解施密特正交化中每个公式的意义了。
　　3、判断矩阵是不是正交阵，按定义即可，基本题。
　　4、5是简单的涉及正交矩阵概念的证明题，从定义出发，都不难得到结论。
　　6、求特征值和特征向量的基本题型，需要练习纯熟。
　　7、证明特征值相同，按特征值定义即可，此命题可作为结论用。
　　8、较难的一道题，把线代里几个重要的知识点都综合在一起考察，关键在于问题的转化：有公共的特征向量问题即两个方程组有公共解的问题，然后用与方程组的基础解系有关的知识点解决，要重点体会解题思路。
　　9、10、11都是与特征值有关的一些命题，从定义出发不难证明，线代里的概念大多都要从定义上去抓住它们，把它们理解好。其中10题是一个常用的结论。
　　12、13是特征值性质的应用，即特征值与矩阵特有的对应关系，比如矩阵作多项式运算，则其特征值也就该多项式规律变化，基本题，也是常见题型。
　　14、考察相似的概念，仍然是要把握好定义，何为相似？
　　15、16题涉及到相似对角化，这就要求把相似对角化的条件搞清楚，那么什么样的矩阵可相似对角化？条件是特征向量线性无关，从这点出发就可以解决问题。至于16（1）则是特征值特征向量定义的直接考察。
　　17、18涉及到求矩阵的乘方，实际上特征值特征向量问题就可以看作是为了简化矩阵乘方运算提出的，这里自然是化为对角阵以后计算，18题是应用题形式。
　　19、20题涉及正交的相似变换矩阵，基本题，计算量较大且容易出错，是值得重视的练习。
　　21、22、23题则是特征值问题的反问题，实际上把已知的对角矩阵看作出发点即可。值得注意的是：对一般矩阵来说，不同的特征值对应的特征向量是线性无关的；对对称矩阵来说，不同的特征值对应的特征向量不仅线性无关，还是正交的，这显然是个更有用的结果。
　　24是一个重要命题，它涉及到由一个列向量生成的矩阵的特征值问题。实际上有一个列向量生成的矩阵其秩是1，而且是对称的，所以必可对角化，故0是其n-1重特征值，至于非零特征值，也不难求出，就是这个列向量转置后生成的数。此题的结论很常用，要重点掌握。
　　25题涉及求矩阵的多项式运算，不外乎就是乘方运算，与17、18题类同。
　　26、27题考察二次型的概念，基本题，要求熟练写出一个二次型所对应的矩阵，反过来也一样。
　　28、29题考察用正交变换化二次型为标准型，实际上就是一个对角化的问题，但因为是对称矩阵，所以既可正交又可相似对角化。同时要注意二次型的几何意义：是一个二次曲面。曲面的形状在不同的坐标系下都是一样的，所以对于一个复杂的二次型，若不能直接看出它是什么曲面，可以通过化为主坐标系下的二次型（即标准型）来进行观察。
　　30、综合性较强的一道题，转化为多元函数的条件极值问题即可。
　　31、用配方法化二次型的练习，基本题，注意计算不要出错。
　　32、33都是判断二次型的正定性，对于具体给出的二次型，用顺序主子式的符号即可判断，这个是其中一个充分必要条件。
　　34、实际给出了正定的另一个充分必要条件，证明过程涉及一个抽象矩阵，故只能从最基本的正定的定义出发，此命题是一个有用的结论，要求掌握。
　　美丽有两种，一是深刻而动人的方程，一是你泛着倦意淡淡的笑容。
　　核心知识点的相关思维训练
　　学好线代的最关键要点在于&见一反三&，即面对同一个数学事实，都要能够从线性方程组、向量和矩阵三个角度来表述和理解它，以便于根据解决问题的需要选择合适的切入点。现将一些个人觉得比较锻炼思维的习题汇总如下，相信通过对这些题目涉及的命题及其推理过程进行深入思考，会有助于更进一步把握好线代的知识体系。
　　1、任何一个向量&=（a1，a2，。。。，an）都能由单位向量&1=（1，0，。。。，0）、&2=（0，1，。。。，0）、&&、&n=（0，0，。。。，1）线性表出，且表示方式唯一。
　　2、向量组&1，&2，&，&n中任一个向量&i可以由这个向量组线性表出。
