圆面积公式的各种证明方法证明方法 1：转化（小学段）（1）拼成平行四边形，4 份，8 份，16 份。（2）拼成长方形。 近似长方形的长等于圆周长的一半，宽等于圆的半径。 长方形的面积 = 长 × 宽 圆的面积 = πr × r 所以，圆的面积公式是：S =π r?（3）拼成两层平行四边形（两层） 近似平行四边形的面积 圆的面积 = = = 所以，圆的面积公式是： 底 1 2 C 1 2 πr S =π r? × × × 高 2r 2r（4）用三角形（小）拼 1 × 2 × 底 1 1 圆的面积 = ×（16 × C ）× 2 所以，圆的面积公式是：S =π r? 三角形的面积 = 高 r ×16（5）拼成梯形 1 高 2 （上底+下底）× 1 5 3 圆的面积 = 2 ×（16 +16 ）× C × 2r 所以，圆的面积公式是：S =π r? 拼成三角形（大） 梯形的面积 =（6）三角形的面积 =1 2 底 4r×高1 1 圆的面积 = 2 ×（4 × C ）× 所以，圆的面积公式是：S =π r?证明方法 2：半径为 r 的圆的圆周长为 2πr 1.先将圆周等分成 n 份:每份长为 2πr/n. 2.连接每个分点与圆心,并且连接各个分点,组成三角形. 3.那么,根据三角形面积公式,该圆的面积近似等于:(n-1)?r?(2πr)/n/2.(因为在 n 充分大时,各个三角形的高近似等于 r,并且有 n-1 个三角形,所以 有该公式) 取极限:lim (n→+∞)(n-1)?r?(2πr)/n/2,因为 lim(n→+∞)(n-1)/n=1 所以 lim (n→+∞)(n-1)?r?(2πr)/n/2=πr^2证明方法 3：极限法（高中段:以圆的正 n 边形表示圆的面积: 设圆的半径为 r,内接一个正 n 边形,它的任意一边所对的圆心角为 2π/n,先算出其中一个三角形的面积(用两边夹角的公式 S=(1/2)a*b*sinC), 然后得到这个正 n 六边形的面积: Sn=(n/2)r?sin(2π/n) 当 n 无限增大时,内接正 n 边形的形状无限接近于圆,它的面积也无限接近圆的面积.求这个极限要用一高等数学中一个重要的极限公式(函数 的极限): 当 x→0 时,lim[(sinx)/x]=1 [题外话:这个极限的几何意义是,当 x 无限减小时,y=sinx 的图象与直线 y=x 是重合的,在这种情况下,我们可以用 x 的值来代替 sinx,以在某些 领域做近似计算] 把 Sn 变形: Sn=πr?lim[sin(2π/n)/(2π/n)] 于是,当 n→∞时,2π/n→0 lim[sin(2π/n)/(2π/n)]=1 Sn=πr?证明方法 4：极坐标法设圆的极坐标方程 R(θ)=R 圆心角为 dθ 扇形的面积 dA=1/2R^2dθ. 则圆的面积为 A=∫(0-2π)dA=∫(0-2π)1/2R^2dθ=πR^2 在极坐标系中，圆心在原点，圆的半径 r。取一微小的圆心角 dθ，对应的弧长 rdθ，由于 rdθ 极短，可以看成直线，则这个微小的扇形可以 看成是一直角三角形，面积 ds=(1/2)*r*r*dθ。 对 ds 积分就得到圆面积：S=∫ds=(1/2)∫(r^2)dθ（积分下限为 0，上限为 2π） ， 所以 S=πr^2证明方法 5：微积分一个圆可以看成是无数个同心圆环组成，设所求圆的半径为 R，任取某一个内径为 r，外径为 r+dr 的同心圆环，由于 dr 很小，可以认 为将圆环沿径向剪开后，展开得到的是一个长为 2πr，宽为 dr 的矩形（近似的),易知其面积为 2πrdr。设面积微元 dA=2πrdr。A=∫2πrdr（积 分下限是 0，积分上限是 R)=πR^2证明方法 6：见下图既然面积微元可以表示为ds=rdθdr 为什么弧长不能表示为dl=rdθ
发表于 10-9-22 21:37:50
既然面积微元可以表示为ds=rdθdr
为什么弧长不能表示为dl=rdθ
而非要表示为dl=（r平方+r‘平方）开方dθ
十分不理解 求高手指点
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发表于 10-9-23 06:54:44
理解这个问题，首先要理解你说的“dl=rdθ”的意义，这个等式对于某一个弧微元成立的条件是原点正好是该弧微元的曲率中心点，因为r要是曲率半径且dθ是对应的弧度。而对于一段弧长要处处满足该微分，只有当这段弧是以原点为中心的圆弧才成立，所以不能用这个微分方法对一般的弧长积分求值。
而对于面积微元为什么可以这样写，可以看高数教材关于极坐标计算二重积分的原理，就是以原点为中心划分同心圆来产生面积微元，使得面积微元满足ds=rdθdr。
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发表于 10-9-23 10:42:00
顶楼上的！！+！
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发表于 10-9-23 19:13:15
2楼说的有部分道理。。
但是我觉得还没有说到关键点上。。。
关键点似乎是 无穷小&&高阶无穷小 微分上。。。
不是几何上的划分。。。
还在继续思考ING。。
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发表于 10-9-23 22:10:47
in&&adidtion,
当从任意方向y=kx&&x，y 趋于0时 z=（x，y）极限存在，是否可以说在点（0，0）处 lim z（x，y）存在
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发表于 10-9-25 02:20:46
回 4楼(凌月2008) 的帖子
不能得出吧，必须是任意路径。。。
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发表于 10-9-25 07:24:06
从任意方向y=kx&&x，y 趋于0时的condition&&是否就蕴涵了 从任意方向的 hypothesis
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发表于 10-9-25 07:28:16
还有问题 就是 求旋转曲面的面积是 为什么是∫f（x）2π根号（1+f（x）平方）dx而不能是∫f（x）2πdx
求高手指教
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发表于 10-9-25 21:35:14
才发现 高等数学处处是leakage
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发表于 10-11-27 23:26:29
一个问题已经解决
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发表于 10-11-28 01:08:42
弧长的公式是一定的，不是从面积微元推出来的吧！！
记得专门有一节是讲弧长计算的！！
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GMT+8, 18-5-29 13:20
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