　　3、判断下列说法正确性：（1）&向量组&1，&2，&，&n，如果有全为零的数k1，k2，。。。，kn使得k1*&1+k2*&2+&+kn*&n=0，则&1，&2，&，&n线性无关。&（2）&如果有一组不全为零的数k1，k2，。。。，kn，使得k1*&1+k2*&2+&+kn*&n&0，则&1，&2，&，&n线性无关。&（3）&若向量组&1，&2，&，&n（n&2）线性相关，则其中每一个向量都可以由其余向量线性表出。&
　　4、三维空间中的任意4个向量必线性相关。
　　5、n+1个n维向量必线性相关。
　　6、如果向量组&1，&2，&3线性无关，则向量组2&1+&2，&2+5&3，4&3+3&1也线性无关。
　　7、如果向量组&1，&2，&3，&4线性无关，判断向量组&1+&2，&2+&3，&3+&4，&4+&1是否线性无关。
　　8、如果向量&可以由向量组&1，&2，&，&n线性表出，则表出方式唯一的充分必要条件是&1，&2，&，&n线性无关。
　　9、设向量组&1，&2，&，&n线性无关，&=k1*&1+k2*&2+&+kn*&n。如果对于某个ki&0，则用&替换&i后得到的向量组&1，&，&（i-1），&，&（i+1），&，&n也线性无关。
　　10、由非零向量组成的向量组&1，&2，&，&n（n&2）线性无关的充分必要条件是每一个&i（1〈i&n）都不能用它前面的向量线性表出。
　　11、设&1，&2，&，&n线性无关，且（&1，&2，&，&n）=A（&1，&2，&，&n），则&1，&2，&，&n线性无关的充分必要条件是A的行列式为零。
　　12、秩为r的向量组中任意r个线性无关的向量都构成它的一个极大线性无关组。
　　13、任一n维向量组若是线性无关的，那么其所含向量数目不会超过n。
　　14、如果n维向量构成的向量组&1，&2，&，&n线性无关，那么任一n维向量&可由&1，&2，&，&n线性表出。
　　15、如果任意的n维向量都可以由&1，&2，&，&n线性表出，那么&1，&2，&，&n线性无关。
　　16、如果秩为r的向量组可以由它的r个向量线性表出，则这r个向量构成的向量组就是它的一个极大线性无关组。
　　17、n个方程的n元线性方程组x1*&1+x2*&2+&+xn*&n=&对任何&都有解的充分必要条件是它的系数行列式为零。
　　18、如果向量组&1，&2，&，&n和向量组&1，&2，&，&n，&有相同的秩，则&可以由&1，&2，&，&n线性表出。
　　19、r（&1，&2，&，&n，&1，&2，&，&m）&r（&1，&2，&，&n）+r（&1，&2，&，&m）。
　　20、矩阵的任意一个子矩阵的秩不会超过原矩阵的秩。
　　21、如果m*n的矩阵A的秩为r，那它的任何s行组成的子矩阵A1的秩不会小于r+s-m。
　　22、如果一个n*n矩阵至少有n^2-n+1个元素为0，则这个矩阵不是满秩矩阵。
　　23、如果一个n*n矩阵至少有n^2-n+1个元素为0，那么这个矩阵的秩最多是多少？
　　24、设&1，&2，&，&t是齐次线性方程组的一个基础解系，则与&1，&2，&，&t等价的线性无关的向量组也是方程组的一个基础解系。
　　25、设n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩是r（r〈n），则方程组的任意n-r个线性无关的解向量都是它的一个基础解系。
　　26、设n元齐次线性方程组的系数矩阵的秩是r（r〈n），设&1，&2，&，&m是方程组的解向量，则r（&1，&2，&，&m）&n-r。
　　27、设n个方程的n元线性方程组的系数矩阵A的行列式等于零，同时A至少存在一个元素的代数余子式A（kl）不为零，则向量（A（k1），A（k2），。。。，A（kn））是这个齐次线性方程组的一个基础解系。
　　28、设A1是s*n矩阵A的前s-1行组成的子矩阵，如果以A1为系数矩阵的齐次线性方程组的解都是方程a（s1）*x1+a（s2）*x2+&+a（sn）*xn=0的解，其中a（ij）是矩阵A的元素，则A的第s行可以由A的前s-1行线性表出。
　　29、n个方程的n元非齐次线性方程组有唯一解当且仅当它对应的齐次方程组只有零解。
　　30、如果&1，&2，&，&t都是n元非齐次线性方程组的解，并且有一组数u1，u2，&，un满足u1+u2+。。。+un=1，则u1*&1+u2*&2+&+ut*&t也是方程组的一个解。
　　31、如果&0是非齐次线性方程组的一个特解，&1，&2，&，&t是它对应的齐次方程组的一个基础解系，令&1=&0+&1，&2=&0+&2，&，&t=&0+&t，则非齐次线性方程组的任意一个解可以表示为&=u0*&0+u1*&1+u2*&2+。。。+ut*&t，其中u0+u1+u2+。。。+ut=1。
　　32、设A是s*n矩阵，如果对于任意列向量&，都有A&=0，则A=0。
　　33、两个n级上三角矩阵的乘积仍是n级上三角矩阵，且乘积矩阵的主对角元等于因子矩阵的相应主对角元乘积。
　　34、与所有n级矩阵可交换的矩阵一定是n级数量矩阵。
　　35、对任一s*n矩阵A，AA&#39;和A&#39;A都是对称矩阵。
　　36、两个n级对称矩阵的和仍是对称矩阵，一个对称矩阵的k倍仍是对称矩阵。
　　37、两个n级对称矩阵的乘积仍是对称矩阵的充分必要条件是它们可交换。
　　38、对任一n级矩阵，A+A&#39;都是对称矩阵，A-A&#39;都是反对称矩阵。
　　39、任一n级矩阵都可以表示为一个对称矩阵和一个反对称矩阵之和。
　　40、如果A是n级对称矩阵，并且A*A=0，则A=0。
　　41、r（A+B）&r（A）+r（B）。
　　42、如果一个矩阵的行（列）向量组是线性无关的，则称为行（列）满秩矩阵。如果一个s*n的矩阵A的秩为r，则有s*r的列满秩矩阵B和r*n的行满秩矩阵C存在，使得A=BC。
　　43、设A是n级矩阵，若AA&#39;=E，则A的行列式为1或-1。
　　44、如果矩阵A可逆，则A*也可逆，求A*的逆阵。
　　45、可逆的对称矩阵的逆矩阵仍然是对称矩阵。
　　46、如果A^k=0，则A-E可逆，求其逆阵。
　　47、设A、B分别为s*n，n*m矩阵，如果AB=0，则r（A）+r（B）&n。
　　48、设A是n级矩阵，且A&0，则存在一个n*m的非零矩阵，使AB=0的充分必要条件是A的行列式为零。
　　49、如果n级矩阵A满足A*A=E，则r（A+E）+r（A-E）&n。
　　50、设A是一个s*n矩阵，&是任意一个s维向量，则n元线性方程组A&#39;Ax=A&#39;&一定有解。
　　51、设A是一个n级方阵，且r（A）=1，则A能表示成一个列向量与一个行向量的乘积。
　　52、设A是n级矩阵（n&2），则A*的行列式等于A的行列式的n-1次方。
　　53、设A是n级矩阵（n&2），则当r（A）=n时，r（A*）=n；当r（A）=n-1时，r（A*）=1；当r（A）〈n-1时，r（A*）=0。
　　54、设A、B分别是s*n，n*m的矩阵，则矩阵方程AX=B有解的充分必要条件是r（A）=r（A，B）。
　　55、设A、B分别是s*n，n*m矩阵，则r（AB）&r（A）+r（B）-n。
　　56、设C是s*r的列满秩矩阵，D是r*n的行满秩矩阵，则r（CD）=r。
　　其中55题难度较大，不作强求。另外补充说明一下，可能一开始大家完成这些题目的证明时有的需要在书面上推导，但熟悉了以后再重看的话，应该是可以仅凭头脑中的推理完成的，换句话说，我们的最终目的是不动一纸一笔把这几十道题目的来龙去脉勾画清楚，所以前面提到是&思维的训练&，做到这一点的话，线代基本就可算是学到家了。
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